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专题十七　项目化学习
类型一　根据素材探究利润、最优方案问题
【示范题1】(2024·盐城)请根据以下素材,完成探究任务.
制定加工方案
生产 背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.
信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装种类加工人数(人)每人每天加工量(件)平均每件获利(元)风y224雅x1正148
探究 任务 任务1 探寻变量关系 求x,y之间的数量关系.
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数解析式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
【思路点拨】任务1:根据题意安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,得出加工“正”服装的有(70-x-y)人,然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等,得出关系式即可得出结果;
任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为x[100-2(x-10)],然后将三种服装的获利求和即可得出结果;
任务3:根据任务2结果化为顶点式,然后结合题意求解.
【解析】任务1:根据题意,安排70名工人加工一批夏季服装,
∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,
∴加工“正”服装的有(70-x-y)人,
∵“正”服装总件数和“风”服装相等,
∴(70-x-y)×1=2y,
整理得:y=-x+;
任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为x[100-2(x-10)],
∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)]
=-2x2+72x+3 360(x≥10),
任务3:由任务2得,w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008(x≥10),
∴当x=18时,获得最大利润,
y=-×18+=,
∴x≠18,
∵开口向下,
∴取x=17或x=19,
当x=17时,y=,不符合题意;
当x=19时,y=17,符合题意;
∴70-x-y=34.
综上,安排19名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大利润.
类型二　根据素材解决安装、测量问题
【示范题2】(2024·烟台)根据收集的素材,探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方,才能保证使用效果,否则不予安装.
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为α,冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24,cos 14°≈0.97,tan 14°≈ 0.25, sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈ 0.55, sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈ 0.93, sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈ 4.01.
素材三 如图,该市甲楼位于乙楼正南方向,两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米.AE为某时刻的太阳光线.
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,应选择________日(填冬至或夏至)时,α为________(填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算,确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
【解析】任务一:根据题意,要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,只需α为冬至日时的最小角度,即α=14°;
答案:冬至　14°
任务二:过E作EF⊥AB于F,则∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE,
在Rt△AFE中,tan α=,
∴AF=EF·tan 14°≈54×0.25=13.5(米),
∵AB=11×3.3=36.3(米),
∴DE=BF=AB-AF=36.3-13.5=22.8(米),
∴22.8÷3.3≈7(层),
答:乙楼中7层(含7层)以下不能安装该品牌太阳能热水器.
类型三　根据素材进行跨学科研究
【示范题3】(2024·深圳二模)【项目式学习】
项目主题:学科融合——用数学的眼光观察世界
项目背景:学习完相似三角形性质后,某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律.
项目素材:
素材一:凸透镜成像规律:
物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立
2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 与物同侧 放大 正立
素材二:透镜成像中,光路图的规律:通过透镜中心的光线不发生改变;平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点.
项目任务:
任务一:凸透镜的焦距OF为6 cm,蜡烛AB的高为4 cm,离透镜中心O的距离是
9 cm时,请你利用所学的知识填空:①=________,②MN=________;
任务二:凸透镜的焦距OF为6 cm,蜡烛AB是4 cm,离透镜中心O的距离是
x cm(x>6)时,蜡烛的成像MN的高y cm,请你利用所学的知识求出y与x的关系式;
任务三:
(1)根据任务二的关系式得出表:
物距x/cm … 8 10 12 14 16 …
像高y/cm … 12 6 4 m 2.4 …
其中m=________;
(2)请在坐标系中画出它的图象;
(3)根据函数关系式,结合图象写出1条你得到的结论:
__________________________________.
【解析】任务一:①依题意得:四边形ABCO为矩形,AB∥MN,MN⊥AM,
OF=6 cm,OA=9 cm,
∴OC=AB=4 cm,AO=BC=9 cm,AB∥OC∥MN,BC∥OA,∠BCO=90°,
∴△COF∽△NMF,
∴OC∶MN=OF∶MF,
即4∶MN=6∶MF,
∴MN∶MF=2∶3,
设MN=2a,MF=3a,则OM=OF+MF=6+3a,
∵BC∥OA,
∴∠CBO=∠AOB=∠NOM,
又∵∠BCO=∠OMN=90°,
∴△BOC∽△ONM,
∴BC∶OM=OC∶NM,
即9∶(6+3a)=4∶2a,
解得a=4,
∴MN=2a=8 cm,
∵△ONM∽△BOC,
∴ON∶OB=MN∶CO=8∶4=2;
即=2;
②由①可知:MN=8 cm,
答案:①2　②8 cm
任务二:依题意得:四边形ABCO为矩形,BC=x cm,AB=4 cm,OF=6 cm,
∴OC=AB=4 cm,
由任务一可知:△BOC∽△ONM,MN=2a,OM=6+3a,
∴BC∶OM=OC∶NM,
∴x∶(6+3a)=4∶2a,
解得a=,
∴y=MN=2a=,
即y与x的关系式是y=;
任务三:(1)由任务二可知:y=,
∴当x=14时,y==3,
∴m=3;
答案:3
(2)将表格中的对应数据在平面直角坐标系中描点,再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象,如图所示:
(3)当x>6时,y随x的增大而减小(答案不唯一).
答案:当x>6时,y随x的增大而减小(答案不唯一)专题十七　项目化学习
类型一　根据素材探究利润、最优方案问题
【示范题1】(2024·盐城)请根据以下素材,完成探究任务.
制定加工方案
生产 背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.
信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装种类加工人数(人)每人每天加工量(件)平均每件获利(元)风y224雅x1正148
探究 任务 任务1 探寻变量关系 求x,y之间的数量关系.
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数解析式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
【思路点拨】任务1:根据题意安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,得出加工“正”服装的有(70-x-y)人,然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等,得出关系式即可得出结果;
任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为x[100-2(x-10)],然后将三种服装的获利求和即可得出结果;
任务3:根据任务2结果化为顶点式,然后结合题意求解.
类型二　根据素材解决安装、测量问题
【示范题2】(2024·烟台)根据收集的素材,探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方,才能保证使用效果,否则不予安装.
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为α,冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24,cos 14°≈0.97,tan 14°≈ 0.25, sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈ 0.55, sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈ 0.93, sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈ 4.01.
素材三 如图,该市甲楼位于乙楼正南方向,两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米.AE为某时刻的太阳光线.
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,应选择________日(填冬至或夏至)时,α为________(填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算,确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
类型三　根据素材进行跨学科研究
【示范题3】(2024·深圳二模)【项目式学习】
项目主题:学科融合——用数学的眼光观察世界
项目背景:学习完相似三角形性质后,某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律.
项目素材:
素材一:凸透镜成像规律:
物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立
2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 与物同侧 放大 正立
素材二:透镜成像中,光路图的规律:通过透镜中心的光线不发生改变;平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点.
项目任务:
任务一:凸透镜的焦距OF为6 cm,蜡烛AB的高为4 cm,离透镜中心O的距离是
9 cm时,请你利用所学的知识填空:①=________,②MN=________;
任务二:凸透镜的焦距OF为6 cm,蜡烛AB是4 cm,离透镜中心O的距离是
x cm(x>6)时,蜡烛的成像MN的高y cm,请你利用所学的知识求出y与x的关系式;
任务三:
(1)根据任务二的关系式得出表:
物距x/cm … 8 10 12 14 16 …
像高y/cm … 12 6 4 m 2.4 …
其中m=________;
(2)请在坐标系中画出它的图象;
(3)根据函数关系式,结合图象写出1条你得到的结论:
__________________________________.

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