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微专题34　图形的对称、平移和旋转
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 轴对称图形与中心对称图形(6年3考)
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断 步骤 (1)找对称轴； (2)图形沿对称轴折叠； (3)对称轴两边的图形完全重合 (1)找对称中心； (2)图形绕对称中心旋转180°； (3)旋转前后的图形完全重合
2. 轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图形
性质 (1)成轴对称的两个图形是全等图形； (2)对称点所连线段被对称轴垂直平分 (1)成中心对称的两个图形是全等图形； (2)对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分
3. 图形的折叠(6年3考)
实质 折叠的实质是轴对称变换
性质 (1)位于折痕两侧的图形关于折痕①　　　 (2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积都分别相等 (3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
4. 图形的平移
要素 平移方向和②　　　　
性质 (1)平移前后，对应线段③　　　(或共线)且相等，对应角相等 (2)对应点所连的线段④　　　　　　(或共线)且相等 (3)平移前、后的图形⑤　　　　　
5. 图形的旋转(6年3考)
要素 旋转中心、旋转方向和⑥　　　　
性质 (1)对应点到旋转中心的距离⑦　　 (2)任何一组对应点与旋转中心连线所成的角都⑧　　　旋转角 (3)旋转前、后的图形⑨　　
练考点
1. 下列消防安全标识图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
2. 如图是由6个大小相同的正方形组成的中心对称图形，则此图形的对称中心是(　　)
第2题图
A. 点M　　　 B. 点N
C. 点P D. 点Q
3. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线将△ABC折叠，使点C的对应点E落在AB上，则AE的长为　　　　.
第3题图
4. 如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝1，则CF的长为　　　　.
第4题图
5. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到三角形ADE，则∠CAD的度数是　　　°.
第5题图
高频考点
考点1　图形的对称 (6年3考)
例1　(北师八下习题改编)如图所示是我国部分城市的地铁标志.
(1)轴对称的图形有　　　　；
(2)中心对称的图形有　　　　；
(3)既是轴对称图形又是中心对称的图形有　　　　.
例1题图
变式1　(2024佛山南海区二模)第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年举行，下列图形是本届奥运会运动项目图标，其中属于轴对称图形的是(　　)
变式2　(2024绥化)下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
A. 平行四边形 B. 等腰三角形
C. 圆 D. 菱形
例2　 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，3)，点B(2，1)，P是x轴上一个动点，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 5
例2题图
变式3　(2023广州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为　　　　.
变式3题图
考点2　图形的平移
例3　 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点G，连接A D.
(1)若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠EDF的度数为　　　　°；
(2)四边形ACFD的形状为　　　　　；
(3)判断AD，BC，BF之间的数量关系为　　　　　；
(4)若AB＝3，DF＝4，CE＝2，△DEF的周长为12，则△ABC平移的距离为　　　　.
例3题图
变式4　(2024临夏州)如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是　　　　.
变式4题图
考点3　图形的旋转 (6年3考)
例4　 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，点D恰好落在AB边上.
例4题图
(1)旋转中心为　　　　，旋转角为　　　　；
(2)与EC相等的边是　　　　；
(3)若AC＝4，则DE的长为　　　　；
(4)△ACD的形状为　　　　；
(5)BC与DE的位置关系为　　　　.
变式5　(2024佛山一模)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D'，当点C，B'，C'三点共线时，AB'交DC于点E，则DE的长度是(　　)
变式5题图
A. B. C. D.
真题及变式
命题点1　对称图形的识别 (6年3考) 　
1. (2024广东2题3分)下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(　　)
2. (2023广东2题3分)下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为(　　)
3. (2019广东5题3分)下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(　　)
命题点2　图形的平移 　
拓展训练
4. (2024英德一模)如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为　　　　.
第4题图
5. 如图，在 ABCD中，点A(4，0)，点B在x轴上，点C(0，6)在y轴上，对角线AC，BD交于点E，将 ABCD沿x轴向左平移，当点E落在y轴上时，点C的坐标为　　　　.
第5题图
命题点3　图形的旋转 (6年3考) 　
拓展训练
6. (2024广元)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为(　　)
A. B. C. 2 D. 2
第6题图
新考法
7. [数学文化](2024甘肃省卷)围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　　　　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上)
第7题图
8. [真实问题情境](2024扬州)如图①，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABC D.
(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为2 cm，将矩形纸条旋转至如图②位置时，四边形ABCD的面积为8 cm2，求此时直线AD，CD所夹锐角∠1的度数.
第8题图
考点精讲
①成轴对称　②平移距离　③平行　④平行　⑤全等
⑥旋转角度　⑦相等　⑧等于　⑨全等
练考点
1. C
2. B
3. 2
4. 1
5. 20
高频考点
例1　(1)③④⑤；(2)④；(3)④
变式1　C
变式2　B
例2　C　【解析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，由两点之间线段最短，可知PA＋PB的最小值即为A'B的长度，∵A(－2，3)，B(2，1)，∴A'(－2，－3)，∴A'B＝＝＝4.
变式3　　【解析】如解图，连接AE交BD于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF＝CF，∴CF＋EF＝AF＋EF＝AE，此时CF＋EF的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝4，∠ABC＝90°，∵BE＝1，∴AE＝＝＝，故CF＋EF的最小值为.
变式3题解图
例3　(1)90；(2)平行四边形；(3)BF＝BC＋AD；(4)3
【解法提示】(1)由平移可得∠DEF＝∠B＝60°，∠F＝∠ACB＝30°，∴∠EDF＝180°－60°－30°＝90°；(2)由平移的性质得AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ACFD是平行四边形；(3)由平移的性质得AD＝CF，∴BF＝BC＋CF＝BC＋AD；(4)由平移的性质可知，△ABC的周长＝△DEF的周长＝12，∵AB＝3，DF＝4，∴AC＝DF＝4，∴BC＝12－3－4＝5，∴平移的距离BE＝BC－CE＝5－2＝3.
变式4　　【解析】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝×2＝1，由勾股定理得BD＝＝.∴AA'＝AD＝，∴A'D＝1－＝.如解图，记A'B'与BD的交点为M，A'C'与CD的交点为N，由平移可知，∠A'MD＝∠B＝30°，在Rt△A'DM中，MD＝＝＝.∵A'M＝A'N，∴MN＝2MD＝，∴S重叠部分＝·MN·A'D＝××＝.
变式4题解图
例4　(1)点C，∠ACD或∠BCE；(2)BC；(3)8；(4)等边三角形；(5)垂直
变式5　A　【解析】如解图，连接AC，AC'，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，由旋转可知，BC＝B'C'＝3，AC＝AC'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AB'＝AB＝4，∴△ACC'是等腰三角形，且AB'⊥CC'，∴B'C＝B'C'＝3，∴AD＝B'C＝3，∵∠AED＝∠CEB'，∠D＝∠EB'C＝90°，∴△ADE≌△CB'E(AAS)，∴AE＝CE，DE＝B'E，设AE＝x，则B'E＝4－x＝DE，在Rt△ADE中，DE2＋AD2＝AE2，即(4－x)2＋32＝x2，解得x＝，∴DE＝4－＝.
变式5题解图
真题及变式
1. C
2. A
3. C　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 是轴对称图形，不是中心对称图形
B 是轴对称图形，不是中心对称图形
C 既是轴对称图形，又是中心对称图形 √
D 是轴对称图形，不是中心对称图形
4. 12　【解析】由题意可得，阴影部分是矩形，其长为6－2＝4，宽为4－1＝3，∴阴影部分的面积＝4×3＝12.
5. (－2，6)　【解析】∵A(4，0)，C(0，6)，E是 ABCD对角线的交点，∴E(2，3)，当点E落在y轴上时， ABCD沿x轴向左平移2个单位长度，∴点C的坐标为(－2，6).
6. A　【解析】由旋转的性质得∠CAE＝90°，AC＝AE，DE＝BC＝1，∴△ACE是等腰直角三角形，CE＝CD＋DE＝3＋1＝4，如解图，过点A作AH⊥CE于点H，∴AH＝CE＝CH＝HE＝2，∴HD＝HE－DE＝2－1＝1，∴AD＝＝＝.
第6题解图
7. A(或C)　【解析】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以.
8. 解：(1)四边形ABCD为菱形，理由如下：
由题可知，AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如解图①，过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BEA＝∠DFA＝90°.
∵两个矩形的宽度相等，
∴BE＝DF，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
第8题解图①
(2)如解图②，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，
∵四边形ABCD的面积为8，
∴CD×AG＝8，
又∵AG＝2，
∴CD＝4.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝4，
在Rt△AGD中，AG＝2，AD＝4，∠AGD＝90°，
∴sin∠1＝＝＝，
∴∠1＝30°，
∴直线AD，CD所夹锐角∠1的度数为30°.
第8题解图②

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