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微专题44　反比例函数综合题
1. 如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C（0，1）.
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连接AB，求点C到线段AB的距离.
第1题图
2. 如图，已知一次函数y1＝x－3的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B.
（1）求n和k的值；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积.
　第2题图
3. 如图，点A是第一象限内直线y＝2x上一点，过点A作AB⊥x轴于点B（a，0）（a＞0），将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上.
（1）若AO＝2，求k的值；
（2）设直线y＝2x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点P，且点P横坐标为m.求证：为定值.
第3题图
4. 如图，一次函数y＝－x＋2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为AB的中点，双曲线的一支y＝（x＞0）过点C，连接OC，将线段OC沿着y轴向上平移至EF，线段EF交y＝（x＞0）的图象于点D.
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若DE∶DF＝1∶2，求点D的坐标.
第4题图
5. 如图，Rt△OAB的顶点A的坐标为（2，2），∠ABO＝90°，且点B在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E（2，）且与AO相交于点D，点C与点O关于点B对称，连接AC，BD，作直线DE.
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）求直线DE的表达式和△BDE的面积.
第5题图
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在y轴和x轴上，点D为AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D的反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与BC交于点E，连接OD，OE，DE.
（1）设S△AOD＝S1，S△OEC＝S2，当S1＋S2＝3时，求该反比例函数的表达式；
（2）若OA＝6，AB＝8，记S＝S△ODE－S△BDE，求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点D，使得△BDE沿直线DE折叠后点B的对应点B'恰好落在OC边上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
第6题图　　　　　备用图
1. 解：(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝3，n＝3.
又∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(1，3)，C(0，1)，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝2x＋1；
(2)如解图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
∵C(0，1)，B(3，1)，
∴BC∥x轴，BC＝3.
∵点A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC于点D，
∴点D(1，1)，AD＝2，DB＝2.
在Rt△ADB中，AB＝＝2.
又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，
即×3×2＝×2·CE，
∴CE＝，即点C到线段AB的距离为.
第1题解图
2. 解：(1)把A点坐标代入y1＝x－3中，得n＝×4－3＝3，
∴A(4，3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k＝3×4＝12；
(2)如解图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，连接AC，
∵A(4，3)，∴AH＝3，
当y1＝0时，得x－3＝0，
解得x＝2，
∴点B的坐标为(2，0)，
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝，AB∥CD，
∴S△ABE＝S△ABC＝BC·AH＝××3＝.
第2题解图
3. (1)解：∵AB⊥x轴于点B(a，0)，点A是直线y＝2x上一点，
∴A(a，2a)，
∴OB＝a，AB＝2a，
在Rt△ABO中，
∵AO＝2，AB2＋OB2＝AO2，
∴(2a)2＋a2＝(2)2，
解得a＝2(负值已舍去)，
∴AB＝4，BO＝2，
根据旋转的性质，得AC＝AB＝4，∠ACD＝∠ABO＝90°，
∴C(6，4)，
∵点C在反比例函数y＝图象上，
∴k＝6×4＝24；
(2)证明：由旋转可得OB＝CD＝a，由(1)知A(a，2a)，
∴AC＝AB＝2a，
∴点C的坐标为(3a，2a)，
∴k＝2a·3a＝6a2.
∵直线y＝2x与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点P，点P的横坐标为m，
∴2m＝，即＝3.
由题意得，点P在第一象限内，
∴m＞0且a＞0，
∴＝，
∴为定值.
4. 解：(1)在一次函数y＝－x＋2中，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，
∴一次函数y＝－x＋2的图象交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，2)，
∵C为AB的中点，
∴点C(2，1)，
∵点C(2，1)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝；
(2)如解图，连接FC，过点D作x轴的平行线与FC交于点N，与y轴交于点M，
由题意可得FC∥y轴，
∴△EMD∽△FND，
∴＝＝，
∴MD＝MN＝×2＝，
即点D的横坐标为，
∵点D在反比例函数图象上，
∴当x＝时，y＝＝3，
∴点D(，3).
第4题解图
5. 解：(1)BD∥AC，BD＝AC.理由如下：
∵反比例函数y＝的图象经过点E(2，)，
∴k＝2×＝1，
∴反比例函数的表达式为y＝.
又∵点A的坐标为(2，2)，
∴OA所在直线表达式为y＝x，令y＝，解得x＝1或x＝－1(舍去)，
∴D(1，1)，
∴点D为OA的中点，
∵点C与点O关于点B对称，
∴点B为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，
∴BD∥AC，BD＝AC；
(2)设直线DE的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，
将D(1，1)，E(2，)分别代入，
得，解得，
∴直线DE的表达式为y＝－x＋.
∵点A的坐标为(2，2)，∠ABO＝90°，点B在x轴上，
∴点B的坐标为(2，0)，
∴BE＝，
∴S△BDE＝BE×(｜xE｜－｜xD｜)＝××(2－1)＝.
6. 解：(1)∵点D，E在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，
∴设D(x1，)，E(x2，)，x1＞0，x2＞0，x2＞x1，
∴S1＝x1·＝，S2＝x2·＝.
∵S1＋S2＝3，
∴＋＝3，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)；
(2)由题意得，D(，6)，E(8，)，
∴S△BDE＝BD·BE＝(8－k)(6－k)，
∴S△ODE＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝6×8－k－k－S△BDE＝48－k－S△BDE，
∴S＝S△ODE－S△BDE＝48－k－2S△BDE＝48－k－2×(8－k)(6－k)，
∴S＝－k2＋k.
∵－＜0，
∴当k＝－＝24时，S有最大值，最大值为－×242＋24＝12；
(3)存在.如解图，过点D作DF⊥OC于点F.
由题意得，DF＝AO＝6，DB＝DB'＝8－k，B'E＝BE＝6－k，∠DB'E＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠DB'F＋∠EB'C＝∠EB'C＋∠B'EC＝90°，
∴∠DB'F＝∠B'EC.
又∵∠DFB'＝∠B'CE＝90°，
∴△DFB'∽△B'CE，
∴＝，
∴＝＝，
∴B'C＝.
∵B'C2＋CE2＝B'E2，
∴()2＋()2＝(6－k)2，解得k＝，
∴DB'＝DB＝8－＝，
∴AD＝AB－DB＝，
∴存在符合条件的点D，点D的坐标为(，6).
第6题解图

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