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微专题26　菱　形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 菱形的性质与判定(6年3考)
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
边 对边平行，四条边①　　　
角 对角②　　　
对角线 对角线互相③　　　　，并且每一条对角线④　　　　一组对角(人教独有)
对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤　　条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点
(3)菱形的判定
边 ①有一组⑥　　　　的平行四边形是菱形(定义)； ②⑦　　　　相等的四边形是菱形
对角线 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
　　　　　　　
2. 菱形面积
面积计算公式：S＝ah＝(a表示一条边长，h表示此边上的高，m，n表示对角线的长).
练考点
1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为BC的中点，连接OE，已知OE＝1.
第1题图
(1)∠ABD＝　　　　°，∠BAD＝　　　　°；
(2)菱形ABCD的周长为　　　　　　　；
(3)△BOE的形状为　　　　　　　；
(4)AC＝　　，BD＝　　；
(5)菱形ABCD的面积为　　　　　　　.
2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
第2题图
A. BC＝CD
B. AB＝AC
C. AC⊥BD
D. ∠ABD＝∠CBD
高频考点
考点1　与菱形有关的证明及计算 (6年3考)
例　 如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是线段AD，BC边上的点，EF与BD相交于点O，且EF⊥BD，连接BE，DF，BE＝DF.
例题图①
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)核心设问 若∠ABE＝30°，且四边形BEDF的面积为4，求四边形BEDF的周长；[2022广东13题考查]
(3)若∠ADB＝30°，EF＝2，求AD的长；
(4)若AD＝6，AB＝4，求的值.
(5)如图②，连接OC，若AB＝4，BF＝5，求tan ∠OCB的值.
例题图②
真题及变式
命题点　与菱形性质有关的计算 (6年3考) 　
1. (2022广东13题3分)菱形的边长为5，则它的周长为　　　　.
2. (2024广东15题3分)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第2题图
2.1　变图形——将菱形背景变为矩形
如图，矩形ABCD的面积为36，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式2.1题图
3. (2017广东21题7分)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角.
第3题图
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数.
拓展训练
4. (2024辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y＝x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为(　　)
第4题图
A. (－1，6)
B. (－2，6)
C. (－3，6)
D. (－4，6)
新考法
5. [注重过程性](2024重庆A卷)
在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴　　①　　 ，∠FCO＝∠EAO.
∵点O是AC的中点，
∴　　②　　　.
∴△CFO≌△AEO (AAS).
∴　　③　　　.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：　　 ④　　.
　第5题图
考点精讲
①相等　②相等　③垂直平分　④平分　⑤2　⑥邻边相等　⑦四条边
教材改编题练考点
1. (1)30，120　(2)8　(3)等腰三角形　(4)2，2　(5)2
2. B
高频考点
例　(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴AE＝CF.
∵AD＝BC，
∴DE＝BF.
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF为菱形；
(2)解：∵∠ABE＝30°，
∴∠EBF＝60°.
由(1)知四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BF，∠EBO＝30°，
∴△BEF为等边三角形，OB＝OE，即BD＝EF，
∴BE＝EF，
∵S四边形BEDF＝4，
∴BD·EF＝×EF2＝4，
解得EF＝2(负值已舍去)，
∴BE＝BF＝DE＝DF＝EF＝2，
∴四边形BEDF的周长＝BE＋BF＋DE＋DF＝8；
(3)解：∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝DF.
∵BD⊥EF，∠ADB＝30°，
∴∠EDF＝2∠ADB＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF＝BF＝2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴在Rt△CDF中，CF＝DF＝1，
∴AD＝BC＝BF＋CF＝2＋1＝3；
(4)解：∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF.
∵AD＝BC＝6，
设CF＝x，则DF＝BF＝BC－CF＝6－x.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD2＋CF2＝DF2，
即42＋x2＝(6－x)2，
解得x＝，
∴CF的长为，
∴DF＝6－CF＝.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得DB＝＝2，
∴＝＝；
(5)解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BF＝DF＝5，BO＝DO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴在Rt△BCD中，O为BD中点，
∴OC＝BD＝BO，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵CD＝AB＝4，
∴CF＝＝3，
∴BC＝3＋5＝8，
∴tan∠OCB＝tan∠OBC＝＝＝.
真题及变式
1. 20　【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.
2. 10　【解析】如解图①，连接BD，∵E是AB的中点，∴S△AED＝S△ABD＝S菱形ABCD＝6，连接EC，同理可得S△BEC＝S△AED＝6，∵S△BEF＝4，∴S△BEF＝S△BEC，∴FC＝BC，∴S△DFC＝S△BCD＝S菱形ABCD＝4，∴S阴影＝S菱形ABCD－S△AED－S△BEF－S△DFC＝24－6－4－4＝10.
第2题解图①
一题多解法
如解图②，延长DE，CB交于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BG，∴∠GBE＝∠DAE，∵E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠GEB＝∠DEA，∴△AED≌△BEG(ASA)，∴GE＝DE，∴E为DG中点，∴S△DEF＝S△FGE＝S△BEF＋S△BEG＝4＋S△AED＝4＋24×＝10.
第2题解图②
变式2.1　18　【解析】如解图，连接CH，在矩形ABCD中，设AD＝a，AB＝b，则AE＝b＝GC，BF＝a，∴S阴影＝S长方形ABCD－S△AEH－S△HFC－S△HCG＝36－AE·AH－FC·AB－HD·CG＝36－AD·AE－FC·AB＝36－ab＝18.
变式2.1题解图
3. (1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝AD＝AF，
∴△ABF是等腰三角形，
又∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF； (3分)
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
由(1)知AB＝AD＝AF，
又∵BF＝BC，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAF＝60°， (5分)
∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°. (7分)
4. B　【解析】∵菱形AOBC的顶点B在直线y＝x上，且点B的横坐标为8，∴当x＝8时，解得y＝6，∴点B的坐标为(8，6)，由勾股定理得OB＝10，∵四边形AOBC为菱形，∴OA∥BC，BC＝OB＝10，∵点A在x轴负半轴上，∴点C的坐标为(－2，6)，故选项B正确.
5. 解：(1)作图如解图；(画法不唯一)
(2)①∠CFO＝∠AEO
②OC＝OA
③OF＝OE
④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形
第5题解图

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