资源简介

微专题22　相似三角形(含位似)
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 比例
(1)比例线段
比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
比例中项 如果a∶b＝b∶c或＝或①　　　，那么b叫做a和c的比例中项
比例的性质
性质1(基本 性质) 如果＝，那么②　　　　＝bc(b，d≠0)(反之也成立)
性质2(合比 性质) 如果＝，那么 ＝③　　　　(b，d≠0)
性质3(等比 性质) 如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝
2. 平行线分线段成比例
(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成④　　　
3. 黄金分割比例(2023.6)
图示
定义 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝⑤　　　，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即＝≈0.618，≈0.382，简记为＝＝
【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点
4. 相似三角形的性质与判定(6年11考)
性质 (1)相似三角形的对应角⑥　　　　，对应边⑦　　　　； (2)相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于⑧　　　　，面积比等于⑨　　　　
判定 方法 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且⑩　　　相等的两个三角形相似 三边 　　　　的两个三角形相似
5. 位似
(1)定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心
(2)性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
②在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k
练考点
1. 已知＝＝＝，则＝　　　　.
2. 如图是五条等距离的平行线，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝4，则线段BC的长为　　　　.　
第2题图
3. 如图，若线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为　　　　.
第3题图
4. 若两个相似三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积比是　　　　.
5. 如图，AB与CD交于点O.若＝＝，则＝　　　　　　　.
第5题图
6. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB∶OE＝2∶3，若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为　　　　.
第6题图
高频考点
考点1　平行线分线段成比例
例1　(北师九上习题改编)如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，下列结论正确的是(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
例1题图
变式1　(人教九下习题改编)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥C D.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为　　　　.
变式1题图
考点2　相似三角形的性质与判定 (6年9考)
模型一　A字型
[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]
模型分析
类型 正“A”字型 斜“A”字型
模型展示
模型特点 有共用的一组角∠A，并且有另外一组角相等，形似“字母A”
解题思路 找同侧的一组相等角 找异侧的一组相等角
结论 △ADE∽△ABC ＝＝ △ADE∽△ACB ＝＝
例2　(人教九下练习改编)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，则CE的长为　　　　.
例2题图
变式2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，若AC＝6，BD＝5，则sin B的值为　　　　　　　.
变式2题图
变式3　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若BE＝2，BC＝3，则＝　　　　.
变式3题图
模型二　8字型
[2021.23，2019.10③]
模型分析
类型 正“8”字型 斜“8”字型
模型展示
模型特点 有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”
解题思路 找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例
结论 △AOB∽△DOC ＝＝ △AOB∽△COD ＝＝
例3　如图，线段AE，BD交于点C，连接AB，DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，则AB＝　　　　.
例3题图
变式4　 如图，正方形ABCD的边长为5，正方形EFGC的边长为3，点B，C，G在一条直线上，连接BF，交CD于点H，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式4题图
模型三　手拉手型
[2024.22(2)]
模型分析
模型展示：
模型特点：1. 如图①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；
2. 如图②，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE，延长BD交CE于点F
结论：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，则△ABD≌△ACE
例4　在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图所示的位置，连接BD'，CE'，若AD＝AE，BD'＝4，则CE'的长为　　　　.
例4题图
变式5　如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠B＝∠ADE＝30°，∠BAC＝∠DAE＝90°，则的值为　　　　.
变式5题图
模型四　一线三垂直型
[2021.23]
模型分析
类型 类型一 类型二
模型特点 ∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上，∠1＝∠2＝∠3＝90°
模型展示
结论 △ABD∽△CEB
例5　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，BC上，且EF⊥DF.若CF＝2BE，则BF的长为　　　　.
例5题图
变式6　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点A的坐标为(0，2)，顶点C在反比例函数y＝(x＞0)的图象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，则k的值为　　　　.
变式6题图
考点3　位似
例6　如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，2)，B(2，0)，以原点为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D的坐标为(5，0)，则点C的坐标为　　　　.
例6题图
真题及变式
命题点1　黄金分割数 (2023.6) 　
1. (2023广东6题3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了(　　)
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
拓展训练
2. (2024东莞一模)宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是(　　)
第2题图
A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH
命题点2　相似三角形的性质与判定 (6年11考) 　
拓展训练
3. (2024梅州一模改编)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，与CD相交于点F.若∠ABE＝30°，＝，则的值为　　　　.
第3题图
4. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长.
第4题图
5. 如图为两个全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，AD，AE分别交BC边于点F，G，BC＝5.
(1)求证：AG2＝BG·FG；
(2)求证：△ABG∽△FCA；
(3)设BG＝x，CF＝y，求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
第5题图
新考法
6. [数学文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边形A'B'C'D'的面积为(　　)
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
第6题图
7. [数学文化]四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代.如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1米的正方形ABCD的一个顶点处安装一根方向杆.若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物E，在四分仪上读出DF的长度为20厘米，已知点B，C，E在同一条直线上，则目标物E与点B之间的距离BE为(　　)
第7题图
A. 1米 B. 4米 C. 5米 D. 6米
8. [跨物理学科](2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝.若NP＝2 cm，则BC的长为 　　　　cm(结果保留根号).
第8题图
9. [结合网格]如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为　　　　.
第9题图
考点精讲
①b2＝ac　②ad　③　④比例　⑤　⑥相等
⑦成比例　⑧相似比　⑨相似比的平方　⑩夹角
成比例
练考点
1. 　2. 2　3. －1　4. 1∶4　5. 　6. 6
高频考点
例1　D　【解析】∵a∥b∥c，∴＝，＝，＝，∴选项A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意.
变式1　　【解析】∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，∵AO＝2，OF＝1， FD＝2，∴＝＝.
例2　1　【解析】∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，解得CE＝1.
变式2　　【解析】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AD1＝－9(舍去)，AD2＝4，则sin∠B＝＝＝.
变式3　　【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.
例3　　【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴＝＝.∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴＝＝，∵DE＝3，∴AB＝.
变式4　　【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，∴＝＝，∴EH＝CE＝，∴S△EFH＝EH·EF＝××3＝.
例4　6　【解析】∵ D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴＝，由旋转得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴＝，∠DAD'＋∠D'AE＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽△ACE'，∴＝＝＝，∵BD'＝4，∴CE'＝6.
变式5　　【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝，tan∠ADE＝，∠B＝∠ADE＝30°，∴＝＝tan 30°＝.又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝.
例5　3　【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝90°.∵∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴＝.∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴＝，解得BF＝3.
变式6　3　【解析】如解图，过点C作CH⊥y轴于点H.∵A(0，2)，OA＝OB，∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，∴＝＝＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，∴C(1，3)，∵点C在y＝的图象上，∴k＝1×3＝3.
变式6题解图
例6　(，5)　【解析】由题意得，△OAB与△OCD为位似图形，∴△OAB∽△OCD，∵点B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB与△OCD的相似比为2∶5，∵点A坐标为(1，2)，∴点C的坐标为(1×，2×)，即(，5).
真题及变式
1. A
2. D　【解析】设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝，∴CG＝－1，∴＝，∴短形DCGH为黄金矩形.
3. 　【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，∴△DFB∽△EFC，∴∠DBF＝∠ECF＝30°，＝＝，在Rt△ECF中，∠ECF＝30°，∴EF＝CF，∴＝＝2×＝2×＝.
4. 解：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝.
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC；
∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，
∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.
∵C△ADB＝2，
∴C△AEC＝.
5. (1)证明：由题意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGF＝∠BGA，
∴△ABG∽△FAG，
∴＝，
∴AG2＝BG·FG；
(2)证明：由题意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45°.
∵∠AGF＝∠C＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∠CAF＝∠CAG＋∠FAG＝∠CAG＋45°，
∴∠AGF＝∠CAF.
∵∠B＝∠C，
∴△ABG∽△FCA；
(3)解：在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
∵AB＝AC，BC＝5，
∴AB＝AC＝5.
∵△ABG∽△FCA，
∴＝，即＝，
∴y＝，
∵当F与B重合时，BG最小，∠BAG＝∠DAE＝45°，
∴AG平分∠BAC，
∴G为BC的中点，
∴BG＝BC＝，
∴x的取值范围为＜x＜5.
6. C　【解析】∵正方形ABCD的面积为1，AB∶A'B'＝1∶2，∴正方形ABCD的面积∶四边形A'B'C'D'的面积＝1∶4.∴四边形A'B'C'D'的面积＝4.
7. C　【解析】∵DF＝20厘米＝0.2米，∴CF＝1－0.2＝0.8(米).∵AD∥BE，∴∠ADF＝∠ECF，又∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝，即＝，解得CE＝4，∴BE＝BC＋CE＝1＋4＝5(米).
8. －1　【解析】由已知得AB＝NP＝2 cm，∵＝，∴BC＝(－1)cm.
9. 　【解析】如解图，过点C分别作AB，DE的垂线，交AB，DE于点G，F，∴FG＝BE＝4，∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∵CG，CF分别为△ABC和△CDE的高，∴＝＝2，设CF＝x，则CG＝2x，CG＋CF＝4，∴2x＋x＝4，x＝，∴CG＝，∴S△ABC＝AB·CG＝.
第9题解图

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