资源简介

微专题25　矩　形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 矩形的性质与判定(6年5考，常在几何题中涉及考查)
(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)矩形的性质
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 矩形的对角线互相平分且相等
对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形，有①　　　条对称轴，对称中心为两条②　　　　的交点
(3)矩形的判定
角 ①有一个角是③　　　　的平行四边形是矩形； ②有三个角是④　　　　的四边形是矩形
对角线 对角线⑤　　　　的平行四边形是矩形
2. 矩形面积
面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长).
练考点
1. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E.
(1)若对角线BD长为4，∠AOB＝60°，则AB的长为　　　，BC的长为　　　；
(2)若∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC的度数为　　　　；
(3)若BE∶ED＝1∶3，AB＝2，则AD的长为　　　　.
第1题图
2. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　)
第2题图
A. AB＝BC　 B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
3. 已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为　　　　cm2.
高频考点
考点　与矩形有关的证明及计算 (6年5考，常在几何题中涉及考查)
例　 如图①，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACED是矩形；
例题图①
(2)若AB＝13，AC＝12，求四边形ADEB的面积；
(3)如图②，连接BD，若tan ∠ABC＝2，求证BD＝2AD；
例题图②
(4)如图③，过点A作CD的垂线，交DE于点G，在(3)的条件下，试判断AB与AG的数量关系，并说明理由.
例题图③
真题及变式
命题点　与矩形性质有关的计算 (6年5考，常在几何题中涉及考查) 　
拓展训练
1. (北师八下习题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是BC，OC的中点.若MN＝2，则AC的长为　　　　.
第1题图
2. 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图②操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图③操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A，H两点间的距离为　　　　　.
第2题图
3. (2024广东黑白卷)北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图①中S矩形AEOM＝S矩形CFON)”.问题解决：如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　　　　.
第3题图
4. 如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1　　S2＋S3(用“＞”“＝”或“＜”填空)；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
第4题图
新考法
5. [代数推理](人教八下习题改编)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O.以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推.则第6个平行四边形的面积为(　　)
第5题图
A. 6 B. 3
C. 15 D. 12
6. [条件开放](2024贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
第6题图
考点精讲
①2　②对角线　③90°(或直角)　④90°(或直角)　⑤相等
教材改编题练考点
1. (1)2，2；(2)30°；(3)2
2. C
3. 48
高频考点
例　(1)证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
(2)解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴在Rt△BCD中，BC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠E＝90°，
∴四边形ADEC是矩形，
∴BC＝AD＝CE＝5，
∴BE＝2BC＝10，
∵AD∥BE，AC⊥BE，
∴S四边形ADEB＝×(5＋10)×12＝90，
∴四边形ADEB的面积为90；
(3)证明：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝DE，AD＝BC＝CE.
在Rt△ABC中，
∵tan∠ABC＝，
∴＝2，即AC＝2BC.
设AD＝BC＝a，则AC＝DE＝2a，BE＝2BC＝2a，
又∵DE⊥BE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝BE＝2a，
∴＝＝，
∴BD＝2AD；
(4)解：AB＝2AG，理由如下：
∵AG⊥CD，
∴∠AGD＋∠CDE ＝∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠AGD＝∠DCE，∴△ADG∽△DEC，
∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACED是矩形，
∴AB＝DC，AD＝CE，∠DCE＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠ECE＝＝2，即DE＝2CE，
∴＝＝＝，
∴AB＝2AG.
真题及变式
1. 8　【解析】∵M，N分别是BC，OC的中点，∴MN＝OB，∵MN＝2，∴OB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB，∴AC＝BD＝2OB＝8.
2. 　【解析】如解图，连接AH.由折叠性质可知，CF＝HF，AE＝AD＝3，∵AB＝5，∴BE＝CF＝HF＝2，在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF－HF＝3－2＝1，∴AH＝＝＝.
第2题解图
3. 6　【解析】如解图，过点M作GH∥AB分别交AD，BC于点G，H，∴四边形BEMH与四边形DGMF均为矩形，由定理知S矩形BEMH＝S矩形DGMF，∴S△BEM＝S△DFM，∴BE·EM＝DF·MF.∵BE＝CF＝4，EM＝3，DF＝2，∴MF＝＝＝6.
第3题解图
4. 解：(1)＝；【解法提示】∵S1＝BD·ED，S矩形BDEF＝BD·ED，∴S1＝S矩形BDEF，∴S2＋S3＝S矩形BDEF，∴S1＝S2＋S3.
(2)答案不唯一，如：△BCD∽△CFB∽△DEC.
选择△BCD∽△DEC.
证明：∵四边形ABCD和BDEF均为矩形，∴∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，
∴∠EDC＝∠CBD，
又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，
∴△BCD∽△DEC.
5. B　【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，∴BC＝16，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝192，OB＝OC，∵以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，∴平行四边形OBB1C是菱形，∴A1B1⊥BC，OB1＝AB＝12，∴＝BC·OB1＝×16×12＝96，易得 AB1C1C为矩形，∴＝A1C·A1B1＝48，∴第n个平行四边形的面积为，∴第6个平行四边形的面积是＝3.
6. 解：(1)选择①AB∥CD，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
或选择②AD＝BC，
证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)∵AB＝3，AC＝5，四边形ABCD为矩形，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12.

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