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微专题19　遇到中点如何添加辅助线
一阶　方法训练
方法解读
情形一　已知三角形一边(两边)中点
原理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
作法：1.如图①，连接一边中点与另一边中点构造中位线；
2.如图②，倍长另一边构造中位线
图①
图②
结论：DE∥BC，DE＝BC
情形二　已知三角形一边中点
原理：1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
作法：连接中点与顶点
(1)等腰三角形 (2)直角三角形
　　　
结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC　
结论：BD＝AD＝CD＝AC
(3)一般三角形
结论：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC
情形三　已知三角形一边上的中线或三角形一边上的中点与另一边上一点的连线
原理：当三角形出现中线或与中线有关的线段，考虑倍长中线或倍长类中线构造全等三角形，利用全等三角形性质进行解题
作法一：构造倍长中线
延长AD至点E，使得AD＝DE，连接BE；
结论：△BDE≌△CDA；
作法二：构造倍长类中线
延长MD至点N，使MD＝DN，连接CN；
结论：△BDM≌△CDN
方法一　遇到中点，考虑构造中位线
例1　(北师九上习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF⊥BC于点F，连接DF，若BC＝8，EF＝3，则DF的长为(　　)
例1题图
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
例2　如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，F是AD的中点，若BF＝2，则AC的长为　　　　.
例2题图
例3　如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上一点，∠BAC＝2∠DEC，若CE＝8，AE＝2，则AB的长为　　　　.
例3题图
方法二　遇到中点，考虑构造中线(2020.17)
例4　如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长为　　　　.
例4题图
例5　(人教八上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，D为AB边的中点，E为BC延长线上一点，连接DE，∠B＝2∠E，则CE的长为　　　　.
例5题图
例6　 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE的中点，若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为　　　　.
例6题图
方法三　遇到中线(类中线)，考虑倍长中线(类中线)构造全等三角形(2024.15)
例7　如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，则BC的长为　　　　.
例7题图
例8　 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.
证法一(构造倍长中线)：
例8题图
证法二(构造倍长类中线)：
二阶　综合应用
1. (人教八上习题改编)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，若AF＝BC＝4，则△ABC的面积为(　　)
第1题图
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
2. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EF，DF，若EF＝2，则DF的长为　　　　.
第2题图
3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在边BC上，连接ED，若∠A＝∠BED，则ED的长为　　　　.
第3题图
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，D，E分别为线段BC，AC上的动点，且BD＝EC，连接AD，BE交于点F，若点F为BE的中点，求线段BD的长.
第4题图
一阶　方法训练
例1　B　【解析】如解图，连接DE，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝4，∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠DEF＝180°－∠BFE＝90°，∵EF＝3，∴由勾股定理得DF＝＝5.
例1题解图
例2　4　【解析】如解图，延长DB至点G，使GB＝BD，连接AG.∵点F是AD的中点，∴BF是△ADG的中位线，∴AG＝2BF＝4，∵BD＝CD，∴DG＝DC，∵AD⊥BC，∴AC＝AG＝4.
例2题解图
例3　6　【解析】如解图，过点D作DF∥AB交AC于点F，则∠DFC＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠DEC，∠DFC＝∠DEC＋∠EDF，∴∠DEC＝∠EDF，∴EF＝DF，∵D为BC边的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴EF＝DF＝AB，CF＝AF，∴CE＝CF＋EF＝AF＋EF＝AE＋EF＋EF＝2＋2EF＝2＋AB＝8，∴AB＝6.
例3题解图
例4　3　【解析】如解图，连接AF，∵AD＝AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD，在Rt△AFC中，E是AC的中点，∴EF＝AC＝×6＝3.
例4题解图
例5　4　【解析】如解图，连接CD，∵∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，∴CD＝BD＝AD＝AB＝4，∴∠B＝∠BCD，∵∠B＝2∠E，∠BCD＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠CDE，∴CE＝CD＝4.
例5题解图
例6　24　【解析】如解图，连接AE，∵点F是BE的中点，∴S△AEF＝S△ABF＝S△ABE.∵点E是CD的中点，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S△ADE＝S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝24.
例6题解图
例7　6　【解析】如解图，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠DEA＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.
例7题解图
例8　证法一：证明：如解图①，延长AD至点G，使AD＝DG，连接BG，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△ACD和△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD(SAS)，
∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，
∴AC＝BE.
例8题解图①
证法二：证明：如解图②，延长ED至点H，使ED＝DH，连接CH，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH(SAS)，
∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠CHD＝∠EAF，
∴CH＝AC，
∴AC＝BE.
例8题解图②
二阶　综合应用
1. A　【解析】如解图，连接DE，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，∴DF＝AF＝2，∴AD＝AF＋DF＝4＋2＝6，∴S△ABC＝×4×6＝12.
第1题解图
2. 2　【解析】如解图，连接AF，AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形.∵E，F分别是边AB，BC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4，AF⊥BC，∴AB＝AD＝AC＝4，∠AFB＝∠DAF＝90°，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin 60°＝2，在Rt△AFD中，DF＝＝2.
第2题解图
3. 　【解析】如解图①，连接BD，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵D是AC的中点，∴DB＝DC＝AC＝5，∴∠C＝∠DBE.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EDB，∴＝，即＝，解得ED＝.
第3题解图①
一题多解法
如解图②，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴∠DFE＝∠B，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵点D是AC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴FD＝AB＝3.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EFD，∴＝，即＝，解得ED＝.
第3题解图②
4. 解：如解图①，过点F作FG∥AC交BC于点G，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝6.
∵点F为BE的中点，FG∥AC，
∴FG为△BCE的中位线，
∴BG＝CG＝BC＝3.
设CE＝x(0＜x＜6)，则FG＝x，AE＝AC－CE＝6－x，
∵BD＝CE＝x，
∴DG＝3－x，CD＝6－x.
∵FG∥AC，
∴△DGF∽△DCA，
∴＝，即＝，
解得x＝－3＋9或x＝3＋9(舍去)，
∴BD＝－3＋9.
第4题解图①
一题多解法
解法二：如解图②，延长AF至点H，使得FH＝AF，连接BH，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝6.
∵点F为BE的中点，
∴BF＝EF.
又∵∠BFH＝∠EFA，
∴△HFB≌△AFE，
∴∠H＝∠FAE，BH＝AE，
∴BH∥AE，
∴△BHD∽△CAD，
∴＝，
设CE＝BD＝x(0＜x＜6)，
∴DC＝AE＝BH＝6－x，
∴＝，
解得x＝－3＋9或x＝3＋9(舍去)，
∴BD＝－3＋9.
第4题解图
解法三：如解图③，过点F作FN∥AB交AC于点N，过点E作EM∥AD交BC于点M，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝6.
设BD＝EC＝x(0＜x＜6)，
∵点F为BE的中点，FN∥AB，
∴FN为△ABE的中位线，
∴FN＝AB＝3，EN＝AN＝AE＝，∠FNE＝∠BAE＝60°.
∵EM∥AD，点F为BE的中点，
∴FD为△BME的中位线，
∴∠BDF＝∠BME，BD＝DM＝x，∴CM＝6－2x.
∵BD＝CE，∠ABD＝∠BCE，AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠BME，
∴∠ADC＝∠BEA＝∠EMC.
∵∠FNE＝∠C＝60°，
∴△EFN∽△MEC，
∴＝，即＝，
解得x＝－3＋9或x＝3＋9(舍去)，
∴BD＝－3＋9.

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