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微专题31　三种方法求阴影部分面积
一阶　方法训练
方法解读
1. 公式法
所求阴影部分的面积是规则图形，例如三角形、特殊四边形、扇形时，直接用面积公式计算.
S阴影＝S△ABE
S阴影＝S正方形ABCO
S阴影＝S扇形MEN
方法一　公式法[6年2考：2023.15、22(2)②，2022.15]
例1　如图，在 ABCD中，BC＝8，点E在AD边上，连接BE，CE，若点A到直线BC的距离为4，则图中阴影部分的面积为　　　　.
例1题图
变式1　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形ABE的面积为　　　　.
变式1题图
变式2　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的☉O交BC于点D，连接OD，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式2题图
方法解读
2. 和差法
(1)直接和差法
所求不规则阴影部分的面积若可以看成几个规则图形，则面积直接相加减.
S阴影＝S ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF
S阴影＝S扇形AOB－S△AOB
S阴影＝S△ABC－S扇形CAD
(2)构造和差法
所求不规则阴影部分的面积需要添加辅助线构造规则图形，然后进行相加减.
S阴影＝S△ACE＋S△ACF
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
S阴影＝S△ABC－S△BOD－S扇形DOC
方法二　和差法[6年2考：2021.13，2019.22(2)]
一、直接和差法
例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AB，AD上，连接CE，CF，EF.若AE＝2BE，AF＝DF，则图中阴影部分的面积为　　　　.
例2题图
变式3　如图，△ABC内接于☉O，连接OA，OB，若OA＝10，∠ACB＝45°，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式3题图
变式4　如图，四边形AOBC是边长为1的正方形，以O为圆心的交OA的延长线于点D，则图中阴影部分的面积等于　　　　.
变式4题图
二、构造和差法
例3　如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，点D在CE上，其中正方形ABCD的面积为16 cm2，正方形CEFG的面积为36 cm2，则图中阴影部分的面积为　　　　cm2.
例3题图
变式5　如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D，☉O的半径为2.若点D是的中点，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式5题图
变式6　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，以点B为圆心，分别以AB，BC的长为半径画弧，与BC，AD分别交于点E，F，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式6题图
方法解读
3. 等积转化法
所求阴影部分的面积无法直接计算时，可利用等积转化法将所求阴影部分的面积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和差.
(1)直接等面积转化(AB∥CD)
S阴影＝S△ABC
S阴影＝S扇形COD
(2)全等转化
S阴影＝S△AOB( ABCD)
S阴影＝S△ACD(D为AB的中点)
方法三　等积转化法
例4　如图，在 ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，若S ABCD＝20，则图中阴影部分的面积为　　　　.
例4题图
变式7　如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式7题图
变式8　如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D，☉O的半径为2，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为　　　　.
变式8题图
二阶　综合应用
1. 如图，AB是☉O的直径，OC＝6，∠BAC＝40°，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第1题图
2. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，AF交于点P，连接CE，BF交于点Q，若四边形EPFQ的面积为15，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第2题图
3. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留π)
第3题图
4. 如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形A'BC'D'，点A，C，D分别对应点A'，C'，D'，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第4题图
5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是AD，BC的中点，分别以点A，B为圆心，AE长为半径作弧，两弧交AB于点G，以EF为直径在EF的右侧作半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第5题图
6. 如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE，CE＝，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第6题图
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，点G，H分别是AB，CD的中点，GF和EH交于点M，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为　　　　.
第7题图
一阶　方法训练
例1　16　【解析】∵AD∥BC，点A到直线BC的距离为4，∴点E到直线BC的距离为4，∴S阴影＝×8×4＝16.
变式1　　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC＝，∴cos∠CBE＝＝，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°－30°＝60°，∴S扇形ABE＝＝.
变式2　　【解析】∵AB＝AC＝4，∠C＝30°，AB为☉O的直径，∴∠B＝∠C＝30°，OA＝OB＝AB＝2，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴S阴影＝＝.
例2　20　【解析】∵AE＝2BE，AF＝DF，AB＝6，BC＝8，∴AE＝AB＝4，BE＝AB＝2，AF＝DF＝AD＝BC＝4，∴S阴影＝S矩形ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF＝6×8－×4×4－×8×2－×6×4＝20.
变式3　25π－50　【解析】∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，又∵OA＝OB＝10，∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB＝－OA·OB＝－×10×10＝25π－50.
变式4　－　【解析】∵四边形AOBC是边长为1的正方形，∴AC＝AO＝1，∠OAC＝90°，∴OC＝，∠AOC＝45°，∴S阴影＝S扇形COD－S△AOC＝－×1×1＝－.
例3　10　【解析】∵四边形ABCD，CEFG均为正方形，且面积分别为16 cm2，36 cm2，∴BC＝CD＝4 cm，CG＝CE＝6 cm，∴S阴影＝S△BEG－S△BDG＝×(4＋6)×6－×(4＋6)×4＝10 cm2.
变式5　2＋π　【解析】如解图，连接OD，∵点D是的中点，∴∠AOD＝∠DOB＝90°，△AOD是等腰直角三角形，∵☉O的半径为2，∴S阴影＝S△AOD＋S扇形DOB＝×2×2＋＝2＋π.
变式5题解图
变式6　8　【解析】如解图，连接BF，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，BF＝BC＝4，∴AF＝＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∠ABF＝∠CBF＝45°，∴S阴影＝S扇形CBF＋S△ABF－S扇形ABE＝＋×4×4－＝8.
变式6题解图
例4　10　【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△BCD＝S ABCD＝10，∴S阴影＝S△BCD＝10.
例4题解图
变式7　　【解析】如解图，连接CD，OC，OD，∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC，△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵的长为π，设半圆O的半径为r，∴＝π，解得r＝1，∴S阴影＝S扇形COD＝＝.
变式7题解图
变式8　4　【解析】如解图，连接BD，OD.∵BC与☉O相切，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∵BC⊥AB，∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠BOD＝90°，∴扇形AOD的面积与扇形BOD的面积相等，易得S阴影＝S△BDC，∴在Rt△BDC中，S△BDC＝BD·CD＝×(AO)2＝4，即S阴影＝4.
变式8题解图
二阶　综合应用
1. 8π　【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OA＝OB，∴线段CO是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴S△AOC＝S△COB，∴S阴影＝S扇形BOC，∵∠BAC＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∵OC＝6，∴S扇形BOC＝＝8π，∴S阴影＝8π.
2. 15　【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFC－S△FQC＝S△BCF－S△FQC，∴S△EFQ＝S△BQC，同理，S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△APD，∵S四边形EPFQ＝S△EFP＋S△EFQ＝15，∴S阴影＝S△APD＋S△BQC＝S四边形EPFQ＝15.
第2题解图
3. π　【解析】如解图，连接OE交BD于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠FBE＝∠FDO，又∵AD为圆O的直径，半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，易得BF＝DF，BE＝OD＝BC＝2，∴△BEF≌△DOF(SAS)，∴S阴影＝S扇形EOD＝πr2＝π×22＝π.
第3题解图
4. 3－　【解析】如解图，设AD，C'D'交于点E，连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由旋转的性质，得∠CBC'＝30°，BC'＝BC，∠C'＝∠C＝90°，∴∠A＝∠C'＝90°，AB＝C'B，又∵BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△C'BE，∴∠ABE＝∠C'BE＝∠ABC'＝(90°－∠CBC')＝30°，S△C'BE＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝AB·tan∠ABE＝1，∴S阴影＝S正方形ABCD－S四边形ABC'E＝×－2××1×＝3－.
第4题解图
5. 8　【解析】如解图，设EF的中点为O，连接GO并延长，交CD于点H，∵E为AD中点，AG＝AE，AD＝AB，∴点G为AB的中点，易得OE＝OF＝DE，扇形EOH与扇形GBF面积相等，扇形HOF与扇形EAG面积相等，可得S阴影＝S矩形ABFE，∵点E是AD的中点，AB＝AD＝4，∴AE＝2，∴S阴影＝S矩形ABFE＝4×2＝8.
第5题解图
6. 　【解析】如解图，过点D作DF⊥CE于点F，∴∠DFC＝90°，∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°，∴∠DFC＝∠CEB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠DCF＋∠BCE＝90°，∵∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠CBE，∴△DCF≌△CBE，∴DF＝CE＝，∴S阴影＝CE·DF＝.
第6题解图
7. 　【解析】如解图，连接GH，过点M作MN⊥GH于点N，交AD于点Q，∵在矩形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，∴四边形GHDA是矩形，∴GH＝AD＝BC＝10，GH∥AD，∴△GMH∽△FME，∴＝＝2，∵MN＋MQ＝AB＝3，∴MN＝2，MQ＝1，∴S△GHM＝GH·MN＝×10×2＝10，∴S△EFM＝EF·MQ＝×5×1＝，S矩形GHDA＝3×10＝30，∴S阴影＝S矩形GHDA－S△GHM－S△EFM＝30－10－＝.
第7题解图

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