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微专题24　平行四边形与多边形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 平行四边形的性质与判定(6年7考)
(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
(2)平行四边形的性质
边 两组对边分别平行，两组对边分别①　
角 两组对角分别②　　　
对角线 对角线互相③　　　
对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点(北师独有)
(3)平行四边的判定
边 1. 两组对边分别④　　　　的四边形是平行四边形(定义)； 2. 两组对边分别⑤　　　　的四边形是平行四边形； 3. 一组对边⑥　　　　的四边形是平行四边形
角 两组对角分别⑦　　　　的四边形是平行四边形(人教独有)
对角线 对角线⑧　　　　的四边形是平行四边形
2. 平行四边形面积
面积计算公式：S＝ah(a表示一条边长，h表示此边上的高).
【拓展知识】
①每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形；
②平行四边形中的面积关系：
S1＝S2＝S3＝S4
S1＝S2
(源于人教八下P51习题)
S1＋S3＝S2＋S4
S1·S3＝S2·S4
(源于北师八下P158习题)
3. 多边形(6年2考)
(1)概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形
(2)多边形的性质(n≥3，n为整数)
内角和定理 n边形的内角和等于⑨　　　
外角和定理 任意多边形的外角和等于⑩　　　
对角线 过n边形一个顶点可引(n－3)条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形，n边形共有条对角线
【温馨提示】n(n＞3)边形具有不稳定性
(3)正多边形的性质(n≥3，n为整数)
边 正n边形各条边 　　　
内角 各个内角相等，正n边形的每个内角为 　　　
外角 各个外角相等，正n边形的每个外角为 　　　
练考点
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
第1题图
(1)若∠BCD－∠ADC＝60°，则∠ADC＝　　　　°；
(2)若 ABCD的周长为42，AB∶BC＝3∶4，则AB＝　　，AD＝　　　；
(3)若AC＋BD＝26，AB＝11，则△OCD的周长为　　　　　　　.
2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，再添加一个条件，不一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A. AD＝BC　　 B. AB∥CD
C. AB＝CD D. OA＝OC
第2题图
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段EF过点O，分别交AB，CD于点E，F.阴影部分的面积之和为10，则 ABCD的面积为(　　)
第3题图
A. 16 　　　 B. 18
C. 20 D. 24
4. 九边形的内角和为　　　　.
5. 若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为　　　　.
高频考点
考点1　与平行四边形性质有关的证明及计算 (6年4考)
例1　 已知在 ABCD中，AB＞AD，E是AB边上一点，连接DE.
(1)核心设问 如图①，若DE⊥AB，AB＝6，AD＝2，∠C＝45°，求BE的长；[2023广东19(1)题考查]
例1题图①
(2)核心设问 如图②，连接CE，若CE平分∠BCD，AE＝3，EB＝5，DE＝4.[2021广东16题考查]
①求证：∠DEA＝90°；
②求CE的长；
例1题图②
(3)如图③，连接CE，若E是AB的中点，∠CED＝90°，DE＝4，且＝，求四边形BCDE的面积；
例1题图③
(4)如图④，若DE平分∠ADC交AB于点E，AF平分∠DAB交DC于点F，过点E作ED的垂线交DC于点G.求证：FG＝B C.
例1题图④
考点2　平行四边形的判定
例2　 (北师八下习题改编)如图，在四边形ABCD中，连接AC，分别过点B，D作AC的垂线，垂足为E，F.
(1)如图①，若四边形ABCD是平行四边形，分别延长BE，DF，交AD于点G，交BC于点H，求证：四边形BGDH是平行四边形；
例2题图①
(2)如图②，连接DE，BF，若BE＝DF，AF＝CE.
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
例2题图②
②求证：四边形BEDF是平行四边形；
变式1　(2024佛山二模)如图，点E是 ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE与CD交于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(　　)
A. DE＝DA B. ∠ABD＝∠DCE C. EF＝FB D. ∠DEB＝∠BCD
变式1题图
考点3　多边形 (6年2考)
例3　 如图①是一个八角亭，亭子的八个立柱在地面上围出了一个正八边形结构，如图②，若从其中一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，该多边形被分成的三角形个数为(　　)
例3题图
A. 5 B. 6 C. 8 D. 16
变式2　(人教八下习题改编)如图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
变式2题图
变式3　(2024佛山模拟)如图，在正五边形ABCDE中，∠BCD的平分线交AE于点F，连接CE，则∠ECF的度数为(　　)
变式3题图
A. 15° B. 18° C. 36° D. 54°
真题及变式
命题点1　与平行四边形性质有关的计算 (6年7考) 　
1. (2022广东8题3分)如图，在 ABCD中，一定正确的是(　　)
A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC
第1题图
2. (2021广东16题4分)如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝.过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin ∠BCE＝　　　　.
第2题图
2.1　变条件——将边的高线变为角平分线
如图，在 ABCD中，AD＝8，∠A＝60°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE.若BE＝2AE，则DE的长为　　　　.
变式2.1题图
拓展训练
3. (2024枣庄)如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为(　　)
第3题图
A. 　　　　　　　 B. 3　　　　　　　 C. 　　　　　　　 D. 4
命题点2　多边形 (6年2考) 　
4. (2020广东4题3分·人教八上习题改编)若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.1　变条件——结合内外角的倍数关系
若一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数为　　　　.
拓展训练
5. (2023陕西)如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则线段BE的长为　　　　.
第5题图
新考法
6. [综合与实践](2024达州改编)
【主题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系进行探究.
【探究发现】步骤具体如下：
如图①，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AB2＝AO2＋BO2.
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝　　　　＋　　　　.
化简整理得AC2＋BD2＝　　　　.
【猜想与探究】
(1)补全【探究发现】中的步骤；
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.
第6题图
考点精讲
①相等　②相等　③平分　④平行　⑤相等　⑥平行且相等　⑦相等　⑧互相平分　⑨(n－2)×180°
⑩360°　 相等　 　
练考点
1. (1)60；(2)9，12；(3)24
2. C
3. C　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOE＝S△DOF，S△FOC＝S△AOE，∴S ABCD＝2(S△AOD＋S△BOE＋S△COF)＝2×10＝20.
4. 1260°
5. 6　【解析】设所求正多边形边数为n，则120°·n＝(n－2)·180°，解得n＝6.
高频考点
例1　(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝45°.
∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠A＝45°，
∴AE＝AD·cos A＝2×＝2，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4；
(2)①证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，32＋42＝52，
∴AE2＋DE2＝AD2，
∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；
②解：由(1)可知，∠DEA＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，
在Rt△EDC中，由勾股定理得CE＝＝＝4，
∴CE的长为4；
(3)解：如解图，取CD的中点F，连接EF，过点E作EH⊥CD，垂足为H.
∵E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥CF，BE＝CF，即四边形BCFE为平行四边形.
又∵∠CED＝90°，F为CD的中点，
∴EF＝CD＝CF.
∴四边形BCFE为菱形.
∴BC＝CF＝CD.
∵＝，
∴CE＝BC＝CD，
∴＝，
∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，
∵DE＝4，
∴CD＝2DE＝8，EH＝DE·sin 60°＝4×＝2.
∴BE＝AB＝CD＝4，
∴S四边形BCDE＝(BE＋CD)·EH＝×(8＋4)×2＝12；
例1题解图
(4)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DA＝BC，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵DE平分∠ADC，AF平分∠DAB，
∴∠ADE＝∠ADC，∠DAF＝∠DAB，
∴∠DAF＋∠ADE＝90°，
∴DE⊥AF，
∵DE⊥EG，
∴AF∥EG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴FG＝AE，
∵DC∥AB，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴DA＝AE，
∴FG＝BC.
例2　证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即DG∥BH，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥DH，
∴四边形BGDH是平行四边形；
(2)①∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF，
即AE＝CF，
由①知AD＝CB，∠EAD＝∠FCB，∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE＝BF，
同理△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
变式1　D　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形，故A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠BDC＝∠DCE，∴BD∥CE，∴四边形BCED是平行四边形，故B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FDE＝∠FCB，∠FED＝∠FBC，又∵EF＝FB，∴△EFD≌△BFC(AAS)，∴DE＝CB.∴四边形BCED为平行四边形，故C正确；由∠DEB＝∠BCD，得出∠DEB＝∠A，但不能得出四边形BCED为平行四边形，故D错误.
例3　B　【解析】n边形从一个顶点出发，有(n－3)条对角线，则该八边形从一个顶点可引出5条对角线，将八边形划分为6个不重合的三角形.
变式2　D　【解析】依题意，AB＝BC，∠ACB＝15°，∴∠BAC＝∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝150°，∴这个正多边形的一个外角为180°－150°＝30°，∴这个正多边形的边数为＝12.
变式3　B　【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠BCD＝∠D＝×(5－2)×180°＝108°，CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝×(180°－∠D)＝36°，∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCD＝×108°＝54°，∴∠ECF＝∠DCF－∠DCE＝54°－36°＝18°.
真题及变式
1. C　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴根据平行四边形两组对边分别相等可得C选项一定正确.
2. 　【解析】∵DE⊥AB，AB＝12，AD＝5，sin A＝，∴DE＝4，∴AE＝＝3，∴BE＝AB－AE＝9，如解图，过点B作BF⊥CE于点F，在 ABCD中，AB＝CD＝12，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴DE⊥CD，∴CE＝＝4，由三角形面积公式可得BE·DE＝CE·BF，∴BF＝，∴sin∠BCE＝＝.
第2题解图
变式2.1　4　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝60°，BC＝AD＝8，CD∥AB，∴∠BEC＝∠DCE.∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC＝8.∵BE＝2AE，∴2AE＝8，解得AE＝4，如解图，过点E作EF⊥AD于点F，则∠AFE＝∠DFE＝90°，∴∠AEF＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴AF＝AE＝2，EF＝AE＝2，∴DF＝AD－AF＝6，在Rt△DEF中，由勾股定理，得ED＝＝4.
变式2.1题解图
3. B　【解析】如解图，连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝5，CE＝1，∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO，∴OE＝CO－CE＝.∵EF＝DE，∴E为DF的中中点，又∵O为BD的中点，∴OE为△BDF的中位线，∴BF＝2OE＝3.
第3题解图
4. B　【解析】设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.
变式4.1　8　【解析】设正多边形的边数为n，由题意，得(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
5. 2＋　【解析】如解图，由正八边形的性质可得，CF∥AB，且正八边形的每个外角为45°，∴∠CAB＝45°，同理可得∠ACD＝45°，∴AB⊥CD，过点F作FG⊥AB于点G，则四边形CFGE为矩形，∵正八边形的边长为2，易得FG＝GB＝CE＝AE＝AC＝，EG＝CF＝2，∴BE＝EG＋BG＝2＋.
第5题解图
6. 解：(1)AC2，BD2，4AB2；
(2)AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2，理由如下：
如解图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF.
在△DAE和△CBF中，
，
∴△DAE≌△CBF(AAS)，
∴AE＝BF，DE＝CF，
在Rt△DBE中，BD2＝DE2＋BE2＝DE2＋(AB－AE)2，
在Rt△CAF中，AC2＝CF2＋AF2＝CF2＋(AB＋BF)2，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AC2＋BD2＝CF2＋(AB＋BF)2＋DE2＋(AB－AE)2＝2DE2＋AB2－2AB·AE＋AE2＋AB2＋2AB·AE＋AE2＝2(DE2＋AE2)＋2AB2＝2AD2＋2AB2，
∴AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2.
第6题解图

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