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微专题23　锐角三角函数及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 锐角三角函数(6年5考)
图①
定义：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，则∠A的正弦：sin A＝＝，∠A的余弦：cos A＝＝①　　　，∠A的正切：tan A＝＝②　　　
2. 特殊角的三角函数值(6年8考)
示意图
α 30° 45° 60°
sin α ③　
cos α ④　 ⑤　
tan α ⑥　 1 ⑦　
3. 锐角三角函数的实际应用(6年3考)
(1)仰角、俯角：如图②，图中仰角是∠1，俯角是∠2
(2)坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝
(3)方向角：如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向
练考点
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos B的值为　　　　.
第1题图
2. 如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan ∠CAD＝，则BC的长为　　　.
第2题图
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝60°，则sin A＝　　　　，cos A＝　　　　；
(2)若tan A＝1，则∠A＝　　　　　　　°.
4. 如图，从热气球P看一面墙底部B的俯角是　　　　.(用字母表示)
第4题图
高频考点
考点1　锐角三角函数 (6年5考)
例1　(2024东莞一模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan A的值是(　　)
A. B. C. D. 2
例1题图
变式1　(2024江西)将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝　　　　.
变式1题图
考点2　锐角三角函数及其应用 (6年3考)
例2　 小明家与小华家住在同一栋楼，他俩对所住楼对面商业大厦的高MN进行了测量.(结果均保留整数)
(1)如图①，小明与小华在楼下点A处测得点A到M的距离为50 m，测得商业大厦顶部N的仰角为58°，试求商业大厦的高MN；
(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
例2题图①
(2)现在商场楼下停了一辆车，没办法直接测量出AM的长度，小华想了其他办法也可以测量.
①如图②，小明与小华在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°，测得商业大厦底部M的俯角为60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝56 m，试求商业大厦的高MN；
(参考数据sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)
例2题图②
②如图③，小华站在点A处测得塔尖商业大厦顶部N的仰角为45°，向前走了35 m到达点B处测得商业大厦顶部N的仰角为61°，已知小华眼睛到地面的高度AC(BD)为1.6 m，点A，B，M在同一水平线上，MN⊥AB，试求商业大厦的高MN；
(参考数据：sin 61°≈0.87，cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)
例2题图③
(3)如图④，大厦楼顶上有一信号塔EF(F，E，H三点共线)，小明和小华想测得塔尖F到地面的高度，小明在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°，小华在大厦楼顶G处测得信号塔顶部F的仰角为60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，EF⊥NE，AB＝56 m，AM＝50 m，GE＝10 m，试求塔尖F到地面的高度.(结果保留整数)(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)
例2题图④
真题及变式
命题点　锐角三角函数及其应用 (6年9考) 　
模型分析
模型 模型分析 模型 模型分析
背对背型 基础模型 AB＝AD＋BD 母子型 基础模型 AD＝AC－CD
模型演变 AB＝AD＋CE＋BF 模型演变 FG＝AD＋DC，BG＝BC＋AF
1. (2022广东11题3分)sin 30°＝　　　　.
2. (2019广东15题4分·人教九下例题改编)如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　　　　米(结果保留根号).
第2题图
3. (2023广东18题7分)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
第3题图
4. (2024广东18题7分)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73)
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
第4题图
拓展训练
5. (2024中山一模)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务.如图，小敏一家准备自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向.
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地的距离.(如果运算结果有根号，请保留根号)
第5题图
新考法
6. [项目式学习](2024兰州)单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.(摆线的长度变化忽略不计) 如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)
实验图示 第6题图
解决问题：根据以上信息，求ED的长.(结果精确到0.1 cm)
参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
考点精讲
①　②　③　④　⑤　⑥　⑦
教材改编题练考点
1.
2. 2＋1
3. (1)，；(2)45
4. ∠BPC
高频考点
例1　C　【解析】如解图，连接格点BD，CD.在Rt△ABD中，tan A＝＝.
例1题解图
变式1　　【解析】根据题意，易知AB＝CD.设AB＝2，则CD＝BD＝2，∵∠ABD＝45°＋45°＝90°，∠BDC＝90°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.如解图，设AC，BD交于点O，∴BO＝BD＝1，∴tan∠CAB＝＝.
变式1解图
例2　解：(1)∵MN⊥AM，
∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝，∠MAN＝58°，AM＝50，
∴MN＝AM·tan 58°≈50×1.60＝80，
答：商业大厦的高MN约为80 m；
(2)①如解图①，过点B作BC⊥MN于点C，
∴四边形ABCM是矩形，
∴BA＝CM＝56，
在Rt△BCM中，tan∠MBC＝＝≈1.73，
∴BC＝≈32.4，
在Rt△BCN中，tan∠NBC＝，
∴NC＝BC·tan 37°≈32.4×0.75＝24.3，
∴MN＝CM＋NC＝56＋24.3＝80.3≈80，
答：商业大厦的高MN约为80 m；
例题解图①
②如解图②，连接CD并延长交MN于点E，
由题意可知，四边形ABDC，BMED均为矩形，
AC＝BD＝ME＝1.6，CD＝AB＝35，
设EN＝x，
∵在Rt△CEN中，∠ECN＝45°，
∴EN＝CE＝x，
∴DE＝CE－CD＝x－35，
∵在Rt△DNE中，∠NDE＝61°，
∴tan∠NDE＝＝≈1.80，
解得x≈78.8，∴EN≈78.8，
∴MN＝EN＋ME≈78.8＋1.6＝80.4≈80，
答：商业大厦的高MN约为80 m；
例题解图②
(3)如解图③，过点B作BC⊥EH于点C，交MN于点D，FH即为F到地面的高度.
易得DN＝CE，AB＝DM＝CH＝56，
由题意得BD＝AM＝50，∠NBD＝37°，GE＝10，
在Rt△BDN中，DN＝BD·tan 37°≈37.5，
在Rt△EFG中，EF＝GE·tan 60°≈17.3，
∴FH＝EF＋CE＋CH＝EF＋DN＋AB≈17.3＋37.5＋56＝110.8≈111，
答：塔尖F到地面的高度约为111 m.
例题解图③
真题及变式
1.
2. (15＋15)　【解析】如解图，设过点B的水平线与AC交于点E，易得四边形BDCE为矩形，则BE＝CD＝15，∵∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝15，在Rt△ABE中，AE＝BE·tan 30°＝15×＝15，∴AC＝AE＋EC＝(15＋15)米.
第2题解图
3. 解：如解图，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝∠ACB＝×100°＝50°， (3分)
∴AD＝AC·sin 50°≈10×0.766＝7.66(m)，
∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3(m)，
答：A，B两点间的距离约为15.3 m. (7分)
第3题解图
4. 解：(1)由题意，得∠Q＝90°，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴在Rt△ABQ中，∠BAQ＝30°，BQ＝5.4×cos 60°＝2.7 m，
AQ＝5.4×sin 60°＝ m， (1分)
∵四边形ABCD为矩形，CE＝1.6 m，
∴∠ABC＝90°，∠CBE＝180°－∠ABC－∠ABQ＝30°，
在Rt△CBE中，BC＝＝ m，BE＝＝3.2 m，
∴BC＝AD＝ m，
同理可得，在Rt△PAD中，∠PAD＝60°，
∴PA＝AD·cos 60°＝×cos 60°＝ m， (3分)
∴PQ＝PA＋AQ＝＋＝≈6.1 m，
答：PQ的长约为6.1 m； (4分)
(2)∵充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE，
由(1)得，QB＝2.7 m，BE＝3.2 m，
∴QM＝2.7＋3.2×20＝66.7 m，
∵四边形PQMN为矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m，
答：PN的长为66.7 m. (7分)
5. 解：(1)如解图，由题意，得∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，
∴∠C的度数为45°；
第5题解图
(2)如解图，过点B作BG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAC＝60°，
∴BG＝AB·sin 60°＝10×＝5(千米)，
在Rt△BGC中，∠C＝45°，
∴BC＝＝＝5(千米)，
∴B，C两地的距离为5千米.
6. 解：∵在Rt△OBD中，tan∠BOD＝，
∴OD＝≈＝10.
∵在Rt△OBD中，sin∠BOD＝，
∴OB＝≈≈22.78.
∴OC＝OB＝22.78.
∵在Rt△OCE中，cos∠COE＝，
∴OE＝OC·cos∠COE≈22.78×0.8＝18.224.
∴ED＝OE－OD＝18.224－10＝8.224≈8.2.
答：ED的长大约是8.2 cm.

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