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专题十一　动态探究问题
　　所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静、以静制动,灵活运用有关数学知识解决问题.
　　“动点型问题”是近几年中考出现的必考类型,题型繁多、题意创新,考查学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等,动点问题,特别是探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、特殊四边形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值,是近几年中考题的热点和难点.
类型一　有关动点问题的函数图象
　　函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.
【例1】(2023·河南)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为( )
A.6 B.3 C.4 D.2
【例2】(2023·武威)如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为( )
A.(4,2) B.(4,4) C.(4,2) D.(4,5)
类型二　有关动态几何型
　　点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.
(一)点动问题
【例3】已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6,0)和点B(-1,0),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交直线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标;
(3)如图(2),点M为抛物线对称轴l上一点,点N为抛物线上一点,当直线AC垂直平分△AMN的边MN时,求点N的坐标.
(二)线动问题
【例4】如图,在等腰△ABC中,直线l垂直底边BC,现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点,直线l与△ABC的边相交于E,F两点.设线段EF的长度为y,平移时间为t,则图中能较好反映y与t的函数关系的图象是( )
(三)面动问题
【例5】如图,等边△ABC,等边△DEF的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合,DE在AB上,DF在AC上,△DEF沿AB向右平移,当点D到达点B时停止.在此过程中,设△ABC,△DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为x,则y与x的函数图象大致为( )
类型三　双动点问题
　　动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点,双动点问题对我们获取信息和处理信息的能力要求更高;解题时需要我们用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
【例6】如图一所示,在平面直角坐标中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF∥AB交BC于点F.
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式.
(2)当△PEF的周长为最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长.
(3)若点G是抛物线上的一个动点,点M是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在以C,B,G,M为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【例7】(2023·重庆)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,动点E,F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发,E沿折线A→B→C方向运动,F沿折线A→C→B方向运动,当两点相遇时停止运动.设运动的时间为t秒,点E,F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数图象,并写出该函数的一条性质;
(3)结合函数图象,直接写出点E,F相距3个单位长度时t的值.
【思路点拨】(1)根据动点E,F运动的路线和速度分段进行分析,写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可;
(2)根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象,然后写出这个函数的其中一条性质即可;
(3)根据两个函数关系式分别求出当y=3时的t值即可解决问题.专题十一　动态探究问题
　　所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静、以静制动,灵活运用有关数学知识解决问题.
　　“动点型问题”是近几年中考出现的必考类型,题型繁多、题意创新,考查学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等,动点问题,特别是探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、特殊四边形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值,是近几年中考题的热点和难点.
类型一　有关动点问题的函数图象
　　函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.
【例1】(2023·河南)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为(A)
A.6 B.3 C.4 D.2
【例2】(2023·武威)如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为(C)
A.(4,2) B.(4,4) C.(4,2) D.(4,5)
类型二　有关动态几何型
　　点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.
(一)点动问题
【例3】已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6,0)和点B(-1,0),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交直线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标;
(3)如图(2),点M为抛物线对称轴l上一点,点N为抛物线上一点,当直线AC垂直平分△AMN的边MN时,求点N的坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(6,0),B(-1,0),
∴∴
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6=-(x-)2+,
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,顶点坐标为(,).
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,∴C(0,6),∴OC=6,
∵A(6,0),∴OA=6,∴OA=OC,∴∠OAC=45°,
∵PD平行于x轴,PE平行于y轴,∴∠DPE=90°,∠PDE=∠DAO=45°,
∴∠PED=45°,∴∠PDE=∠PED,∴PD=PE,
∴PD+PE=2PE,∴当PE的长度最大时,PE+PD取最大值.
∵A(6,0),C(0,6),∴直线AC的解析式为y=-x+6,
设E(t,-t+6)(0∴PE=-t2+5t+6-(-t+6)=-t2+6t=-(t-3)2+9,
当t=3时,PE最大,此时,-t2+5t+6=12,∴P(3,12).
(3)如图(2),设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F,连接NF,
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上,∴FM=FN,∠NFC=∠MFC,
∵l∥y轴,∴∠MFC=∠OCA=45°,
∴∠MFN=∠NFC+∠MFC=90°,∴NF∥x轴,
由(2)知,直线AC的解析式为y=-x+6,当x=时,y=,
∴F(,),∴点N的纵坐标为,
设N的坐标为(m,-m2+5m+6),∴-m2+5m+6=,
解得m=或m=,
∴点N的坐标为(,)或(,).
(二)线动问题
【例4】如图,在等腰△ABC中,直线l垂直底边BC,现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点,直线l与△ABC的边相交于E,F两点.设线段EF的长度为y,平移时间为t,则图中能较好反映y与t的函数关系的图象是(B)
(三)面动问题
【例5】如图,等边△ABC,等边△DEF的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合,DE在AB上,DF在AC上,△DEF沿AB向右平移,当点D到达点B时停止.在此过程中,设△ABC,△DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为x,则y与x的函数图象大致为(C)
类型三　双动点问题
　　动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点,双动点问题对我们获取信息和处理信息的能力要求更高;解题时需要我们用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
【例6】如图一所示,在平面直角坐标中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF∥AB交BC于点F.
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式.
(2)当△PEF的周长为最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长.
(3)若点G是抛物线上的一个动点,点M是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在以C,B,G,M为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),B(3,0),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,令x=0,可得y=3,∴C(0,3),
设直线BC的表达式为y=kx+b,则∴
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
(2)如图一中,连接PC,OP,PB.设P(m,-m2+2m+3),
∵B(3,0),C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠OBC=45°,
∵PF∥AB,∴∠PFE=∠OBC=45°,
∵PE⊥BC,∴△PEF是等腰直角三角形,∴PE的值最大时,△PEF的周长最大,
∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC=×3×(-m2+2m+3)+×3×m-×3×3
=-m2+m=-+,
∵-<0,∴m=时,△PBC的面积最大,面积的最大值为,此时PE的值最大,
∵×3×PE=,∴PE=,
∴△PEF的周长的最大值=++=+,此时P.
(3)存在.
理由:如图二中,设M(1,t),G(m,-m2+2m+3).
当BC为平行四边形的边时,则有|1-m|=3,解得m=-2或4,
∴G(-2,-5)或(4,-5);
当BC为平行四边形的对角线时,(1+m)=(0+3),∴m=2,∴G(2,3).
综上所述,满足条件的点G的坐标为(-2,-5)或(4,-5)或(2,3).
【例7】(2023·重庆)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,动点E,F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发,E沿折线A→B→C方向运动,F沿折线A→C→B方向运动,当两点相遇时停止运动.设运动的时间为t秒,点E,F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数图象,并写出该函数的一条性质;
(3)结合函数图象,直接写出点E,F相距3个单位长度时t的值.
【思路点拨】(1)根据动点E,F运动的路线和速度分段进行分析,写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可;
(2)根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象,然后写出这个函数的其中一条性质即可;
(3)根据两个函数关系式分别求出当y=3时的t值即可解决问题.
【解析】(1)当点E,F分别在AB,AC上运动时,△AEF为边长等于t的等边三角形,
∴点E,F的距离等于AE,AF的长,
∴当0当点E,F都在BC上运动时,点E,F的距离等于4-2(t-4),
∴当4∴y关于t的函数表达式为;
(2)由(1)中得到的函数表达式可知:当t=0时,y=0;当t=4时,y=4;当t=6时,y=0,
分别描出三个点(0,0),(4,4)(6,0),然后顺次连线,如图:
根据函数图象可知这个函数的其中一条性质:当0(3)把y=3分别代入y=t和y=12-2t中,得:3=t,3=12-2t,
解得t=3或t=4.5,
∴当点E,F相距3个单位长度时t的值为3或4.5.

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