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微专题35　几何图形的折叠问题
一阶　基础技能
1. 折叠问题常见的类型有：
2. 与折叠有关的计算常用性质
(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
①线段相等：C'D＝　　　　，BC＝　　　　；
②角度相等：∠1＝　　　　，∠3＝　　　　；
③全等关系：△BC'D≌　　　　.
(2)折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分，即BD垂直平分CC')；
(3)折痕可看作角平分线.
二阶　方法训练
方法解读
1.利用折叠出现的直角三角形求解
情形：折叠中顶点落在边上得到直角三角形
结论：在Rt△CFB'中，利用勾股定理，得x2＝a2＋(b－x)2
方法总结：由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后易出现与设问相关联的直角三角形，可利用勾股定理或三角函数列方程求解
方法一　利用折叠出现的直角三角形求解(2020.9)
例1　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠，点B的对应点B'恰好落在CD边的中点处，则BF的长为　　　　.
例1题图
变式1　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D，E分别是AB，BC上的点.将△ACE沿AE折叠，使点C的对应点落在点D处，则△BDE的面积为　　　　.
变式1题图
方法解读
2.利用折叠出现的等腰三角形求解
情形：折叠中利用角平分线(折痕)性质得到等腰三角形
结论：△BFD为等腰三角形，DF＝BF＝x，AF＝b－x
方法总结：当折痕过特殊四边形对边或对角线时，可利用角平分线(折痕)与平行线(特殊四边形的对边)的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解
方法二　利用折叠出现的等腰三角形求解
例2　如图，在矩形ABCD中，CD＝4，BC＝8，将△BCD沿BD翻折得到△BED，BE交AD于点F，则AF＝　　　　.
例2题图
变式2　如图，已知矩形纸片的宽为2，将矩形纸片沿MN折叠，得到重合部分△AMN，若∠MAN＝45°，则△AMN的面积为　　　　.
变式2题图
方法解读
3.利用折叠出现的全等、相似求解
情形：折叠中常出现的全等、相似模型
(1)如图①，正8字、斜A字模型
图①
结论：①“正8字”：△AFE∽△CFD；②“斜A字”：△AFE∽△ABC
(2)如图②，一线三垂直模型
图②
结论：①△BEF∽△CFD；
②△AED≌△FED
方法总结：结合折叠的性质，找出与设问相关联的全等三角形或相似三角形，再利用全等、相似三角形的性质求解
方法三　利用折叠出现的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3)，2021.23]
例3　如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2.
(1)DF＝　　　　；
(2)BE＝　　　　.
例3题图
例4　如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点C的对应点F恰好落在AD上.若sin ∠DFE＝，则tan ∠EBC的值为　　　　.
例4题图
变式3　(2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)， 点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F 的坐标为(0，6)，则点E的坐标为　　　　.
变式3题图
三阶　综合应用
1. (2020广东9题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为(　　)
A. 1 B. C. D. 2
第1题图
2. (2024佛山二模)在如图所示的矩形ABCD中，M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝15°，则∠ABE＝　　　　.
第2题图
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：△DEF是等腰三角形.
　第3题图
4. (2021广东23题8分)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长.
第4题图
一阶　基础技能
①CD，BC'；②∠2，∠4；③△BCD
二阶　综合应用
例1　5　【解析】∵AB＝6，且B'是CD边的中点，∴B'C＝CD＝AB＝3，由折叠可知，B'F＝BF，设BF＝B'F＝x，则CF＝9－x.在Rt△CFB'中，∵B'F2＝CF2＋B'C2，∴x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴BF＝5.
变式1　6　【解析】由折叠可知，CE＝DE，AC＝AD＝6，∠ACB＝∠ADE＝90°，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4，∠BDE＝180°－∠ADE＝180°－90°＝90°，设CE＝x，则DE＝x，BE＝8－x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2＝BD2＋DE2，∴(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴DE＝3，∴S△BDE＝DE·BD＝×3×4＝6.
例2　3　【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠性质得∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BF＝DF，设AF＝x，则DF＝BF＝AD－AF＝8－x，在Rt△ABF中，BF2＝AB2＋AF2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝3.
变式2　2　【解析】如解图，过点M作MP⊥AN于点P，∵纸条为矩形，∴MB∥AN，∴∠1＝∠ANM，由折叠的性质可知∠1＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ANM，∴△AMN是等腰三角形.∵∠MAN＝45°，MP＝2，∴AN＝AM＝＝＝2，∴S△AMN＝AN·MP＝×2×2＝2.
变式2题解图
例3　(1)2；　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠B＝∠DAE＝90°，由折叠的性质得，CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠FCD＝90°，∴∠ADE＝∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF＝AE＝2.
(2)－1　【解析】∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴＝，∴EF＝－1(负值已舍去)，∴BE＝EF＝－1.
一题多解法
(1)∵AB∥CD，∴S△ACD＝S△DCE，∴S△ACD－S△DCF＝S△DCE－S△DCF，∴S△ADF＝S△ECF，由题意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，∴S△ACD－S△ADF＝S△ABC－S△CEF＝S△ABC－S△BCE，∴S△DCF＝S△ACE，∴DF·CF＝AE·BC.∵CF＝BC，∴DF＝AE＝2；
(2)设BE＝x，∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∴＝，解得x＝－1(负值已舍去)，∴BE＝－1.
例4　　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知，∠BFE＝∠C＝90°，∠EBF＝∠EBC，EF＝EC，∴∠ABF＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABF，∴△DFE∽△ABF，∴＝.∵sin∠DFE＝＝，∴设DE＝2a，则EF＝3a，∴AB＝CD＝5a.在Rt△DEF中，由勾股定理，得DF＝a，∴＝＝＝，∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝.
变式3　(3，10)　【解析】由折叠的性质可知，BC＝BF，∵点A的坐标(－2，0)，点F的坐标为(0，6)，∴OA＝2，OF＝6，如解图，设CD与y轴交于点P，设正方形的边长为a，则OB＝a－2，OP＝BF＝a，在Rt△BOF中，OB2＋OF2＝BF2，即62＋(a－2)2＝a2，解得a＝10，∴OP＝10，OB＝8，∴PF＝OP－OF＝4，∵∠EFP＋∠FEP＝90°，∠EFP＋∠BFO＝90°，∴∠FEP＝∠BFO，∵∠EPF＝∠FOB＝90°，∴△EFP∽△FBO，∴＝，∴＝，解得PE＝3，∴点E的坐标为(3，10).
变式3题解图
三阶　综合应用
1. D　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∵∠EFD＝60°，∴∠BEF＝60°，由折叠的性质知，∠B'EF＝∠BEF＝60°，∴∠AEB'＝60°，∴∠AB'E＝30°.设BE＝B'E＝x，则AE＝3－x，在Rt△AEB'中，3－x＝x，解得x＝2，∴BE＝2.
2. 40°　【解析】如解图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，∵M为CD中点，∴DM＝MC，∴△ADM≌△BCM，∴∠DAM＝∠CBM，∵△BME是由△BMC翻折得到，∴∠CBM＝∠EBM＝(90°－∠ABE)，∵∠DAM＝∠CBM＝∠MBE，∠AON＝∠BOM，∴∠OMB＝∠ANB＝90°－∠ABE，在△MBE中，∠EMB＋∠EBM＝90°，∴∠AME＋(90°－∠ABE)＋(90°－∠ABE)＝90°，整理得∠ABE＝60°，∴∠ABE＝40°.
第2题解图
3. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD，
在△ADE和△CED中，
，
∴△ADE≌△CED(SSS)；
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形.
4. 解：如解图，延长BF交CD于点H，连接EH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠EAB＝90°，
∵△FBE由△ABE沿BE折叠得到，
∴EA＝EF，∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴∠D＝∠EFB＝∠EFH＝90°，
∵E为AD的中点，
∴EA＝ED，
∴ED＝EF，
在Rt△EDH和Rt△EFH中，
，
∴Rt△EDH≌Rt△EFH(HL)，
∴∠DEH＝∠FEH，
又∵∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEH＋∠AEB＝∠FEH＋∠FEB＝×180°＝90°，
∴∠ABE＝∠DEH，
∵∠D＝∠BAE＝90°，
∴△DHE∽△AEB，
∴＝＝，
∴DH＝，
∵CH∥AB，
∴△HGC∽△BGA，
∴＝＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，
∴CG＝AC＝.
第4题解图

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