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微专题28　圆的基本性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 圆的基本概念及性质
圆 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦
直径 经过①　　　　的弦叫做直径
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧
圆周角 在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆心角 顶点在②　　　　并且两边都与圆相交的角叫做圆心角
弦心距 圆心到弦的垂直距离
与圆有关的性质
(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，③　　　　是它的对称中心
(2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
3. 垂径定理及其推论
(1)定理：垂直于弦的直径④　　　弦，并且⑤　　　弦所对的两条弧(2022年版课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)
(2)推论：平分弦(不是直径)的直径⑥　　　　于弦，并且⑦　　　弦所对的两条弧
4. 弦、弧、圆心角之间的关系
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧　　　，所对的弦⑨　　　　
(2)推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑩　　　，所对的弦 　　　　
②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 　　　，所对的优弧与劣弧分别 　　　　
5. 圆周角定理及其推论(6年6考)
定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 　　　
推论 (1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 　　　　； (2)直径(或半圆)所对的圆周角是 　　　　，90°的圆周角所对的弦是 　　　　
常见 图形 及结论 图① 图② 图③
∠APB＝∠AOB
应用 如图①，已知AP是☉O的直径，点B是圆上一点(不与A，P重合)，连接AB，则有∠ABP＝90°
6. 三角形的外接圆
图示
外心 三角形外接圆圆心或三角形 　　　　　　　　的交点叫做外心
性质 三角形的外心到三角形的 　　　　的距离相等
角度关系 ∠BOC＝ 　　　　∠A
7. 圆的内接四边形
概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形
性质 (1)圆内接四边形的对角 　　　　，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝ 　　　
练考点
1. 下列结论正确的是(　　)
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 半圆是弧
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 弧是半圆
2. 如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接O C.
(1)若AB＝10，CD＝8，则cos ∠OCE＝　　　　；
(2)若CD＝4，AE＝6，则☉O的半径为　　　　；
(3)若☉O的半径为7，P是CD上一点，且PC＝4，PD＝6，则OP＝　　　　.
第2题图
3. 如图，在☉O中，AB和CD是两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.
对于下列命题：
第3题图
①如果OE＝OF，那么∠AOB＝∠COD；
②如果＝，那么OE＝OF；
③如果OE＝OF，那么AB＝CD；
④如果OE＝OF，那么OB＝CD，
其中真命题是　　　　　　　.
4. 如图，若AB是☉O的直径，点C在☉O上(不与A，B重合)，则∠ACB的度数为　　　　　　　.
第4题图
5. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BAD＝　　　　，∠BCD＝　　　　.
第5题图
高频考点
考点1　圆基本性质的相关证明及计算 (6年6考)
例1　 (2022广东22题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB.
　例1题图①
(1)核心设问 试判断△ABC的形状，并给出证明；[2022广东22(1)题考查]
(2)核心设问 若AB＝，AD＝1，求CD的长度；[2022广东22(2)题考查]
(3)核心设问 如图②，连接DO并延长，交于点G，若∠ADB＝2∠BDG，求证：AB∥DG；[2018广东24(1)题考查]
　例1题图②
(4)如图③，BD交AC于点H，且AH＝OH，求sin ∠ACD的值.
　例1题图③
考点2　圆内接四边形
例2　(2024珠海香洲区二模)如图，已知四边形ABCD，过点A，B，C的圆交AD于点E，连接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，则∠DCE的度数为(　　)
A. 10° B. 30° C. 50° D. 60°
例2题图
变式1　(2024吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)
变式1题图
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
真题及变式
命题点　与圆周角定理及其推论有关的计算 (6年6考) 　
1. (2023广东9题3分)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝(　　)
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第1题图
1.1变思维方式——融入中点
如图，点A，B，C，D均在☉O上，连接AB，AD，CD，CA，∠BAD＝90°，∠ADC＝59°，若点A是的中点，则∠BAC的度数为(　　)
变式1.1题图
31°　　　　　　　　 B. 28°　　　　　　　　
C. 14°　　　　　　　　 D. 4°
2. (2021广东7题3分)如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则☉O的直径为(　　)
第2题图
A. B. 2 C. 1 D. 2
2.1变条件——与内接四边形结合
如图，四边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，则AC的长为(　　)
变式2.1题图
5　　　　　 　　 B. 3　　　　　　　
C. 2　　　　　　　 D. ＋2
拓展训练
3. (2024长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为(　　)
A. 4 B. 4 C. 5 D. 5
第3题图
新考法
4. [真实问题情境](2024凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为(　　)
第4题图
A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm
5. [数学文化](2024珠海香洲区二模)《九章算术》是我国古代数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD＝　　　　寸.
第5题图
考点精讲
①圆心　②圆心　③圆心　④平分　⑤平分　⑥垂直
⑦平分　⑧相等　⑨相等　⑩相等　 相等　 相等
相等　 一半　 相等　 90°　 直径　 三条垂直平分线　 三个顶点　 2　 互补　 ∠BAD
练考点
1. B
2. (1)；(2)；(3)5
3. ①②③
4. 90°
5. 50°，130°
高频考点
例1　(1)解：△ABC为等腰直角三角形.
证明：∵AC为☉O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°.
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
(2)解：由(1)知△ABC为等腰直角三角形，
∵AB＝，
∴AC＝AB＝×＝2，
又∵在Rt△ACD中，AD＝1，
∴CD＝＝＝；
(3)证明：∵∠ADB＝∠CDB＝2∠BDG，
∴∠BDG＝∠CDG，
∴＝，
由题意知DG为☉O的直径，
∴DG⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DG；
(4)解：如解图，连接OB，过点H作HK⊥AB，交AB于点K，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，AB＝CB，OB⊥AC，
设AB＝CB＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝2x，
∴OA＝OB＝x，
∵AH＝OH，
∴AH＝OH＝OA＝x，
∴HK＝AH·sin 45°＝x，
在Rt△OBH中，由勾股定理得BH＝＝x，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝＝＝.
例1题解图
例2　B　【解析】∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CED＝∠B＝70°，∵∠D＝80°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝30°.
变式1　C　【解析】∵BE∥AD，∠BEC＝50°，∴∠D＝∠BEC＝50°，∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＝180°－50°＝130°.
真题及变式
1. B　【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵＝，∴∠D＝∠B＝40°.
变式1.1　C　【解析】如解图，连接BD，∵点A是的中点，∴＝，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝(180°－∠BAD)＝45°.∵∠ADC＝59°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝14°，∵＝，∴∠BAC＝∠BDC＝14°.
变式1.1题解图
2. B　【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是☉O的直径，∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3－1＝2，在Rt△ADE中，∵DE＝AD，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CAB＝30°，∴AD＝BD，∴点O与点E重合，∴OA＝＝，∴AB＝2OA＝2.
第2题解图
变式2.1　C　【解析】如解图，过点A作AE⊥CD，交CD延长线于点E，∵四边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥DE，∴DE＝AD·cos 60°＝1，AE＝AD·sin 60°＝，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝＝＝2.
变式2.1题解图
3. B　【解析】∵圆心O到AB的距离OE＝4，∴OE⊥AB，∴AE＝AB＝4，∴在Rt△OAE中，OA＝＝4.
4. C　【解析】如解图，在CD的延长线上找一点O，设点O为圆心，连接OA，则△OAD为直角三角形，OA2＝AD2＋OD2，结合OA＝OC＝OD＋CD＝OD＋10，AB＝40可得AD＝20，OD＝OA－10，即OA2＝202＋(OA－10)2，解得OA＝25，即圆形工件的半径为25 cm.
第4题解图
5. 26　【解析】如解图，连接OA，设☉O的半径为r寸，则OA＝r寸，OE＝(r－1)寸，∵AB⊥DC，CD为☉O直径，∴AE＝BE＝AB＝5(寸)，在Rt△OAE中，52＋(r－1)2＝r2，解得r＝13，∴直径CD的长为26寸.
第5题解图

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