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微专题16　线段、角、相交线与平行线
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 线段和直线
(1)两个基本事实：①直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线；②线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短
(2)线段的中点：如图①，若有AM＝①　　　　＝②　　　　AB，则M是线段AB的中点
图①
(3)线段的和与差：如图②，在线段AC上取一点B，则有：③　　　＋BC＝AC；AB＝④　　　　－BC；BC＝AC－⑤　　　　
图②
2. 角及角平分线(6年4考，常在几何题中涉及考查)
(1)度、分、秒的换算：1°＝60'，1'＝60″，角的度、分、秒是60进制
(2)余角：①定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，简称互余；
②性质：同角(或等角)的余角⑥　　　
(3)补角：①定义：如果两个角的和等于⑦　　　　，就说这两个角互为补角；
②性质：同角(等角)的补角⑧　　　
(4)角平分线：①定理：角平分线上的点到角两边距离相等；
②逆定理：角的内部到角两边⑨　　　　　的点在角的平分线上
3. 相交线
(1)对顶角：①举例：∠1与∠3，∠2与⑩　　　，∠5与∠7，∠6与 　　　
②性质：对顶角 　　
图③
(2)邻补角：
①举例：∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7等
②性质：邻补角之和等于 　　
(3)三线八角：①同位角：∠1与∠5，∠2与 　　　　，∠3与∠7，∠4与 　　　　
②内错角：∠2与∠8，∠3与 　　　
③同旁内角：∠2与∠5，∠3与∠8
(4)垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有 　　　　条直线垂直于已知直线(基本事实)
②在连接直线外一点与直线上各点的线段中， 　　　　最短
③点到直线的距离即直线外一点到这条直线的垂线段的长度
(5)线段垂直平分线：
①定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
②逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
4. 平行线(6年9考)
(1)平行公理及推论：
①公理：经过直线外一点，有且只有 　　　　条直线平行于这条直线(基本事实)
②推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 　　
(2)平行线的判定和性质：
①同位角 　　　两直线平行
②内错角 　　　两直线平行
③同旁内角 　　　两直线平行
【满分技法】1.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.两条平行线之间的距离处处相等
5. 命题
命题 判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题
假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
互逆 命题 在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，且这个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
教材改编题练考点
如图，从A地到B地的四条路线中，路程最短的是　　　，理由为　　　　　　　.
第1题图
2. 如图，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，则线段CD长为　　　　　　　.
第2题图
3. 若一个角是38°，则它的余角为　 　　，补角为　 　　.
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠EOD＝55°，则∠BOD的度数为　　　　°.　
第4题图
5. 下列图形中，由AB∥CD能得到∠1＝∠2的是(　　)
6. 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 邻补角之和等于180°
C. 两个锐角的和是直角
D. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直
高频考点
考点1　角及角平分线 (6年4考，常在几何题中涉及考查)
例1　(人教七上习题改编)如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E在OD上，EF⊥OA.
(1)若∠COD＝35°，则∠AOD＝　　　　，∠AOD的余角＝　　　　；
(2)若EF＝3，则点E到OC的距离为　　　　，其依据是　　　　　　　　.
例1题图
变式1　 如图，∠AOB余角的度数为(　　)
变式1题图
A. 20° B. 30° C. 60° D. 80°
变式2　 如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝　　　　.
变式2题图
考点2　平行线的性质及判定 (6年7考)
例2　如图，直线AB与CD分别交EF于点G，H.
例2题图
(1)添加一个条件：若　　　　，则AB∥CD(判定依据：同位角相等)；
(2)添加一个条件：若　　　　，则AB∥CD(判定依据：内错角相等)；
(3)添加一个条件：若　　　　，则AB∥CD(判定依据：同旁内角互补).
例3　已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点H，G，∠DGH＝60°.
(1)如图①，与∠BHE相等的角有　　　　，∠BHG＝　　　　；
(2)如图②，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，则∠QGH＝　　　　，∠CGH＝　　　　；
(3)如图③，若GM平分∠HGD，交直线AB于点M，则∠HMG＝　　　　，∠BMG＝　　　　.
例3题图
真题及变式
命题点　平行线性质求角度 (6年4考) 　
1. (2024广东4题3分)如图，一把直尺，两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　)
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
　
第1题图
2. (2023广东4题3分·人教七下习题改编)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝(　　)
第2题图
A. 43° B. 53° C. 107° D. 137°
3. (2022广东4题3分·北师八上例题改编)如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝(　　)
第3题图
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4. (2019广东12题4分)如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝　　　　°.
第4题图
拓展训练
5. (2024珠海斗门区一模)如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放.若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　)
A. 130° B. 100° C. 90° D. 70°
第5题图
6. (2024德阳)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　　)
第6题图
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
7. (2023金华)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是(　　)
第7题图
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
新考法
8. [跨物理学科](2024山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　)
第8题图
A. 155° B. 125° C. 115° D. 65°
考点精讲
①BM　②　③AB　④AC　⑤AB　⑥相等　⑦180°
⑧相等　⑨距离相等　⑩∠4　 ∠8　 相等
180°　 ∠6　 ∠8　 ∠5　 一　 垂线段　 一
互相平行　 相等　 相等　 互补
练考点
1. 3，两点之间线段最短
2. 1 cm
3. 52°，142°
4. 70
5. D
6. B
高频考点
例1　(1)35°，55°；
(2)3，角平分线上的点到角两边的距离相等.
变式1　B　【解析】由题图可知∠AOB＝60°，∴∠AOB余角的度数为90°－60°＝30°.
变式2　2　【解析】如解图，作PE⊥OB于点E，∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2，∴PD＝PE＝2.
变式2题解图
例2　(1)∠EGB＝∠EHD(答案不唯一)
(2)∠BGF＝∠CHE(答案不唯一)
(3)∠BGF＋∠DHE＝180°(答案不唯一)
例3　(1)∠AHG，∠CGF，∠HGD；120°
(2)30°，120°　【解析】∵GQ⊥AB，∴∠GQH＝90°，∵AB∥CD，∴∠QGD＝90°，∵∠DGH＝60°，∴∠QGH＝∠QGD－∠DGH＝30°，∠CGH＝180°－∠DGH＝120°.
(3)30°，150°　【解析】∵∠DGH＝60°，GM平分∠HGD，∴∠MGD＝∠DGH＝30°，∵AB∥CD，∴∠HMG＝∠MGD＝30°，∴∠BMG＝180°－∠HMG＝150°.
真题及变式
1. C　【解析】由题意，得∠A＝90°－30°＝60°，AB∥CE，∴∠ACE＝∠A＝60°.
2. D　【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝137°.
3. B　【解析】∵直线a∥b，∴∠2＝∠1＝40°.
4. 105
5. B　【解析】如解图，∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝50°，又∵∠4＝30°，∴∠2＝180°－∠3－∠4＝180°－50°－30°＝100°.
第5题解图
6. B　【解析】∵AB∥CD，∠ABC＝70°，∴∠BCD＝∠ABC＝70°，∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°－70°＝20°.
7. C　【解析】如解图，∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∵∠2＝50°，∴∠2＝∠5＝50°，∴∠4＝180°－∠5＝130°.
第7题解图
8. C　【解析】如解图，∵重力G的方向竖直向下，∴∠3＝90°，∴∠α＋∠1＝90°，∴∠2＝∠1＝90°－25°＝65°，∵摩擦力F2的方向与斜面平行，∴∠β＋∠2＝180°，∴∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.
第8题解图

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