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微专题17　一般三角形及其性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 三角形的分类
(1)按边分
(2)按角分：锐角三角形、②　　　　　、钝角三角形
2. 三角形的基本性质(6年4考)
(1)三边关系：③　　　　　　　　　　　，④　　　　　　　　　　　
(2)角的关系
(3)边角关系：同一个三角形中，等边对⑧　　　　
(4)稳定性：三角形具有稳定性
3. 三角形中的重要线段(6年7考)
四线 图形 性质 延伸
中线 AD是中线 BD＝⑨　　　＝⑩　　　BC (1)S△ABD＝S△ACD＝S△ABC； (2)三角形三条中线的交点为三角形的重心
高线 AD是高线 AD⊥ 　　，即∠ADB＝∠ADC＝90° 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心
角平 分线 AD是角平分线 ∠BAD＝ 　　　　＝∠BAC (1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心； (2)内心到三角形三边距离相等
中位线 DE是中位线 DE∥BC且DE＝ 　　　BC (1)△ADE与△ABC相似，其相似比为1∶2，面积比为1∶4； (2)当三角形遇到中点时，常构造三角形中位线
练考点
1. 已知三角形的两个内角都小于40°，则这个三角形是　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是　　　　.
3. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠ACD＝　　　　°.
第3题图
4. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(　　)
第4题图
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
高频考点
考点1　三角形的基本性质 (6年4考)
例1　 如图，D是△ABC中BC边上一点，连接A D.
例1题图
(1)若AB＝3，AC＝2，则BC长度的取值范围是　　　　　；
(2)若∠B＝20°，∠C＝40°.
①若AD平分∠BAC，则∠CAD的度数为　　　　；
②若∠DAC＝2∠BAD，则∠ADC的度数为　　　　.
变式1　如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为(　　)
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
变式1题图
考点2　三角形中的重要线段 (6年7考)
例2　(中线、中位线)如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10，AC＝6.
例2题图
(1)△ABD与△ACD的周长差为　　　　；
(2)若E为AB的中点，连接DE，则DE长为　　　　；
(3)点E在边AB上，连接DE.
①若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，则线段AE的长为　　　　；
②若DE平分△ABC的周长，则AE长为　　　　.
例3　(高线、角平分线)如图，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝α，∠B＝β(α＞β).
例3题图
(1)若α＝70°，β＝40°，则∠DCE＝　　　　；
(2)试用含α，β的代数式表示∠DCE＝　　　　；
(3)若BC∶AC＝5∶3，S△BEC＝9，则S△ABC＝　　　　.
真题及变式
命题点1　三角形的基本性质 (6年4考) 　
1. (2022广东3题3分·人教八上习题改编)下列图形中有稳定性的是(　　)
A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形
2. (2024揭阳普宁模拟)若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是(　　)
A. a，b都可以 B. a，b都不可以 C. 只有a可以 D. 只有b可以
第2题图
命题点2　三角形中的重要线段 (6年7考) 　
3. (2022广东5题3分)如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝(　　)
第3题图
A. B. C. 1 D. 2
3.1变条件——增加角平分线
如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，BE平分∠ABC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数为(　　)
变式3.1题图
A. 25°　　　　 B. 50°　　　　　 C. 65°　　　　　 D. 90°
4. (2020广东6题3分)已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A. 8 B. 2 C. 16 D. 4
4.1变条件——将三边中点变为一边中线
已知AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3.若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为　　　　.
新考法
5. [结合量角器] 如图，点D，E分别是△ABC的两边AB，AC上的点，连接DE，CD，DE与量角器的0刻度线重合，点D与量角器的圆心重合.若∠A＝20°，BC＝DC，DE＝EC，则∠ACB的度数为(　　)
第5题图
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
考点精讲
①等边三角形　②直角三角形　③任意两边的和大于第三边　④任意两边的差小于第三边　⑤三角形三个内角的和等于180°　⑥等于　⑦大于　⑧等角　⑨CD　⑩　 BC
∠CAD　
练考点
1. 钝角
2. 5(答案不唯一)
3. 140
4. B
高频考点
例1　(1)1＜BC＜5；
(2)①60°　【解析】∵∠B＝20°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝60°；
②60°　【解析】∵∠DAC＝2∠BAD，∴∠BAD＋∠DAC＝3∠BAD＝120°，∴∠BAD＝40°，∵∠B＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°.
变式1　C
例2　(1)4　【解析】∵AD是中线，∴BD＝CD，∵△ABD的周长＝AB＋AD＋BD，△ACD的周长＝AC＋CD＋AD，∴△ABD的周长与△ACD的周长的差即AB与AC的差，∵AB－AC＝4，∴△ABD与△ACD的周长差为4.
(2)3　【解析】∵AD是中线，∴D是BC的中点，∵E为AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝3.
(3)①1或3　【解析】可分为两种情况，①BE＋BD的值比AE＋AC＋CD大2时，即BE－(AE＋AC)＝2，∵AB＝10，AC＝6，∴AE＝1；②AE＋AC＋CD的值比BE＋BD大2时，即AE＋AC－BE＝2，∵AB＝10，AC＝6，∴AE＝3，综上，线段AE的长为1或3.
②2　【解析】∵DE平分△ABC的周长，∴BE＝AE＋AC，∵AB＝10，AC＝6，BE＋AE＝AB，∴AE＝2.
例3　(1)15°　【解析】由题意得，∠ACB＝180°－(α＋β)＝180°－(70°＋40°)＝70°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝35°.∵CD是高线，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－α＝20°，∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝35°－20°＝15°.
(2)　【解析】由题意得，∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(α＋β)，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝90°－(α＋β).∵CD是高线，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－∠BAC＝90°－α，∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝90°－(α＋β)－(90°－α)＝.
(3)　【解析】如解图，过点E分别向BC，AC作垂线，垂足分别为点F，G，∵CE为∠BCA的平分线，∴EF＝EG，由题意得S△BEC＝×BC×EF＝9，S△ECA＝×AC×EG，∵BC∶AC＝5∶3，∴S△ECA＝S△BEC＝，∴S△ABC＝S△ECA＋S△BEC＝.
例3题解图
真题及变式
A
2. C　【解析】三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为5 cm和4 cm的铁丝做一个三角形的框架，可以把5 cm的铁丝分为两段.∵5＞4，∴满足两边之和大于第三边.
3. D　【解析】∵在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝2.
变式3.1　C　【解析】∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴AD＝BD，DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠DEB＝25°，∴BD＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝(180°－∠ADE)＝65°，∴∠C＝∠DEA＝65°.
4. A　【解析】如解图，∵点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，∴DF＝AC，DE＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝(BC＋AC＋AB)＝×16＝8.
第4题解图
变式4.1　9　【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为8，即AC＋CD＋AD＝8，∵AC＝3，∴CD＋AD＝BD＋AD＝5，∵AB＝4，∴AB＋BD＋AD＝9.
5. D　【解析】由量角器可得，∠ADE＝50°，∵∠A＝20°，∴∠DEC＝50°＋20°＝70°，∵DE＝EC，∴∠DCE＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠BDC＝20°＋55°＝75°，∵BC＝DC，∴∠B＝∠BDC＝75°，∴∠ACB＝180°－20°－75°＝85°.

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