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微专题32　尺规作图
高频考点
考点1　五种基本尺规作图的方法 (6年3考)
作图步骤
一、作一条线段等于已知线段
1. 作射线OP；
2. 以点O为圆心，a为半径作弧交OP于点A，则OA即为所求作的线段
原理：圆弧上的点到圆心的距离等于半径长
二、作一个角等于已知角
1. 在∠α上以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
2. 作射线O'A；
3. 以点O'为圆心，OP(或OQ)长为半径作弧，交O'A于点M；
4. 以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N；
5. 过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线
三、作已知角的角平分线
1. 以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
2. 分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
3. 作射线OP，OP即为∠AOB的平分线
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
四、作线段的垂直平分线
1. 分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N；
2. 作直线MN，直线MN即为所求作的垂直平分线
原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
五、过一点作已知直线的垂线
情况1 过直线上一点作已知直线的垂线
(1)以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
(2)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径向直线l的上方(或下方)作弧，交于点M；
(3)过点M，P作直线，直线MP即为所求作垂线
原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
情况2 过直线外一点作已知直线的垂线
(1)任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧；
(2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
(3)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，在点M的同侧交于点N；
(4)过点P，N作直线，直线PN即为所求作垂线
原理：圆弧上的点到圆心的距离等于半径长；到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
例1　 已知△ABC.
(1)如图①，请用尺规作图法，在边BC上找一点D，使BD＝BA；(不写作法，保留作图痕迹)
例1题图①
(2)如图②，请用尺规作图法，在边BC上找一点D，使∠BAD＝∠B；(不写作法，保留作图痕迹)
例1题图②
(3)如图③，请用尺规作图法，作∠BAC的平分线，交BC边于点N；(不写作法，保留作图痕迹)
例1题图③
(4)如图④，请用尺规作图法，作边AB的垂直平分线，交BC于点G；(不写作法，保留作图痕迹)
例1题图④
(5)如图⑤，若∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点 D.请用尺规作图法，在斜边AC上求作一点E，使DE⊥AD；(不写作法，保留作图痕迹)
例1题图⑤
(6)如图⑥，请用尺规作图法，过点A作BC的垂线交BC于点 D.(不写作法，保留作图痕迹)
例1题图⑥
考点2　与尺规作图痕迹有关的计算 (2020.15)
例2　(2024呼伦贝尔)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点 D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是(　　)
A. 8 B. 16 C. 12 D. 24
例2题图
变式1　(2024珠海校级模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是(　　)
变式1题图
DA＝DC B. ∠CDE＝∠ADE
C. AB＋EC＝AC D. 以上结论都不对
考点3　无刻度直尺作图
例3　(2024珠海模拟)如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题.(要求：作图只用无刻度的直尺)
例3题图
(1)作∠AOB，使得cos ∠AOB＝；
(2)作出∠AOB的角平分线OC，并简要说明点C的位置是如何找到的(不用证明).
真题及变式
命题点1　与尺规作图痕迹有关的计算 (2020.15) 　
1. (2020广东15题4分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，B D.则∠EBD的度数为　　　　.
　第1题图
命题点2　尺规作图 (6年3考) 　
2. (2019广东19题6分)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若＝2，求的值.
　第2题图
3. (2023广东19题9分)如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长.
　第3题图
4. (2024广东17题7分)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉ D.求证：AB与☉D相切.
第4题图
新考法
5. [注重过程性](2024北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
　第5题图
(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；
(3)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AO B.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是(　　)
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
6. (2024江西)如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图①，过点B作AC的垂线；
(2)如图②，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线.
第6题图
7. [注重过程性](2024浙江)如图，平行四边形ABCD，E是AD上一点，关于如何作EC的平行线，小红、小明展开讨论：
小红：我以C为圆心，AE为半径画弧，交BC于点F，则AF∥EC；
小明：我以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，则AF∥EC
小红：我认为你的方案有误，因为……
(1)证明小红的结论；
(2)解释小明方案的不合理性.
　第7题图
高频考点
例1　解：(1)如解图①，点D即为所求作(作法不唯一)；
例1题解图①
(2)如解图②，点D即为所求作(作法不唯一)；
例1题解图②
(3)如解图③，AN即为所求作(作法不唯一)；
例1题解图③
(4)如解图④，直线EG即为所求作；
例1题解图④
(5)如解图⑤，DE即为所求作(作法不唯一)；
例1题解图⑤
(6)如解图⑥，直线AD即为所求作(作法不唯一).
例1题解图⑥
例2　B　【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作图知AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∴CD＝AD，∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴＝＝＝，又∵△ACD的面积为8，∴△ABD的面积是2×8＝16.
变式1　C　【解析】由尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的平分线，DE为AC的垂线，∴∠BAD＝∠EAD，△AED为直角三角形，∵∠B＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ABD≌△AED，∴AE＝AB，∴AE＋EC＝AC＝AB＋EC，∴C正确，故符合要求；由题意知，DA不一定等于DC，∠CDE不一定等于∠ADE，A、B、D错误，故不符合要求.
例3　解：(1)如解图，在线段OA上取点E，使OE＝3，在点E的正上方取点B，使BE＝4，连接OB，
∴OB＝＝5，
∴cos ∠AOB＝＝，
∴∠AOB即为所求作；
(2)如解图，在线段OA上取点D，使OD＝5，连接BD，再取BD的中点C，作射线OC，则射线OC即为所求作.
例3题解图
真题及变式
1. 45°　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝30°，∴∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠A)＝75°.由作图痕迹可得，点E在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE ＝75°－30°＝45°.
2. 解：(1)如解图，∠ADE即为所求；
【作法提示】①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段AB，BC于点P，Q；②以点D 为圆心，BP(或BQ)长为半径画弧，交线段AD于点M；③以点M为圆心，PQ长为半径画弧，交步骤②中所画弧于点N；④连接DN并延长交线段AC于点E，∠ADE即为所求作.
(2)∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴＝＝2.
第2题解图
3. 解：(1)如解图，线段DE即为所求作；
第3题解图
(2)在Rt△ADE中，AD＝4，∠DAB＝30°，
∴AE＝AD·cos∠DAB＝4×＝2，
∴BE＝AB－AE＝6－2.
4. (1)解：如解图①，AD即为所求作；
第4题解图①
(2)证明：如解图②，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，
∵DC为☉D的半径，∴DE为☉D的半径，
∵DE⊥AB，∴AB与☉D相切.
第4题解图②
5. A　【解析】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C'O'D'≌△COD(SSS)，∴判定△C'O'D'≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.
6. 解：(1)如解图①，直线BD即为所求作(作法不唯一)；
第6题解图①
(2)如解图②，直线BF即为所求作(作法不唯一).
【作法提示】连接CE并延长交DA的延长线于点F，作直线BF，直线BF即为所求作.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEC，∴AF＝BC，∴四边形AFBC是平行四边形，∴BF∥AC，∴直线BF即为所求作.
第6题解图②
7. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
由作图可知，CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥EC；
(2)解：如解图，过点A作AG⊥BC于点G，当AG＜CE时，以A为圆心，EC为半径画弧，此时这条弧与BC有两个不同的交点F，F'，使得四边形AECF不能唯一确定.
第7题解图

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