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微专题20　遇到角平分线如何添加辅助线
一阶　方法训练
方法解读
情形一　过角平分线上的点作一边的垂线
原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；
2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.
作法：如图，过点P作PB⊥ON于点 B.
结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP
情形二　过角平分线上的点作角平分线的垂线
原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点 B.
结论：△OAB是等腰三角形
情形三　1.过角平分线上的点作边的平行线；
2.过边上的点作角平分线的平行线
原理：(1)两直线平行，内错角相等；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)等角对等边.
作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；
(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q.
结论：△OPQ为等腰三角形
情形四　1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；
2.延长被平分的角的短边至与长边相等
原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
作法一：截长法
在AC上截取AE＝AB，连接DE，
结论：△ABD≌△AED；
作法二：补短法
延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，
结论：△AFD≌△ACD
方法一　遇角一边的垂线，考虑运用角平分线定理
[6年3考：2024.17(3)，2021.7，2020.22]
例1　(北师八下例题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点 D.若AD＝3，S△BCD＝15，则BC＝　　　　.
例1题图
例2　(人教八上习题改编)如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点D是OC上一点，过点D作OA的垂线，交OA于点E，交OB于点F，若DE＝1，则DF的长为　　　　.
例2题图
方法二　遇角平分线的垂线，考虑构造等腰三角形
例3　(人教八上习题改编)如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ACD的面积为　　　　.
例3题图
例4　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AD，若BD＝2，则AE的长为　　　　.
例4题图
方法三　遇角平分线(或边)上一点，考虑作平行线构造等腰三角形
例5　如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，则的值为　　　　.
例5题图
例6　如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为点E，若DE＝2，则BE的长为　　　　.
例6题图
方法四　截长补短构造轴对称图形
例7　 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝120°，BD平分∠AB C.若AB＋AD＝8，则BC的长为　　　　.
例7题图
例8　(人教八上习题改编)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的长.
解法一(截长法)：
例8题图
解法二(补短法)：
二阶　综合应用
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝4，∠CBD＝15°，则AB的长为　　　　.
第1题图
2. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB上一点，∠AED＝∠C，若AD＝4，AE＝5，DE＝6，则BC的长为　　　　.
第2题图
3. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点 D.
(1)如图①，E为AC边上一点，连接ED，已知∠AED＋∠B＝180°.求证：DB＝DE；
(2)如图②，△ABC的外角∠CBP的平分线BF与AD延长线交于点F，连接CF，求∠BCF的度数.
第3题图
一阶　方法训练
例1　10　【解析】如解图，过点D作DE⊥BC于点E.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝3.∵S△BCD＝15，∴BC·DE＝15，即BC＝15，解得BC＝10.
例1题解图
例2　　【解析】如解图，过点D作DG⊥OB于点G，∴∠DGF＝90°.∵DE⊥OA，OC平分∠AOB，∴DG＝DE＝1，∵∠AOB＝45°，EF⊥OA，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠EFO＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴DF＝DG＝.
例2题解图
例3　8　【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠BDA＝∠EDA＝90°，在△BAD和△EAD中，，∴△BAD≌△EAD(ASA)，∴BD＝ED，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD＋S△BDC＝S△AED＋S△CDE＝S△ACD，∴S△ACD＝S△ABC＝×16＝8.
例3题解图
例4　4　【解析】如解图，延长BD，AC交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴△ABF为等腰三角形，∴BD＝FD，即BF＝2BD＝4.∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，∵AD⊥BD，∴∠BED＋∠FBC＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∴∠EAC＝∠FBC.又∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF＝4.
例4题解图
例5　2　【解析】如解图①，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠ABD＝∠BDE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则CE＝6－x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝2，∴CE＝4，∴＝＝＝2.
例5题解图①
一题多解法
如解图②，过点D作DF∥BC交AB于点F，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，∵＝，即＝，解得AF＝1，∴BF＝2，∴＝＝＝2.
例5题解图②
例6　4＋2　【解析】如解图，过点D作DF∥AB交BC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DF∥AB，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝∠BDF，∠DFC＝∠ABC＝30°，∴∠BDF＝∠ABD，∴∠BDF＝∠CBD，∴BF＝DF，∵DE⊥BC，∴△DEF是直角三角形，∴DF＝2DE＝4，EF＝＝2，∴BF＝DF＝4，∴BE＝BF＋EF＝4＋2.
例6题解图
例7　8　【解析】如解图，延长BA至点F，使得BF＝BC，连接DF.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△FBD和△CBD中，，∴△FBD≌△CBD(SAS)，∴FD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝FD，∵∠BAD＝120°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝AD，∴BC＝BF＝AB＋AD＝8.
例7题解图
例8　解：如解图①，在BA上截取BG＝BC，连接GE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠GBE，
∵BC＝BG，BE＝BE，
∴△CBE≌△GBE(SAS)，
∴CE＝GE，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2BG，
∴点G是AB的中点，
∵点E是BD的中点，
∴GE是△ABD的中位线，
∴GE＝AD＝，
∴CE＝.
例8题解图①
一题多解法
如解图②，延长BC至点F，使得CF＝BC，连接DF，
∵AB＝2BC，BF＝2BC，
∴BF＝BA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠ABD，
∵BD＝BD，
∴△BDF≌△BDA(SAS)，
∴DF＝DA＝5，
∵点E是BD的中点，
∴CE是△BDF的中位线，
∴CE＝DF＝.
例8题解图②
二阶　综合应用
1. 8＋4　【解析】∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC＝2∠CBD＝30°，如解图①，过点D作DE∥BC交AB于点E，则∠ADE＝∠C＝90°，∠AED＝∠ABC＝30°，∴AE＝2AD＝8，ED＝AD＝4，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠EBD，∴BE＝DE＝4，∴AB＝AE＋BE＝8＋4.
第1题解图①
一题多解法
如解图②，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC＝2∠CBD＝30°，∵∠C＝90°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝4，∴AE＝2，DE＝2，∴CD＝DE＝2，∴AC＝4＋2，∴AB＝8＋4.
第1题解图②
2. 12　【解析】如解图，在BC上截取BF＝BE，连接DF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BF，BD＝BD，∴△BED≌△BFD(SAS)，∴DE＝DF，∠BED＝∠BFD，∴∠AED＝∠CFD，∵∠AED＝∠C，∴∠CFD＝∠C，∴DF＝CD＝DE＝6，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴＝，解得BC＝12.
第2题解图
3. (1)证明：如解图①，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝FD，∠DFB＝∠C＝90°，
∵∠AED＋∠B＝180°，且∠AED＋∠DEC＝180°，
∴∠B＝∠DEC.
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB(AAS)，
∴DB＝DE；
图①
图②
第3题解图
(2)解：如解图②，分别过点F作FH⊥AC交AC的延长线于点H，FG⊥BC交BC于点G，FK⊥BP交BP于点K，
∵BF平分∠CBP，FG⊥BC，FK⊥BP，
∴FG＝FK，
∵AD平分∠BAC，FK⊥BP，FH⊥AH，
∴FK＝FH，
∴FG＝FH，
∴CF平分∠HCG，
∴∠BCF＝∠HCG，
∵∠ACB＝90°，
∴∠HCG＝180°－∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝∠HCG＝45°.

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