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微专题27　正方形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 正方形的性质与判定(6年8考)
(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
(2)正方形的性质
边 四条边都相等，对边平行
角 四个角都是直角
对角线 对角线相等且互相①　　　　； 每一条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②　　　　的交点
(3)正方形的判定
边 有一组邻边相等，并且有一个角是③　　　　的平行四边形是正方形(定义)； 有一组邻边④　　　　的矩形是正方形
角 有一个角是⑤　　　　的菱形是正方形
对角线 对角线⑥　　　　的矩形是正方形； 对角线⑦　　　　的菱形是正方形； 对角线互相⑧　　　　　的四边形是正方形
2. 正方形面积
面积计算公式：S＝a2＝l2(a表示边长，l表示对角线长)
3. 平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系
4. 中点四边形
概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形
原图形 任意四 边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的 四边形 对角线垂直的 四边形 对角线垂直且 相等的四边形
中点四 边形形状 平行四 边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
【温馨提示】连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半
练考点
1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BD＝4，E是对角线AC上一点，连接BE.
第1题图
(1)∠ACB的度数为　　　；
(2)AO的长为　　　　；
(3)正方形ABCD的周长为　　　，面积为　　　；
(4)若∠ABE＝15°，则BE的长为　　　　.
2. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是　　　.(填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”)
第3题图
高频考点
考点1　与正方形有关的证明及计算 (6年8考)
例1　已知四边形ABCD为正方形，边长为4，点M为BD上一点，连接AM.
(1)如图①，过点M分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，求证：四边形BEMF是正方形；
例1题图①
(2)如图②，若BM＝3DM，求AM的长；
例1题图②
(3)如图③，连接AC交BD于点O，若AM平分∠DAC，延长AM交CD于点N，求的值；
例1题图③
(4)如图④，过点B作BE⊥AM于点E，分别延长BE，AM交AD于点F，交CD于点N，连接DE，若N是CD的中点，求∠DEN的度数.
例1题图④
考点2　中点四边形
例2　如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(　　)
例2题图
A. AB＝CD B. AC⊥BD C. CD＝BC D.AC＝BD
变式1　(2024山西)在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为(　　)
互相垂直平分 B. 互相平分且相等
C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等
真题及变式
命题点　与正方形性质有关的计算 (6年8考) 　
1. (2024广东7题3分)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　　)
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
2. (2019广东10题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于点M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第2题图
2.1变条件——增加线段DF
如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，连接DF，H是DF的中点，连接BH，则BH的长为　　　　.
变式2.1题图
3. (2023广东15题3分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第3题图
3.1变条件——增加线段改变阴影区域的位置
如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则的值为　　　　.
变式3.1题图
新考法
4. [数学文化](人教八下习题改编)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为(　　)
第4题图
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
考点精讲
①垂直平分　②对角线　③直角(90°)　④相等
⑤直角(90°)　⑥互相垂直　⑦相等　⑧垂直平分且相等
练考点
1. (1)45°；(2)2；(3)16，16；(4)
2. C
3. 平行四边形
高频考点
例1　(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
∵ME⊥AB，MF⊥BC，
∴四边形BEMF是矩形.
∵∠ABD＝45°，∠MEB＝90°，
∴∠EBM＝∠EMB＝45°，
∴BE＝EM，
∴四边形BEMF是正方形；
(2)解：如解图①，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OD.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OA＝OD＝AD＝2.
∵BM＝3DM，
∴点M是OD的中点，
∴OM＝，
在Rt△AOM中，
由勾股定理得AM＝＝；
例1解图①
(3)解：如解图②，过点N作NG⊥AC于点G，
例1题解图②
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，
∵AM平分∠DAC，
∴DN＝GN.
设DN＝x，则GN＝x，CN＝4－x.
∵∠NCG＝45°，
∴△NGC是等腰直角三角形，
∴CN＝CG，即4－x＝x，解得x＝4－4，
∴＝－1；
(4)解：如解图③，过点D作DG⊥DE交AN的延长线于点G，
∵BF⊥AN，
∴∠ABF＋∠AFB＝∠DAN＋∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠DAN.
又∵AB＝DA，∠BAF＝∠ADN＝90°，
∴△ABF≌△DAN，
∴AF＝DN，∠AFB＝∠DNA，
∴∠DFE＝∠DNG.
∵N是CD的中点，
∴DN＝CD＝AD＝AF，
∴F为AD的中点，
∴DF＝DN.
∵DE⊥DG，
∴∠EDF＋∠EDN＝∠GDN＋∠EDN，即∠EDF＝∠GDN，
∴△DEF≌△DGN，
∴DE＝DG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEN的度数为45°.
例1题解图③
例2　D　【解析】应添加的条件是AC＝BD，∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，且AC＝BD，∴EH＝BD，FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，∴EH＝HG＝GF＝EF，则四边形EFGH为菱形.
变式1　A　【解析】∵在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如解图，连接EF，FG，GH，EH，BD，AC，∴EF＝AC，FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD.∵四边形ABCD的对角线相等，即AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∴EG与FH互相垂直平分.
变式1题解图
真题及变式
1. B　【解析】由题意得每个正方形的面积为100÷4＝25，∴正方形的边长为5.
2. C　【解析】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；易知四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝ AN·FG＝×1×2＝1，S△ADM＝ AD·DM＝ ×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正确，∴选C.
变式2.1　　【解析】如解图，连接BD，BF，在正方形ABCD和正方形EFGB中，∠ABD＝∠GBF＝45°，∴∠DBF＝90°.由题意，得EB＝2，BC＝4，∴BF＝EB＝2，BD＝BC＝4，在Rt△DBF中，由勾股定理，得DF＝＝2，又∵H是DF的中点，∴BH＝DF＝.
变式2.1题解图
3. 15　【解析】如解图，∵四边形ABCD，ECGF，IGHK均为正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴＝＝，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝(EJ＋FL)·EF＝×(1＋4)×6＝15.
第3题解图
变式3.1　　【解析】如解图，设AH分别交CD，FG，BM于点K，I，L，BM分别交CD，FG于点P，Q，AH＝m，∵正方形ABCD，正方形CEFG和正方形GHMN的一边在同一条直线上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5＋3＋2＝10，HC＝3＋2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴＝＝，∴HL＝＝＝，AL＝＝＝.∵IG∥AB，∴＝＝＝，∴IH＝AH＝m，∴LI＝m－m＝m，∵AD∥HC，∴△AKD∽△HKC，∴＝＝＝1，∴AK＝HK＝AH＝m，∴LK＝m－m＝m，∵IQ∥KP，∴△QLI∽△PLK，∴＝()2＝.
变式3.1题图
4. C　【解析】根据题意，得a2＋b2＝13，4×ab＝13－1＝12，即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25.

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