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微专题43　圆的综合题
类型一　与锐角三角函数结合
1. 如图，AB为☉O的直径，△BCD内接于☉O，连接DA并延长交BC的延长线于点E，且∠E＝∠ABC.
（1）求证：BC＝EC；
（2）若EC＝20，tan ∠BCD＝，求☉O的半径.
第1题图
2. 如图，四边形ABCD内接于☉O，对角线BD为☉O的直径，对角线AC是∠BCD的平分线，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E.
（1）求证：AE是☉O的切线；
（2）若∠AEB＝60°，BD＝2，求AC的长.
第2题图
3. （2021广东24题10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积.
第3题图
类型二　与全等三角形结合
1. 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作☉O，交斜边AC于点D，连接BD.
（1）若∠C＝30°，求的值；
（2）过点D作☉O的切线，交BC于点E，求证：E是BC的中点.
第1题图
2. （2024梅州模拟）如图，P为☉O外一点，PA，PB为☉O的切线，切点分别为A，B，直线PO交☉O于点D，E，交AB于点C.
（1）求证：∠ADE＝∠PAE；
（2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形.
第2题图
3. 如图，BC为☉O的弦，点A为劣弧的中点，D为BC上一点，连接AD，过点A作☉O的切线AE，连接CE，CE∥AD，点F为AE上一点，AF＝BD，连接AB，AC，CF.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当BD＝EF＝AB时，求证：AC＝AD.
第3题图
4. （2023广东22题12分）综合探究
如图①，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E，连接CA'.
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.
①如图②，☉O与CD相切，求证： AA'＝CA'；
②如图③，☉O与CA'相切，AD＝1，求☉O的面积.
第4题图
类型三　与相似三角形结合
[6年2考：2020.22（2），2019.24（3）]
1. 如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，连接CD，过点C作☉O的切线交DB的延长线于点E，且DE⊥CE.
（1）求证：AC＝CD；
（2）若☉O的半径为5，BC＝6，求BD的长.
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE的外接☉O与BC交于点F，连接AF，AF平分∠BAC.
（1）求证：BC为☉O的切线；
（2）若AD·CE＝8，求☉O的半径.
第2题图
3. （2024珠海一模）如图，AB是☉O的直径，C是半圆AB的中点，点D是☉O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF＝DF.
（1）求证：DF是☉O的切线；
（2）连接BC，BD，AD，若tan ∠BCD＝，DF＝3，求☉O的半径.
第3题图
4. 如图①，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝AC，且△ABC内接于☉O.
（1）当BC为☉O直径时，求证：BC＝AB；
（2）如图②，当CD与☉O相切时，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图③，当CD与☉O相交于点E时，连接BE，交AC于点F，若EF·AB＝CE2，求∠D的度数.
第4题图
类型一　与锐角三角函数结合
1. (1)证明：如解图，连接AC，
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∵∠E＝∠ABC，∴AE＝AB，∴BC＝EC；
第1题解图
(2)解：∵∠DAB＝∠BCD，
∴tan∠DAB＝tan∠BCD＝，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠DAB＝＝，
设AD＝7x，则BD＝24x，
∴AB＝＝25x，
∴由(1)知，AE＝AB＝25x，
∴DE＝AE＋AD＝25x＋7x＝32x，
∵CE＝20，
∴BE＝2CE＝40，
在Rt△BDE中，
∵BD2＋DE2＝BE2，
∴(24x)2＋(32x)2＝402，解得x＝1(负值已舍去)，
∴AB＝25x＝25，
∴☉O的半径为.
2. (1)证明：如解图，连接OA，
∵AC是∠BCD的平分线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠AOB＝∠AOD，
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵BD∥AE，
∴∠OAE＝∠AOD＝90°，
∵OA是☉O的半径，
∴AE是☉O的切线；
(2)解：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵AE∥BD，∴∠AEB＝∠CBD＝60°，
∵BD是☉O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝30°，∴BC＝BD＝，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF＝BF＝BC·sin 45°＝1，
∵∠BAC＝∠BDC＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝，
∴AC＝AF＋CF＝＋1.
第2题解图
3. (1)证明：∵CD＝DF，
∴设∠DCF＝∠DFC＝α，
∴∠FDC＝180°－2α，
∵CD∥AB，
∴∠BAF＝180°－(180°－2α)＝2α，
又∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝＝90°－α，
∴∠CFB＝180°－∠DFC－∠AFB＝180°－α－(90°－α)＝90°，
∴CF⊥FB；
(2)证明：如解图①，取AD的中点O，过点O作OM⊥BC于点M，
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠DCB＝90°，
又∵OM⊥BC，
∴OM∥AB，
∴点M为BC的中点，
∴OM＝(AB＋CD)，
又∵AF＝AB，DF＝DC，
∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD＝2OM，
∴OM＝AD＝OD，
∴OM是以AD为直径的圆的半径，
又∵OM⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；
(3)解：∵∠DFE＝120°，∠ABC＝90°，CD∥EF，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠CDF＝60°，∠BAF＝120°，∠AFE＝60°，∠CEF＝∠BEF＝∠EBA＝90°，
又∵DC＝DF，
∴△DCF为等边三角形，∠DFC＝60°，
∴∠CFE＝60°，
由(1)得∠CFB＝90°，
∴∠EFB＝∠CFB－∠CFE＝30°，
∵EF＝2，
∴在Rt△BFE中，BE＝EF·tan 30°＝，
在Rt△CEF中，CE＝EF·tan 60°＝2，
如解图②，过点D，A分别作EF的垂线，交直线EF于点H，N，
则四边形CEHD，四边形EBAN均为矩形，∴CE＝DH＝2，BE＝AN＝，
∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA
＝EF·DH＋EF·AN
＝EF·(DH＋AN)
＝×2×(2＋)
＝.
第3题解图
类型二　与全等三角形结合
1. (1)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝BD，CD＝BD，
∴＝＝；
(2)证明：如解图，连接OD，OE，
∵DE是☉O的切线，
∴∠ODE＝90°，
在Rt△OBE与Rt△ODE中，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠DBE，
∵∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠C，
∴DE＝CE，
∴BE＝CE，
∴E是BC的中点.
第1题解图
2. 证明：(1)如解图①，连接OA，
第2题解图①
∵DE是☉O的直径，
∴∠DAE＝90°，
即∠DAO＋∠OAE＝90°，
∵PA为☉O的切线，
∴∠PAO＝90°，
即∠PAE＋∠OAE＝90°，
∴∠DAO＝∠PAE，
∵AO＝DO，
∴∠DAO＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠PAE；
(2)如解图②，连接OA，OB，
∵∠ADE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵PA为☉O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠APO＝90°－∠AOE＝30°，
∴AD＝AP，
∵PA，PB为☉O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵PO＝PO，OA＝OB，
∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠ADE＝∠BPO，
∴AD∥PB，
∵PA＝PB＝AD，
∴四边形ADBP是平行四边形，
又∵AD＝AP，
∴四边形ADBP是菱形.
第2题解图②
3. 证明：(1)如解图，连接OA，
∵点A为劣弧的中点，AE是☉O的切线，
∴OA⊥BC，DA⊥AE，
∴AE∥BC，即AE∥CD，
∵CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
第3题解图
(2)∵BD＝AF，BD＝EF，
∴AF＝EF，∴BD＝AE，
∵点A为劣弧的中点，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝AB，
∴BD＝AC，∴AC＝AE，
由(1)得AE∥CD，
∴∠ACB＝∠CAF，
∴∠ABD＝∠CAF，
∴△ABD≌△CAF(SAS)，
∴AD＝CF，
由(1)知四边形ADCE为平行四边形，
∴AD＝CE，∴CF＝CE，
∴∠E＝∠EFC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝∠EFC，
∴△EFC∽△ECA，∴＝，
设EF＝x，则AC＝AE＝2x，
∴＝，∴CE＝x，∴AD＝x，
∴＝＝，∴AC＝AD.
4. (1)证明：∵点A关于BD的对称点为A'，
∴AE＝A'E，AA'⊥BD，即AA'⊥OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE是△ACA'的中位线，
∴OE∥CA'，
∴AA'⊥CA'； (3分)
(2)①证明：如解图①，设CD与☉O相切于点F，连接FO并延长，交AB于点G，
∴FG⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝BD，AB∥CD，FG⊥AB，
∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)， (5分)
∴OG＝OF＝OE，
由(1)知AA'⊥BD，
∵OG⊥AB，
∴Rt△DEA≌Rt△OGA(HL)，
∴∠EAO＝∠GAO，
∴∠GBO＝∠EAO，
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，
∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由(1)知AA'⊥CA'，
∴tan∠EAO＝＝，
∴AA'＝CA'； (7分)
第4题解图①
②解：如解图②，设CA'与☉O相切于点H，连接OH，
∵☉O与CA'相切，
∴OH⊥CA'，
由(1)知，AA'⊥CA'，AA'⊥BD，OA＝OC，
∴四边形OHA'E为矩形，
∵OE＝OH，
∴四边形OHA'E为正方形，
∴AA'＝2A'E＝2OH，CA'＝2A'H＝2OE，
∴AA'＝CA'，
∴∠A'AC＝∠A'CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA'＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
设AE＝DE＝x，则OD＝OA＝x，
∴DE＝OD－OE＝(－1)x，
在Rt△ADE中，x2＋[(－1)x]2＝12，
∴x2＝，即AE2＝OE2＝，
∴S☉O＝π·OE2＝. (12分)
第4题解图②
类型三　与相似三角形结合
1. (1)证明：如解图，连接OC，AD，
∵CE是☉O的切线，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠OCB＝∠CBE.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBE＝∠OBC.
∵四边形ACBD内接于☉O，
∴∠CAD＝∠CBE.
∵∠ADC＝∠ABC＝∠CBE，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴AC＝CD；
第1题解图
(2)解：∵☉O的半径为5，
∴AB＝10，
在Rt△ABC中，BC＝6，∴CD＝AC＝＝8.
∵∠BAC＝∠BDC，∠ACB＝∠CED＝90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴＝＝，即＝＝，解得DE＝，CE＝.
在Rt△BCE中，BE＝＝，
∴BD＝DE－BE＝.
2. (1)证明：如解图，连接OF，
∵∠BAC＝90°，∴DE是☉O的直径，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°，∴∠DOF＝2∠DAF＝90°，
∵DE∥BC，∴∠OFB＝180°－∠DOF＝90°，
∵OF为☉O的半径，
∴BC为☉O的切线；
(2)解：如解图，连接DF，EF，
∵四边形ADFE是☉O的内接四边形，
∴∠ADF＋∠AEF＝180°，
又∵∠CEF＋∠AEF＝180°，
∴∠ADF＝∠CEF，
∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，
∵∠DAF＝∠DEF，
∴∠DAF＝∠EFC，
∴△DAF∽△EFC，∴＝，
∴EF·DF＝DA·EC＝8，
∵∠DAF＝∠CAF＝45°，
∴EF＝DF，∴EF2＝8，
∴EF＝2，
∵OE＝OF，
∴OE＝EF＝2，
∴☉O的半径为2.
第2题解图
3. (1)证明：如解图，连接OD，OC，
∵C是半圆AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠OCE＋∠OEC＝90°.
∵∠OEC＝∠DEF，
∴∠DEF＋∠OCD＝90°.
∵EF＝DF，
∴∠DEF＝∠EDF，
∴∠EDF＋∠OCD＝90°.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠EDF＋∠ODC＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为☉O的半径，
∴DF是☉O的切线；
(2)解：∵∠BCD＝∠A，tan∠BCD＝，
∴tan A＝tan ∠BCD＝，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan A＝＝，
∵∠ODF＝∠ADB＝90°，
∴∠ODA＝∠BDF，
又∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠BDF＝∠A，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDA，
∴＝＝＝，
∵DF＝3，
∴FB＝，AF＝6，
∴AB＝AF－BF＝6－＝，
∴☉O的半径为×＝.
第3题解图
4. (1)证明：∵△ABC内接于☉O，BC为☉O直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB；
(2)证明：如解图①，连接CO并延长交AB于点K，
∵CD与☉O相切，
∴OC⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴CK⊥AB，∴AK＝BK，
∴直线CK垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；
第4题解图①
(3)解：如解图②，连接AE，
∵EF·AB＝CE2，
∴＝，
由(2)得四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠ACD，∠BAD＋∠D＝180°，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，∴EF＝CF，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴∠CEF＝∠CAE，即∠BEC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC＝∠ACE，
∵四边形ABCE内接于☉O，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°，
∵∠AEC＋∠AED＝180°，
∴∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC＝∠D＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC，
设∠BAC＝α，则∠ABC＝∠ACB＝∠D＝＝90°－α，∠CAE＝∠DAE＝α，
∵∠BAD＋∠D＝180°，
∴3α＋90°－α＝180°，
解得α＝36°，
∴∠D＝90°－α＝90°－×36°＝72°.
第4题解图②

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