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微专题29　与圆有关的位置关系
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 点与圆的位置关系
点在圆外 d＝OA①　　　　r
点在圆上 d＝OB②　　　　r
点在圆内 d＝OC③　　　　r
2. 直线与圆的位置关系(2024年首次涉及考查)
位置关系 相离 相切 相交
d与r的 关系 d④　　　r d⑤　　　r d⑥　　　r
交点的 个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点
示意图
3. 切线的性质与判定(6年6考)
(1)性质定理：圆的切线⑦　　　　于过切点的半径(或直径)
(2)性质：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(4)判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；②直线与圆公共点未知：作垂直，证半径
4. 切线长与切线长定理
图示
切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧　　　　之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长
切线长定理 从圆外一点可以引圆的⑨　　　条切线，它们的切线长⑩　　，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.(探索并证明切线长定理*选学)
5. 三角形的内切圆
(1)定义：与三角形各边都相切的圆
(2)圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条 　　　　的交点)
(3)性质：三角形的内心到三角形 　　　　的距离相等
(4)角度关系：如图③，图④，∠BOC＝90°＋∠BAC
【知识拓展】
任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆
图③ 图④
利用等面积法可得：r＝ 利用等面积法可得：r＝ 利用切线长定理可得：r＝
练考点
1. 已知☉O的半径为3，P为平面内一点，OP＝4，则点P在☉O　　　　.(填“内”“上”或“外”)
2. 已知圆的半径为3，圆心到某直线的距离为2，则此直线与圆的位置关系为　　　　.(填“相交”“相切”或“相离”)
3. 如图，AC是☉O的直径.
(1)若BC是☉O的切线，则∠ACB＝　　　　°；
(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，则BC与☉O　　　　.(填“相交”“相切”或“相离”)
第3题图
4. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO交☉O于点C，交AB于点D，∠OAB＝30°.
第4题图
(1)∠APB的度数为　 　　；
(2)若OA＝4，则OP的长为　　　　.
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　　　　.
第5题图
6. 如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为　　　　.
第6题图
高频考点
考点　与切线有关的证明及计算 (6年6考)
一、切线的判定(6年4考)
方法解读
1. 利用平行证垂直：
当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行.
2. 利用等角转换证垂直：
题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明.
3. 利用三角形全等证垂直：
常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直.
4. 作垂直，证半径：
过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.
方法一　连半径、证垂直
例1　(利用平行证垂直)核心设问 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的☉O交BC于点E，过点E作EF⊥AB于点F.求证：EF是☉O的切线.[2019广东24(2)题考查]
例1题图
例2　(利用等角转换证垂直)如图，AB是☉O的直径，C是圆上一点，过点C的直线CD交BA延长线于点D，且∠DCA＝∠B，求证：CD是☉O的切线.
例2题图
例3　(利用三角形全等证垂直)核心设问 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作☉O，交AB于点D，点E为AC上一点，连接DE.若DE＝CE，求证：DE是☉O的切线.[2020广东22(1)题考查]
例3题图
方法二　作垂直、证半径
例4　核心设问 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一点O为圆心，OC长为半径作☉O，连接BO，若BO平分∠ABC，求证：AB是☉O的切线.[2024广东17(2)题考查]
例4题图
二、切线性质的相关证明及计算(6年2考)
方法解读
1. 证明角相等的方法：
(1)根据直角三角形中两锐角互余，进行等量代换找到对应的角；
(2)根据平行线与等腰三角形的性质，进行等量代换找到相对应的角；
(3)通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等.
2. 求线段长的方法：
(1)若题干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出现三角函数sin、cos、tan时，考虑利用三角函数求线段长；
(2)若题干无特殊角或三角函数，观察图形发现已知边与所求边分别所在的三角形存在相似关系，考虑作辅助线将所求线段转化到直角三角形中，利用相似三角形求线段长.
3. 证明线段平行的方法：
(1)通过角之间的等量代换，利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法证明两直线平行.
(2)设法将两条线段放在同一个三角形中，利用中位线(或等分点)的性质证明两直线平行.
例5　 如图①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一点，以BE为直径的☉O与AC相切于点D，连接BD，DE.
例5题图①
(1)求证：∠ABD＝∠CDE；
(2)求证：BD平分∠ABC；
(3)若∠ABD＝30°，AD＝，求OC的长；
(4)如图②，若F为CD的中点，连接EF，∠C＝30°，求证：EF∥A B.
例5题图②
真题及变式
命题点　切线的判定及性质 (6年6考) 　
1. (2020广东22题8分)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BC D.
(1)求证：直线CD与☉O相切；
(2)如图②，记(1)中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2.求tan ∠APE的值.
　第1题图
2. (2019广东24题9分·北师九下习题改编)如图①，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
(1)求证：ED＝EC；
(2)求证：AF是☉O的切线；
(3)如图②，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长.
　第2题图
新考法
3. [真实问题情境] 陀螺(如图①)是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为备受世界喜爱的一项运动.玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要.某数学兴趣小组画出如图②所示的示意图，陀螺的截面图记作☉O，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为AC，点C为接头，绳杆为PC，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接AB，AP，AP交☉O于点D，连接BD且∠ABC＝∠ADB.
(1)求证：PC与☉O相切；
(2)实践中发现，当AC与☉O相切于点A，且AC⊥PC时，发动陀螺更加稳定，若陀螺半径r＝4 cm，∠BAP＝30°，求绳杆CP的长度.
第3题图
考点精讲
①＞　②＝　③＜　④＞　⑤＝　⑥＜　⑦垂直　⑧切点
⑨两　⑩相等　 角平分线　 三条边
练考点
1. 外
2. 相交
3. (1)90；(2)相切
4. (1)60°；(2)8
5. 1
6. 32
高频考点
例1　证明：如解图，连接OE，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE是☉O的半径，
∴EF是☉O的切线.
例1题解图
例2　证明：如解图，连接OC，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
又∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA＝∠CAB＋∠B＝90°，
即CD⊥OC.
∵OC是☉O的半径，
∴CD是☉O的切线.
例2题解图
例3　证明：如解图，连接OD，OE，
在△ODE与△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE(SSS)，
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
即OD⊥DE，
∵OD是☉O的半径，
∴DE是☉O的切线.
例3题解图
例4　证明：如解图，过点O作OD⊥AB于点D，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO平分∠ABC，
∴OD＝OC，
∵OC是☉O的半径，
∴OD是☉O的半径，
∴AB是☉O的切线.
例4题解图
例5　(1)证明：∵BE为☉O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADB＋∠CDE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠CDE；
(2)证明：如解图①，连接OD，
∵AC是☉O切线，
∴∠ODC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴AB∥OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ABD＝∠OBD，
∴BD平分∠ABC；
例5题解图①
(3)解：如解图①，连接OD，
由(1)知∠ABD＝∠CDE，由(2)知∠ABD＝∠OBD，
∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，
∴∠OBD＝∠ODB＝∠CDE＝30°，BD＝2，
∴∠DOC＝60°，
∵AC与☉O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠C＝90°－60°＝30°，
∴∠CDE＝∠C，
∴DE＝CE，
∵∠BDE＝90°，
∴BE＝＝4，DE＝BE＝2，
∴CE＝DE＝2，
∴OC＝4；
(4)证明：如解图②，连接OD，
由(2)得∠ODC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠ODE＝60°，
∴∠CDE＝90°－60°＝30°，
∴∠CDE＝∠C，
∴CE＝DE＝OE，
∴点E是OC的中点.
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ODC的中位线，
∴EF∥OD，
由(2)知，OD∥AB，
∴EF∥AB.
例5题解图②
真题及变式
1. (1)证明：如解图①，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OEC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
又∵CO＝CO，
∴△BOC≌△EOC(AAS)，
∴OE＝OB，
∵OB为☉O的半径，
∴OE为☉O的半径，
又∵OE⊥CD，
∴直线CD与☉O相切； (3分)
(2)解：如解图②，连接OD，OE，
由(1)得OE＝OB，
∴OE＝OA，
∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，
∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，
∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝∠AOE，
∴∠APE＝∠AOE＝∠3，
由(1)得△BOC≌△EOC，
∴CE＝BC＝2，
∴CD＝DE＋CE＝3. (5分)
过点D作DF⊥BC，垂足为点F，则四边形ABFD为矩形，
∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝1，
在Rt△DFC中，DF＝＝2，
∴OA＝AB＝DF＝，
∴tan∠APE＝tan∠3＝＝＝. (8分)
　第1题解图
一题多解法
如解图③，连接BE，AE，并延长AE交BC的延长线于点F，
由题意得∠APE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，AB为☉O直径，
∴AD与☉O相切，∴DE＝AD＝1，同理可得CE＝CB＝2，
∵AD∥BC，
∴＝＝，即FE＝2AE， (5分)
∵AB是☉O的直径，
∴BE⊥AF，
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，
∴∠BAE＝∠FBE，
∴△ABE∽△BFE，
∴＝＝，即BE2＝2AE2，
∴＝(负值已舍去)，
∴tan∠APE＝tan∠ABE＝＝. (8分)
　第1题解图③
2. (1)证明：如解图①，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3.
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∴ED＝EC； (2分)
　第2题解图①
(2)证明：如解图②，连接OA，OB，OC，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴AO⊥BC.
∵由(1)得∠2＝∠3，
∴AB∥DF.
∵AB＝AC＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴AO⊥AF.
∵OA是☉O的半径，
∴AF是☉O的切线； (5分)
　第3题解图②
(3)解：如解图③，连接AG，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5.
∵G是△ADC的内心，
∴∠7＝∠8，
∵∠BAG＝∠5＋∠7，
∠6＝∠1＋∠8，
∴∠BAG＝∠6，
∴AB＝BG.
∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BE·BC＝25，
∴AB＝5(负值已舍去)，
∴BG＝5. (9分)
　第3题解图③
3. (1)证明：如解图①，连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠ADB＝∠AOB＝(180°－2∠OBA)＝90°－∠OBA，
∴∠ADB＋∠OBA＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABC＋∠OBA＝90°，
∴∠OBC＝90°，即OB⊥PC，
∵OB是☉O的半径，
∴PC与☉O相切；
第3题解图
(2)解：如解图②，连接OA，OB，OD，
∵AC与☉O相切于点A，OA是☉O的半径，
∴AC⊥PC，由(1)知，OB⊥BC，
∴∠OAC＝∠C＝∠CBO＝90°，
∴∠AOB＝90°.
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，四边形OACB为正方形，
∵∠BAP＝30°，OB＝OD，
∴∠BOD＝2∠BAP＝60°，
∴△OBD为等边三角形，OB＝BD，
∴AB＝OB＝BD，∴AC＝OA＝CB＝4，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABP＝∠BDP，
∵∠P＝∠P，
∴△ABP∽△BDP，
∴＝＝，
∴设BP＝x，则AP＝x，CP＝4＋x，
在Rt△APC中，AC2＋PC2＝AP2，
∴42＋(4＋x)2＝(x)2，
解得x＝4＋4(负值已舍去)，
∴绳杆CP的长度为(8＋4)cm.

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