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微专题38　简单几何证明与计算
类型一　与三角形有关的证明与计算
1. 如图，已知△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥BC于点D，延长DA至点E，使DE＝BC，点F在边AC上，连接DF，EF，使∠CDF＝∠BAD，FD＝AB.求证：FE＝AC.
第1题图
2. （2024浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1.
（1）求BC的长；
（2）求sin ∠DAE的值.
第2题图
3. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°.
第3题图
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长.
类型二　与四边形有关的证明与计算（2021.23）
考向1　与图形性质有关
1. 如图，在正方形ABCD的外侧，以CD边为腰作等腰△CDE，使得DE＝CD，连接AE.
（1）求证：∠DAE＝∠DEA；
（2）若DE＝4，∠CDE＝30°，求∠DAE的度数和△ADE的周长.
第1题图
2. （2024东莞一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC.
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长.
第2题图
3. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE垂直平分AC，交AC于点E，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接CD，AF，BE.
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若∠ABC＝90°，BE＝5，BC＝6，求△BDC的面积.
第3题图
考向2　与图形变化有关（2021.23）
1. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，C'为点C的对应点，C'B与AD交于点E.
（1）求证：BE＝DE；
（2）若BE＝2EC'，求∠DBC的度数.
第1题图
2. （2024梅州模拟）如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连接AP'，PP'；
（1）求证：△PBC≌△P'BA；
（2）求∠BPC的度数.
第2题图
3. 在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上（不与点B，D重合），作点E关于直线AB的对称点F，连接DF，且G为DF的中点，连接AG，EG.
（1）若DF平分∠ADB，求证：EG⊥DF；
（2）若DE＝4，求线段AG的长.
第3题图
类型一　与三角形有关的证明与计算
1. 证明：∵AD⊥BC，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵∠CDF＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADF，
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE(SAS)，
∴FE＝AC.
2. 解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴由勾股定理，得BD＝＝8，
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14；
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝CE＝7，
∴DE＝BD－BE＝1，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝＝，
∴sin∠DAE＝＝.
3. (1)证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝135°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠BED＋∠CEF＝180°－∠DEF＝135°，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
(2)解：如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，
∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，
∵∠ADF＋∠EDB＝90°，∠ADF＋∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠EDB，
∵∠A＝∠EHD＝90°，
∴△ADF≌△HED，
∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，
∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，
∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD＋DH＋HB＝4，
∵BC＝AB＝4，
∴EC＝BC－BE＝3.
第3题解图
类型二　与四边形有关的证明与计算
考向1　与图形性质有关
1. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA；
(2)解：如解图，过点D作DF⊥AE于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝120°，
由(1)知，∠DAE＝∠DEA，AD＝DE＝4，
∴∠DAE＝∠DEA＝30°，
AF＝AD＝2，AF＝EF，
∴AE＝2AF＝4，
∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝8＋4.
第1题解图
2. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，
又∵∠EAB＝∠EBC，
∴△ABE∽△BEC；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，
∵DE＝3，
∴CE＝1，
由(1)知△ABE∽△BEC，
∴＝，
∴BE2＝AB·CE＝4×1＝4，
∴BE＝2(负值已舍去).
3. (1)证明：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，∠AED＝∠CEF＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF(ASA)，
∴DE＝FE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DE⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，
∴AE＝CE＝BE＝5，∴AC＝10，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝8，
由(1)知，四边形ADCF是菱形，
∴AD＝CD，
设BD＝x，则AD＝CD＝8－x，
在Rt△CDB中，CD2＝BD2＋CB2，
即(8－x)2＝x2＋62，
解得x＝，即BD＝，
∴S△BDC＝BD·BC＝××6＝.
考向2　与图形变化有关
1. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
由折叠的性质得，∠CBD＝∠C'BD，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴BE＝DE；
(2)解：∵BE＝DE，BE＝2EC'，
∴DE＝2EC'.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
由折叠的性质得，∠DC'E＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△DEC'中，sin∠EDC'＝＝，
∴∠EDC'＝30°，∴∠DEC'＝60°，∴∠BED＝120°，
∵BE＝DE，∴∠DBC＝∠DBE＝(180°－∠BED)＝30°.
2. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，BP＝BP'，∠P'BP＝90°，
∴∠P'BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠PBC，
∴∠P'BA＝∠PBC，
在△PBC和△P'BA中，
，
∴△PBC≌△P'BA(SAS)；
(2)解：由(1)知，△PBC≌△P'BA，
∵PA＝3，PB＝2，PC＝1，
∴P'A＝PC＝1，PP'＝PB＝2，
∴P'A2＋P'P2＝1＋8＝32＝PA2，
∴∠AP'P＝90°，
∵BP＝BP'，∠P'BP＝90°，
∴∠BP'P＝45°，
∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P＋∠BP'P＝90°＋45°＝135°.
3. (1)证明：如解图，连接EF交AB于点H，由对称的性质，得EF⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，∴AD∥EF，
∴∠ADF＝∠F.
∵DF平分∠ADB，
∴∠ADF＝∠BDF，
∴∠F＝∠BDF，
∴△DEF为等腰三角形.
又∵G是DF的中点，
∴EG⊥DF；
第3题解图
(2)解：如解图，连接HG并延长交AB于点I，
由(1)知，AD∥EF，
∴∠GDI＝∠F.
在△DGI和△FGH中，
，
∴△DGI≌△FGH(ASA)，
∴GI＝GH.
在Rt△AHI中，∵G是HI的中点，
∴AG＝GH＝HI.
又∵G是DF的中点，H是EF的中点，
∴GH是△DEF的中位线，
∴DE＝2GH，
∴AG＝GH＝DE＝2.

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