资源简介

微专题18　等腰三角形与直角三角形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 等腰三角形与直角三角形的性质(6年7考)
图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角 三角形
图形
性 质 边 两腰①　 　 三边相等 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有 　　 两直角边相等
角 两底角② 　 三角相等，且每一个角都等于⑧ 　 两锐角之和等于 　 两锐角相等且都等于45°
特殊 性质 等腰三角形顶角的③　　、④　　　、⑤ 　　　 相互重合(简记为“三线合一”) 满足“三线合一” (1)斜边上的中线等于 　　　 (2)30°角所对的直角边等于 　 　 1.满足“三线合一” 2.斜边上的中线等于 　　　
对称 性 等腰三角形是轴对称图形，有⑥　　条对称轴，对称轴是 ⑦　 　 等边三角形是轴对称图形，有⑨　　条对称轴，对称轴是 ⑩ — 等腰直角三角形是轴对称图形，有 　 　　条对称轴，对称轴是 　　　
面积计 算公式 S＝ S＝ah＝ 　　　 S＝ch＝ 　　 S＝ch＝ 　　　
2. 等腰三角形与直角三角形的判定(6年6考)
练考点
1. 在△ABC中，AB＝AC.
(1)若△ABC的周长为12，一边长为5，则BC＝　　　　；
(2)若△ABC的一个内角为80°，则∠B＝　　　　°；
(3)如图，延长BC至点D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于点E，若AB＝5，AD＝8，则CE＝　　　　.
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线.
第2题图
(1)若∠B＝2∠C，则∠B＝　　　　；
(2)在(1)的条件下，若AB＝4，则AD＝　　　　，∠ADB＝　　　　°；
(3)若△ABC中两边长分别为3，4，则△ABC的周长为　　　　.
3. 如果△ABC的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝1∶1∶，那么△ABC是(　　)
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰直角三角形
高频考点
考点1　等腰三角形的相关证明及计算 (2020.20)
例1　 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，交AB于点E.
(1)求证：AD∥FG；
(2)试判断△AEF的形状，并说明理由；
(3)如图②，连接CE，若CE⊥AB，AB＝13，BC＝10，求CE的长；
(4)若∠B＝60°，BC＝8，E为AB的中点，求BG的长.
图①
图②
例1题图
考点2　直角三角形的相关证明及计算 (6年3考)
例2　 如图①，已知在△ABC中，CD是边AB上的高，∠A＝∠BC D.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若∠A＝30°，BD＝，求AC的长；
(3)若AC＝，BD＝4，求AD的长；
(4)如图②，AE平分∠CAB交CD于点F，交CB于点E，求证：CE＝CF.
图①
图②
例2题图
真题及变式
命题点1　特殊三角形的判定 (6年7考，常在计算题中涉及考查)
1. (2020广东20题6分·人教七上习题改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.
第1题图
(2020广东21(2)题5分)若a＝－4，b＝12，一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.
2.1变条件——将已知条件变为与非负性结合
已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋｜c－3｜＝0，则△ABC是(　　)
A. 等边三角形　　B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
命题点2　与特殊三角形有关的计算 (6年7考，常在几何题中涉及考查) 　
3. (2021广东20题6分·北师八下习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝A B.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值.
第3题图
新考法
4. [综合与实践]
数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.
【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是，则这个三角形是黄金三角形.
【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是36°，并制作了相同五角星如图②所示，∠A的度数为36°，且AD＝AB＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形.
【解决问题】
(1)∠CBD＝　　　　°；
(2)求证：△ABD是黄金三角形；
(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝1，求AB的长.
第4题图
考点精讲
①相等　②相等　③平分线　④底边上的高　⑤底边上的中线　⑥1　⑦底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线　⑧60°　⑨3　⑩每条边上的高(或中线或内角平分线)所在的直线　 a2＋b2＝c2
90°　 斜边的一半　 斜边的一半　 斜边的一半 一　 斜边上的高(或中线或顶角的平分线)所在的直线　 ah　 a2　 ab　 a2　 90°(直角)
60°　 相等　
练考点
1. (1)2或5；(2)50或80；(3)3
2. (1)60°；(2)4，60；(3)12或7＋
3. D
高频考点
例1　(1)证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG；
(2)解：△AEF等腰三角形，理由如下：
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
由(1)知AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF是等腰三角形；
(3)解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝＝＝12，
∵CE⊥AB，
∴S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，
即×10×12＝×13×CE，解得CE＝；
(4)解：∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝8，
∵FG⊥BC，
∴∠BEG＝90°－∠B＝30°，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝4，
∵在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，
∴BG＝BE＝2.
例2　(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，即∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠BCD，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ACB，
∴△ABC是直角三角形；
(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
∴AB＝4BD；
∴AB＝4，BC＝2，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝6；
(3)解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝BD＋AD，
∴＝，
∵AC＝，BD＝4，
∴＝，
解得AD＝－5(舍去)或AD＝1，
∴AD＝1；
(4)证明：在Rt△AEC中，∠CEA＝90°－∠1，
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°－∠2，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∴∠AFD＝∠CEF，
又∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF.
真题及变式
1. 证明：在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠DBF＋∠FBC＝∠ECF＋∠FCB，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
2. 解：该三角形是等腰直角三角形，理由如下：
∵a＝－4，b＝12，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0即为x2－4x＋12＝0，
解得x1＝x2＝2，
∴该三角形是等腰三角形，
∵(2)2＋(2)2＝(2)2，
∴该三角形是等腰直角三角形.
变式2.1　D　【解析】由题意得，解得，∵a2＋b2＝c2，且a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形.
3. 解：(1)如解图，设DF交BC于点F，由题意得AB＝CE，DF垂直平分BC，连接BD，
∴BD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝CE＋AC＝AE＝1；
(2)设AD＝x，由AD＝BD，得BD＝3x，在Rt△ABD中，∠A＝90°，
∴AB＝＝2x，
由(1)得CD＝BD＝3x，
∴AC＝AD＋CD＝4x，
∴tan∠ABC＝＝＝.
第3题解图
4. (1)解：36；
【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝(180°－∠A)＝72°，又∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝∠ADB－∠C＝36°.
(2)证明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，
∴AB＝BC＝1，∴△BDC∽△ABC，∴＝.
设BD＝x，则AC＝1＋x，∴＝，
整理得x2＋x－1＝0，解得x1＝，x2＝(不符合题意舍去)，
∴＝＝＝，
∴△ABD是黄金三角形；
(3)解：如解图①，延长BC至点D，使得BC＝CD，连接AD，则BD＝2BC＝2.
∵∠ACB＝90°，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴∠BAD＝2∠BAC＝36°，
由(2)可知，等腰△ABD是黄金三角形，
∴＝，即＝，
解得AB＝＋1.
第4题解图①
一题多解法
如解图②，记AB的中点为E，连接CE，
即AE＝CE＝BE＝AB，
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ACE＝2∠BAC＝36°，
又∵BE＝CE，
∴由(2)可知，等腰△BCE是黄金三角形，
∴＝，即＝，解得BE＝，
∴AB＝2BE＝2×＝＋1.
第4题解图②

展开更多......

收起↑