资源简介

微专题36　统　计
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 调查方式
类别 定义 适用范围
全面 调查 考察全体对象的调查叫做全面调查 一般当调查的范围小，调查不具有破坏性，数据要求准确全面时，如乘飞机安检
抽样 调查 抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查 当所调查对象涉及面大，范围广或受条件限制，或具有破坏性时，如调查全国中学生对数学传统文化的了解情况
2. 总体、个体、样本、样本容量
(1)总体：所要考察对象的全体
(2)个体：总体中的每一个对象
(3)样本：从总体中所抽取的一部分个体
(4)样本容量：样本中个体的数目
3. 数据的分析(6年3考)
名称 定义 意义或应用
平均 数 算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，其算术平均数＝①　　　　　　　　　 (1)反映数据的总体水平，但易受极端值的影响； (2)去掉一个数，若平均数变大，则说明去掉的数比平均数小；若平均数变小，则说明去掉的数比平均数大； (3)根据同年级两个班期末考试数学成绩的平均数，评价哪个班数学整体水平较高
加权平均数：＝(x1 f1＋x2 f2＋…＋xk fk)，其中f1， f2，…， fk分别表示x1， x2，…，xk出现的次数，n＝f1＋f2＋…＋fk
中位 数 将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则中位数是位于②　　　的数据，如果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数据的③　　　 (1)去掉最大数和最小数，中位数不变； (2)判断某一数据在某组数据中所处的位置，比中位数大即位于前50％，比中位数小即位于后50％
众数 一组数据中出现次数④　　的数据 日常生活中“最满意”“最受关注”等，都与众数有关，它能反映一组数据的集中程度
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的算术平均数，s2为数据的方差 反映数据的波动程度，方差越大，则数据的波动⑤　　　，越不稳定；反之亦成立
4. 频数与频率
(1)频数：数据分组后落在各小组内数据的个数，频数之和等于数据总数
(2)频率：每一组数据频数与数据总数相比，频率之和等于⑥　　　
5. 统计图(表)的特点(6年6考)
名称 图(表)中所含信息 优点
扇形 统计图 (1)各百分比之和等于⑦　 (2)圆心角的度数＝百分比×⑧ 　 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比
条形 统计图 各组数据之和等于抽样数据总数(样本容量) 能清楚地表示出每个项目的具体数目，反映事物某一阶段属性的大小变化
频数分 布直方图 (1)各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量) (2)各组频率之和等于⑨　 (3)数据总数×各组的频率＝相应组的⑩　　　 能清楚地表示出收集或调查到的数据，能显示出各频数分布情况以及各组频数之间的差异
频数 分布表 各组频率之和等于 　　　 —
折线 统计图 各组数据之和等于抽样数据总数(样本容量) 能清楚地反映事物的变化趋势
教材改编题练考点
1. 要调查下列问题：①调查某种灯泡的使用寿命；②了解我们班同学的视力情况；③调查同一批插线板的合格率；④发射前对“神舟十七号”载人飞船零部件的检测.其中适合抽样调查的是　　　　，适合全面调查的是　　　　.
2. 为了解某校2 000名学生对校园环境的满意度，从中随机抽取100名学生进行调查.在此数据分析中，总体是　　　　　　　　　，个体是　　　　　　　，样本是　　　　　　　　，样本容量是　　　　　.
3. 射击比赛中，某队员的10次射击成绩(单位：环)如下：
9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
则这10次射击成绩的平均数是　 　；中位数是　 　；众数是　　　　　；方差是　　　　.
4. 抛一枚硬币100次，其中正面朝上的次数是52，在此过程中正面朝上的频数是　　，频率是　　　　.
5. 下列说法不正确的是(　　)
A. 为了描述某市城区十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是折线统计图
B. 为了更直观地介绍某品牌牛奶的各项营养指标占比，最适合用的统计图是扇形统计图
C. 为了直观反映出我国近五年的GDP增速变化，最适合用的统计图是折线统计图
D. 为了能够直观地了解到全球平均地表温度的变化情况，最适合用的统计图是扇形统计图
高频考点
考点1　与数据代表有关的计算 (6年3考)
例1　(2024梅州模拟)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是(　　)
A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24
变式1　(2024东莞模拟)某校准备从甲、乙、丙、丁四名队员中选派一名队员代表学校参加全市跳绳比赛，下表是这四名队员几次选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是(　　)
甲 乙 丙 丁
平均数(个/分钟) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 7.4
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
考点2　频数与频率
例2　《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2 000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为　　　　石.
变式2　(2024北京)某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下：
50.03　　49.98　　50.00　　49.99　　50.02
49.99　　50.01　　49.97　　50.00　　50.02
当一个工件的质量x(单位：g)满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数为　　　　个.
考点3　统计图(表) (6年6考)
例3　 为积极响应号召，某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，随机抽取了一部分学生进行问卷测试(满分：20分).根据测试结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
例3题图
(1)本次随机接受测试的学生人数为　　　　名，补全条形统计图；
(2)图①中m的值为　　　　；16分所对圆心角的度数为　　　　°；
(3)统计的学生测试成绩数据的平均数为　　　　；众数为　　　　；中位数为　　　　；
(4)若测试成绩17分及以上为优秀，根据样本数据，估计该校1 300名学生中测试成绩为“优秀”的学生有多少？
(5)请对本次宣讲活动效果作出合理评价.
真题及变式
命题点1　与数据代表有关的计算 (6年3考) 　
1. (2020广东2题3分)一组数据2，4，3，5，2的中位数是(　　)
A. 5 B.3.5 C.3 D. 2.5
2. (2024广东11题3分)数据5，2，5，4，3的众数是　　　　.
拓展训练
3. (2024绥化)某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如下表：
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的(　　)
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
命题点2　统计图(表)的分析 (6年6考) 　
4. (2020广东19题6分)某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、 “不太了解” 四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
(1)求x的值；
(2)若该校有学生1 800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数(人) 24 72 18 x
5. (2023广东21题9分)小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
第5题图
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：a＝　　　　；b＝　　　　；c＝　　　　；
(2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析该如何选择乘车线路.
6. (2022广东21题9分·人教八下例题改编)为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
10　4　7　5　4　10　5　4　4　18　8　3　5　10　8
(1)补全月销售额数据的条形统计图；
(2)月销售额在哪个值的人数最多(众数)？中间的月销售额(中位数)是多少？平均月销售额(平均数)是多少？
(3)根据(2)中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？
第6题图
7. (2024广东19题9分·北师八上例题改编)端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A，B，C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分(10分制).三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
第7题图
(1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
(2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
(3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
新考法
8. [综合与实践](2024安徽)
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘直径用x(单位：cm)表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x＜4.5 4.5≤x＜5.5 5.5≤x＜6.5 6.5≤x＜7.5 7.5≤x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
第8题图
任务1　求图①中a的值；
【数据分析与运用】
任务2　A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数；
任务3　下列结论一定正确的是　　　　(填正确结论的序号)；
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
任务4　结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
根据所给信息，请完成以上所有任务.
考点精讲
①(x1＋x2＋…＋xn)　②最中间　③平均数　④最多
⑤越大　⑥1　⑦1　⑧360°　⑨1　⑩频数　 1
练考点
1. ①③；②④
2. 2 000名学生对校园环境的满意度；每名学生对校园环境的满意度；抽取的100名学生对校园环境的满意度；100
3. 7；7；7；1.2
4. 52，0.52
5. D
高频考点
例1　C　【解析】这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，∴众数是23，将这组数据按从小到大排列，处在中间位置的数是24，∴中位数是24.
变式1　A　【解析】根据表格可知甲和丙队员的平均成绩高，而甲的方差又小于丙，即成绩比丙稳定，∴最适合的队员是甲.
例2　240　【解析】设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得＝，解得x＝240.∴这批米内夹谷约为240石.
变式2　160　【解析】∵满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数＝200×＝160(个).
例3　解：(1)50；补全条形统计图如解图；
例3题解图
【解法提示】本次随机接受测试的学生人数为＝50(名).成绩得分为17分的人数为50×24％＝12(名).
(2)28；64.8；
【解法提示】由(1)得本次随机接受测试的学生人数为50名，∴m％＝＝28％，∴m＝28.得分为16分所对圆心角的度数为360°×(1－24％－28％－20％－10％)＝64.8°.
(3)17.8；18；18；
【解法提示】平均数＝×(16×9＋17×12＋18×14＋19×10＋20×5)＝17.8；成绩为18分的人数有14人，人数最多，故众数为18；∵样本容量为50，将成绩按从小到大的顺序排列后，中间位置的序号为25，26，对应的数据都是18，∴中位数为＝18.
(4)1 300×(24％＋28％＋20％＋10％)＝1 066(名).
答：估计该校1 300名学生中测试成绩为“优秀”的学生有1 066名；
(5)成绩在18分及以上的学生人数占比达到58％，说明学生对革命传统和中华优秀传统文化的了解较好.(答案不唯一，合理即可)
真题及变式
1. C　【解析】将数据2，4，3，5，2按从小到大的顺序排列后为2，2，3，4，5，共有5个数据，处在最中间的数是3，∴这组数据的中位数是3.
2. 5　【解析】数据5，2，5，4，3中，5出现的次数最多，∴众数是5.
3. C　【解析】∵众数是数据中出现次数最多的数，∴老板最关注的销售数据的统计量是众数.
4. 解：(1)由题意得24＋72＋18＋x＝120，解得x＝6； (2分)
(2)1 800×＝1 440(人).
答：估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1 440人. (6分)
5. 解：(1)19；26.8；25； (3分)
【解法提示】将A线路所用时间按从小到大顺序排列得14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20，∴A线路所用时间的中位数为a＝＝19；由题意可知B线路所用时间的平均数为b＝(25＋29＋23＋25＋27＋26＋31＋28＋30＋24)÷10＝26.8；∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，∴B线路所用时间的众数为c＝25.
(2)选择A线路所用时平均数为22，选择B线路所用时平均数为26.8，用时差不多，而方差63.2＞6.36，B线路所用时更稳定，为了确保能够准时到达学校，便于规划出发时间，所以选B线路更优.(答案不唯一，合理即可) (9分)
6. 解：(1)补全月销售额数据的条形统计图如解图； (3分)
第6题解图
(2)由统计图可知，月销售额的众数为4，
将15名销售员的销售额按从小到大的顺序排列，第8名的销售额为5万元，
∴中位数为5，
平均数为(3×1＋4×4＋5×3＋7×1＋8×2＋10×3＋18×1)÷15＝7(万元)，
∴月销售额在4万元的人数最多，中间的月销售额是5万元，平均月销售额是7万元； (6分)
(3)如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为7万元(平均数)，将月销售额定为每月7万元是一个较高的目标，大约会有7名销售员完成目标，人数接近总人数的一半. (9分)
7. 解：(1)A景区：6×30％＋8×15％＋7×40％＋9×15％＝7.15(分)，
B景区：7×30％＋7×15％＋8×40％＋7×15％＝7.4(分)，
C景区：8×30％＋8×15％＋6×40％＋6×15％＝6.9(分)， (2分)
∵7.4分＞7.15分＞6.9分，∴王先生会选择B景区游玩； (3分)
(2)A景区：(6＋8＋7＋9)÷4＝7.5(分)，
B景区：(7＋7＋8＋7)÷4＝7.25(分)，
C景区：(8＋8＋6＋6)÷4＝7(分)， (5分)
∵7.5分＞7.25分＞7分，
∴王先生将会选择A景区游玩； (6分)
(3)如果我是王先生，则认为各项“重要程度”为特色美食40％，自然风光40％，乡村民宿10％，科普基地10％，会选择C景区.理由如下：
A景区：6×40％＋8×40％＋7×10％＋9×10％＝7.2(分)，
B景区：7×40％＋7×40％＋8×10％＋7×10％＝7.1(分)，
C景区：8×40％＋8×40％＋6×10％＋6×10％＝7.6(分)，
∵7.6分＞7.2分＞7.1分，∴会选择C景区.(本题答案不唯一，合理即可) (9分)
8. 解：任务1：a＝200－(15＋70＋50＋25)＝40；
任务2：
∵＝6，
∴乙园样本数据的平均数为6；
任务3：①；
任务4：乙园的柑橘品质更优，理由如下：由样本数据频数直方图可得，乙园的一级柑橘所占比例大于甲园，根据样本估计总体，可以认为乙园的柑橘品质更优.(本答案仅供参考，其它答案请酌情赋分)

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