资源简介
微专题45 二次函数综合题
类型一 二次函数与线段有关问题
1. 综合与探究
如图,抛物线y=x2-x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4),作直线AC,BC,P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求A,B两点的坐标,并求出直线AC,BC的函数表达式;
(2)过点P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交直线AC于点T,当P为线段TQ的中点时,求此时点P的坐标.
第1题图
2. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k≠0)与抛物线y=ax2+c(a≠0)交于A(8,6),B两点,点B的横坐标为-2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB下方抛物线上一动点,过点P作x轴的平行线,与直线AB交于点C,连接PO,设点P的横坐标为m.若点P在x轴下方,求△POC周长的最大值,并求此时m的值.
第2题图
3. 如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,P是直线BC下方抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC,过点P作PD∥AC,交BC于点D,求线段PD的最大值.
第3题图
4. 如图,抛物线y=a(x-1)2+2的对称轴交x轴于点A,且抛物线分别交y轴于点B(0,1),交直线AB于点C,顶点为D,P是对称轴右侧抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,连接OP,OP与直线BC交于点M,当OM=MP时,求点P的坐标;
(3)如图②,过点P作PE∥x轴,PF∥y轴,分别交直线CD于点E,F.若=,求点P的坐标.
类型二 二次函数与面积有关问题
[2022.23(2)]
1. (2024扬州)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
(1)求b,c的值;
(2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标.
第1题图
2. 如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴的正半轴交于点C,且OC=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC,BC,P为抛物线上一点,当S△ABC=2S△PBC时,求点P的坐标.
第2题图
3. (2022广东23题12分)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.
第3题图
4. 如图,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC.
(1)求点A,B的坐标及直线AC的函数解析式;
(2)过点C作CP⊥AC,交抛物线于点P,连接OP交AC于点D,连接AP,求△PAD的面积.
第4题图
5. 如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A(-1,0),B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,2),点D是抛物线上异于点A的一个动点,直线AD与直线BC交于点E.
(1)求直线BC的函数解析式;
(2)在点D运动的过程中,当∠AEC=45°时,求△ABE的面积;
(3)当点D在第一象限抛物线上运动时,连接BD,设△BDE的面积为S1,△ABE的面积为S2,求的最大值.
第5题图
类型三 二次函数与特殊图形存在性有关问题
一阶 设问突破
方法解读
二次函数中等腰三角形的存在性问题:
1. 找点:两圆一线
①若AD=AC,以点A为圆心,AC长为半径画圆;
②若CD=AC,以点C为圆心,AC长为半径画圆;
③若AD=CD,作AC的垂直平分线;
2. 求点:设出点D的坐标,根据点A,C,D的坐标,表示出线段AC,CD,AD的长度,由等量关系分别列方程求解即可.
例 如图,已知抛物线y=x2-x-4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)如图①,连接AC,若点D为x轴上的动点,当△ACD是等腰三角形时,求点D的坐标;
例题图①
方法解读
二次函数中的角度问题:
1. 角度相等:常与线段的平行或特殊三角形结合,最终将角度问题转化为线段问题;
2. 角度固定值:常见的角度有15°,30°,45°,60°,90°,常放在特殊三角形中,利用三角形三边关系或三角函数求解;
3. 角度的倍数关系:利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性质求解.
(2)如图②,连接BC,若点P为抛物线上的动点,当∠PAB=∠ABC时,求点P的坐标;
例题图②
方法解读
二次函数中平行四边形的存在性问题:
1. 找点:分情况讨论:
①当BC为平行四边形的边;
②当BC为平行四边形的对角线,根据平行四边形一组对边平行且相等确定点的位置;
2. 求点:①通过点的平移,构造全等三角形求点坐标;
②由中点坐标公式求顶点坐标.
(3)如图③,连接BC,若E,F分别为抛物线和x轴上的动点,是否存在点F,使以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
例题图③
方法解读
二次函数中直角三角形的存在性问题:
1. 找点:两线一圆
①若∠MBC=90°,过点B作BC的垂线;
②若∠MCB=90°,过点C作BC的垂线;
③若∠BMC=90°,以BC为直径作圆;
2. 求点
方法一:代数法:设出点M的坐标,根据点B,C,M的坐标,表示出线段BC,BM,CM的长度,再根据对应情况,由勾股定理分别列方程求解即可;
方法二:几何法:作垂线,构造一线三垂直模型,表示出线段长用勾股定理或相似建立等量关系.
(4)连接BC,若点M在抛物线的对称轴上.
①如图④,是否存在点M,使以点B,C,M为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
例题图④
方法解读
二次函数中全等三角形存在性问题:
1. 找等角(边):根据相对应的字母找到已存在隐含的等角(边);
2. 表示边长:明确全等后需相等的对应边,直接或间接设出所求点的坐标,再表示线段长;
3. 建立关系式并计算:利用全等三角形对应边相等列等式,其中对于对应关系不确定的三角形全等,需分情况讨论.
②如图⑤,若点M为对称轴与x轴的交点,连接CM,点Q是坐标平面内的点(不与点M重合),是否存在点Q,使得△BCQ与△BCM全等,若存在,求出所有满足条件的点Q,若不存在,请说明理由.
例题图⑤
方法解读
二次函数中相似三角形的存在性问题:
1. 找等角:其中直角三角形找对应的直角,一般三角形中会存在隐含的等角;
2. 表示边长:直接或间接设出所求的点的坐标,然后表示出线段长;
3. 建立关系式并计算:对于对应关系不确定的三角形相似,需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式,分情况讨论,然后进行计算求解.
③如图⑥,若点M为对称轴与BC的交点,连接AC,点N为x轴上的动点,是否存在点N,使△BMN与△ABC相似?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
例题图⑥
二阶 综合训练
1. (2024梅州市一模)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(5,0),B(-1,0),C(0,-5).
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)直线x=t(0<t<5)交二次函数y=ax2+bx+c的图象于点P,交直线AC于点Q,是否存在实数t,使△CPQ为等腰三角形,若存在,请求出这样的t值;若不存在,请说明理由.
第1题图
2. (2021广东25题10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C,点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
3. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,连接AC,BC.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)若点P为x轴上一动点,当点P以每秒3个单位长度的速度从点O出发,沿x轴正方向匀速运动,连接CP,设点P运动的时间为t,当以C,O,P为顶点的三角形与△AOC相似时(不包含全等),求t的值;
(3)若点Q是直线BC上一动点,试判断是否存在点Q,使得以C,D,Q为顶点的三角形是直角三角形.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第3题图
类型一 二次函数与线段有关问题
1. 解:(1)当y=0时,x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=8.
∵点A在点B的左侧,
∴A(-2,0),B(8,0),
设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0),
将A(-2,0),C(0,-4)分别代入得,
解得,
∴直线AC的函数表达式为y=-2x-4,
∵B(8,0),C(0,-4),
∴同理可得直线BC的函数表达式为y=x-4;
(2)设P(m,m2-m-4),
∵QT∥y轴,
∴Q(m,m-4),T(m,-2m-4),
∴PQ=m-4-(m2-m-4)=-m2+2m,
PT=m2-m-4-(-2m-4)=m2+m,
∵P为线段TQ的中点,
∴PQ=PT,
∴-m2+2m=m2+m.
解得m1=0(舍去),m2=3,
∴P(3,-).
2. 解:(1)将A(8,6)代入y=kx,得8k=6,解得k=,
∴直线AB的解析式为y=x,
当x=-2时,y=×(-2)=-,
∴B(-2,-).
将A(8,6),B(-2,-)分别代入y=ax2+c(a≠0),
得,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-2;
(2)设P(m,n),则m2-2=n,
当点P在x轴下方时,-2<m<4,n<0,
∵C(n,n),
∴OC=-n,OP===m2+2,
∵PC=m-n,m2-2=n,
∴OP+PC+OC=m2+2+m-n-n
=m2+m-3n+2
=m2+m-3(m2-2)+2
=-(m-2)2+9,
∵-<0,∴当m=2时,△POC的周长最大,最大值为9.
3. 解:(1)将A(-3,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-4中,
得,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4;
(2)在y=x2-x-4中,令x=0,得y=-4,
∴C(0,-4).
∵A(-3,0),B(4,0),
∴OA=3,OB=OC=4,AB=7,
∴AC=5.
如解图,过点P作x轴的平行线,交BC于点M,
∵PM∥AB,
∴∠PMD=∠ABC.
∵PD∥AC,
∴∠PDM=∠ACB,
∴△PMD∽△ABC,
∴=,即=,
∴PD=PM.
设直线BC的解析式为y=kx+d(k≠0),
将B(4,0),C(0,-4)分别代入,
得,解得,
∴直线BC的解析式为y=x-4.
设点P的坐标为(m,m2-m-4),0<m<4,
∴M(m2-m,m2-m-4),
∴PM=m-(m2-m)=-m2+m,
∴PD=×(-m2+m)=-(m-2)2+,
∵-<0,
∴当m=2时,线段PD有最大值,最大值为.
第3题解图
4. 解:(1)∵抛物线y=a(x-1)2+2交y轴于点B(0,1),
∴将点B(0,1)代入y=a(x-1)2+2中,得1=a(0-1)2+2,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+2=-x2+2x+1;
(2)如解图①,过点M,P分别作MN⊥x轴于点N,PQ⊥x轴于点Q,则MN∥PQ,
由(1)得A(1,0),
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点A(1,0),B(0,1)分别代入y=kx+b中,得,
解得,
∴直线AB的解析式为y=-x+1,
∵MN∥PQ,∴△MNO∽△PQO,
∴==,
∵OM=MP,∴OM=OP,
∴===,
∴MN=PQ,ON=OQ,
第4题解图①
设P(p,-p2+2p+1)(p>1),则M(,-+1)
∴PQ=-p2+2p+1,MN=-+1,
∴-+1=(-p2+2p+1),
整理,得p2-3p+2=0,解得p1=1(舍去),p2=2,
∴-p2+2p+1=1,
∴点P的坐标为(2,1);
(3)【思路点拨】一般遇到线段成比例,可考虑三角形相似,求出线段长,利用平行关系得到点坐标之间的关系,通过点在直线或抛物线上确定点坐标.
如解图②,③过点C作CG⊥AD,交DA延长线于点G.
联立,
解得或,
∴B(0,1),C(3,-2),
∴CG=3-1=2,
∵PE∥x轴,PF∥y轴,
∴∠PEF=∠GCD,∠PFE=∠GDC,
∴△PEF∽△GCD,
∴=,即=,
∴PE=.
∵y=-(x-1)2+2,
∴D(1,2),
设直线CD的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),
将C(3,-2),D(1,2)分别代入y=k1x+b1(k1≠0)中,得,解得,
∴直线CD的解析式为y=-2x+4.
设P(t,-t2+2t+1),
①如解图②,当点P在点E的右侧时,
则E(t-,-t2+2t+1),1<t<3.
∵点E在直线CD上,
∴-t2+2t+1=-2(t-)+4,
整理,得4t2-16t+15=0,
解得t1=,t2=,
∴点P的坐标为(,)或(,-);
图②
图③
第4题解图
②如解图③,当点P在点E的左侧时,
则E(t+,-t2+2t+1),t>3.
∵点E在直线CD上,
∴-t2+2t+1=-2(t+)+4,整理,得4t2-16t+9=0,
解得t3=,t4=(舍去),
∴点P的坐标为(,-),
综上所述,点P的坐标为(,)或(,-)或(,-).
类型二 二次函数与面积有关问题
1. 解:(1)将点A(-2,0),B(1,0)分别代入y=-x2+bx+c,
得,解得,
∴b的值为-1,c的值为2;
(2)由(1)可知,二次函数的解析式为y=-x2-x+2,
设P(m,n),
∵点P在二次函数的图象上,
∴n=-m2-m+2.
∵A(-2,0),B(1,0),
∴AB=3,
又∵△PAB的面积为6,
∴×AB×|n|=6,解得n=±4,
当n=4时,即-m2-m+2=4,化简得m2+m+2=0,该方程无实数解,不符合题意;
当n=-4时,即-m2-m+2=-4,化简得m2+m-6=0,解得m1=2,m2=-3,
综上所述,点P的坐标为(2,-4)或(-3,-4).
2. 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),
∵OC=3,∴C(0,3),
将点C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3)中,得-3a=3,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3;
(2)∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=4,
∴S△ABC=AB·OC=×4×3=6,
∵S△ABC=2S△PBC=6,∴S△PBC=3,
由B(3,0),C(0,3)可得BC所在直线的解析式为y=-x+3,
①如解图①,当点P位于BC上方时,过点P作PM∥BC交y轴于点M,
∴S△PBC=S△MBC=3=,
∴CM=2,M(0,5),
∴直线PM的解析式为y=-x+5,
联立,
解得x1=1,x2=2,
∴点P(1,4)或(2,3);
第2题解图
②如解图②,当点P在BC下方时,
同理可得,M(0,1),
∴直线PM的解析式为y=-x+1,
联立,
解得x1=,x2=,
∴点P(,)或(,),
综上所述,点P的坐标为(1,4)或(2,3)或(,)或(,).
3. 解:(1)∵A(1,0),AB=4,
∴B(-3,0).
将点A(1,0),B(-3,0)分别代入y=x2+bx+c中,得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3;
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴C(-1,-4).
设直线BC的解析式为y=k1x+m1(k1≠0),
将点B(-3,0),C(-1,-4)分别代入y=k1x+m1中,得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=-2x-6,
设直线AC的解析式为y=k2x+m2(k2≠0),
将点A(1,0),C(-1,-4)代入y=k2x+m2中,得,
解得,
∴直线AC的解析式为y=2x-2.
∵PQ∥BC,
∴设直线PQ的解析式为y=-2x+n,
令y=0,得x=,
∴P(,0),
联立直线AC与直线PQ的解析式,得,
解得,
∴Q(,),
∵点P在线段AB上,
∴-3≤≤1,
即-6≤n≤2,
∴S△CPQ=S△CPA-S△QPA=×(1-)×4-×(1-)×(-)=-(n+2)2+2,
∵-<0,-6≤n≤2,
∴当n=-2时,S△CPQ取得最大值,最大值为2,此时点P的坐标为(-1,0).
4. 解:(1)令y=-x2-4x+5中y=0,得-x2-4x+5=0,
解得x1=-5,x2=1,
∴A(-5,0),B(1,0).
令x=0,得y=5,
∴C(0,5),
设直线AC的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将A(-5,0),C(0,5)的坐标代入,
得,解得,
∴直线AC的函数解析式为y=x+5;
(2)设点P的坐标为(m,-m2-4m+5),
∵A(-5,0),C(0,5),
∴AC2=50,CP2=(m-0)2+(-m2-4m+5-5)2=m2+(-m2-4m)2,AP2=(m+5)2+(-m2-4m+5)2.
∵PC⊥AC,
∴∠PCA=90°,∴AC2+CP2=AP2,
∴50+m2+(-m2-4m)2=(m+5)2+(-m2-4m+5)2,解得m=-3或m=0(舍去),
∴P(-3,8).
设直线OP的解析式为y=k1x(k1≠0),将P(-3,8)的坐标代入,
得8=-3k1,∴k1=-,
∴直线OP的解析式为y=-x.
令-x=x+5,解得x=-,
∴D(-,),
∴S△PAD=S△PAO-S△DAO=×5×(8-)=.
5. (1)∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(-1,0),与y轴交于点C(0,2),
∴将点A(-1,0),C(0,2)代入抛物线y=ax2+x+c中,
得,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2,
令y=0,解得x=-1或x=4,
∴点B的坐标为(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将点B,C的坐标代入,
得,解得,
∴直线BC的函数解析式为y=-x+2;
(2)如解图,连接AC,
∵A(-1,0),B(4,0),C(0,2),
∴OA=1,OB=4,OC=2,AB=5,
∴在Rt△OAC中,AC===,在Rt△OCB中,BC===2,
∴AC2+BC2=()2+(2)2=25=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
又∵∠AEC=45°,
∴CE=AC=,
∴S△ABC=AB·OC=×5×2=5,S△ACE=AC·CE=××=,
①如解图①,当点E在线段BC上时,
S△ABE=S△ABC-S△ACE=5-=;
②如解图②,当点E在线段BC的延长线上时,
S△ABE=S△ABC+S△ACE=5+=,
∴△ABE的面积为或;
图①
图②
第5题解图
(3)如解图③,过点B作BG⊥AD于点G,过点D作DI∥y轴,交直线BC于点I,过点A作AH∥y轴,交直线BC于点H,则DI∥AH,
∴△EDI∽△EAH,∴=,
∵A(-1,0),
将x=-1代入y=-x+2中,得y=-×(-1)+2=,
∴点H的坐标为(-1,),
∴AH=,
∵点D在第一象限的抛物线上,
∴设D(m,-m2+m+2),则I(m,-m+2)(0<m<4),
∴DI=(-m2+m+2)-(-m+2)=-m2+2m,
∴=====-m2+m=-(m-2)2+,
∵-<0,
∴当m=2时,的最大值为.
第5题解图③
类型三 二次函数与特殊图形存在性有关问题
一阶 设问突破
例 解:(1)∵抛物线的解析式为y=x2-x-4,
∴当y=0时,x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=4,
∵点A在点B的左侧,
∴A(-2,0),B(4,0),
当x=0时,y=-4,∴C(0,-4).
∴OA=2,OC=4,
∴由勾股定理得AC==2.
∴当△ACD是等腰三角形时,分以下三种情况:
①当AD=AC时,如解图①,点D位于点D1或D2处,此时AD=AC=2,
∴点D1的坐标为(-2-2,0),点D2的坐标为(2-2,0);
②当CD=AC时,如解图①,点D位于点D3处,
∵OC⊥AD3,∴OA=OD3=2,
∴点D3的坐标为(2,0);
③当AD=CD时,如解图①,点D位于点D4处,
设点D4的坐标为(a,0),则AD4=a+2,CD4=,
∴a+2=,解得a=3,
∴点D4的坐标为(3,0).
综上所述,点D的坐标为(-2-2,0)或(2-2,0)或(2,0)或(3,0);
例题解图①
(2)由(1)得A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),
∴OA=2,OB=OC=4,
∴∠OBC=45°,
设点P的坐标为(n,n2-n-4),
当∠PAB=∠ABC时,分以下两种情况:
①当点P在x轴上方时,如解图②,过点A作AP1∥BC交抛物线于点P1,过点P1作P1Q1⊥x轴于点Q1,
∴∠P1AB=∠ABC=45°,此时点P位于点P1处,
∴P1Q1=AQ1,
∵AQ1=OA+OQ1=2+n,P1Q1=n2-n-4,
∴n2-n-4=2+n,解得n=-2(舍去)或n=6,
当n=6时,n2-n-4=8,
∴点P1的坐标为(6,8);
②当点P在x轴下方时,如解图②,过点A作AP2⊥BC交抛物线于点P2,过点P2作P2Q2⊥x轴于点Q2,
同理可得AQ2=2+n,P2Q2=-(n2-n-4),
∵∠P2AB=∠ABC=45°,
∴AQ2=P2Q2,
∴2+n=-(n2-n-4),解得n=-2(舍去)或n=2,
当n=2时,n2-n-4=-4,
∴点P2的坐标为(2,-4).
综上所述,点P的坐标为(6,8)或(2,-4);
例题解图②
(3)存在.
由(1)知B(4,0),C(0,-4),
∴OC=4,
以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,分以下两种情况:
①当BC为平行四边形的边时,如解图③,点E位于点E1或E2或E3处,点F相应的位于点F1或F2或F3处,
∵四边形BCF1E1为平行四边形,
∴BC∥E1F1,BC=E1F1,
∵点F1在x轴上,
∴点E1到x轴的距离为4,
令y=4,即x2-x-4=4,
解得x1=1+(舍去),x2=1-,
∴点E1的坐标为(1-,4),
同理可得点E2的坐标为(1+,4),
∵B(4,0),C(0,-4),
∴由平移的性质得点F1的坐标为(-3-,0),点F2的坐标为(-3,0);
∵四边形BCE3F3为平行四边形,
∴BF3∥CE3,BF3=CE3,
∴点E3与点C关于直线x=-=1对称,
∴=1,解得xE=2,
∴点E3的坐标为(2,-4),
∴CE3=2,
∴OF3=OB+CE3=6,
∴点F3的坐标为(6,0);
②当BC为平行四边形的对角线时,如解图③,点E位于点E4处,点F相应的位于点F4处,连接E4F4交BC于点G,
∵四边形BE4CF4为平行四边形,
∴点G为BC,E4F4的中点,
∴=2,=-2,
∴点G的坐标为(2,-2),
∵BF4∥CE4,∴点E4与点E3重合,
∴E4(2,-4),
∴=2,解得xF=2,
∵点F在x轴上,∴点F4的坐标为(2,0).
综上所述,点F的坐标为(-3-,0)或(-3,0)或(6,0)或(2,0);
例题解图③
(4)①存在.
∵抛物线的解析式为y=x2-x-4=(x-1)2-,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
设点M(1,t),则BM2=(1-4)2+(t-0)2=t2+9,CM2=(1-0)2+(t+4)2=t2+8t+17,BC2=(4-0)2+(0-4)2=32,
以点B,C,M为顶点的三角形为直角三角形时,分以下三种情况:
(i)当∠MBC=90°时,如解图④,点M位于点M1处,
由勾股定理得BC2+BM2=CM2,即32+t2+9=t2+8t+17,解得t=3,∴点M1的坐标为(1,3);
(ii)当∠MCB=90°时,如解图④,点M位于点M2处,
由勾股定理得BC2+CM2=BM2,即32+t2+8t+17=t2+9,解得t=-5,
∴点M2的坐标为(1,-5);
(iii)当∠BMC=90°时,如解图⑤,点M位于点M3或点M4处,
由勾股定理得BM2+CM2=BC2,即t2+9+t2+8t+17=32,解得t1=-2-,t2=-2,
∴点M3的坐标为(1,-2),点M4的坐标为(1,-2-).
综上所述,点M的坐标为(1,3)或(1,-5)或(1,-2)或(1,-2-);
图④
图⑤
例题解图
②存在.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴M(1,0),
由(1)知B(4,0),C(0,-4),
∴BM2=(4-1)2=9,CM2=(1-0)2+(0+4)2=17,
设点Q的坐标为(m,n),
则BQ2=(4-m)2+n2,
CQ2=m2+(-4-n)2,
当△BCQ与△BCM全等时,
分两种情况:
(i)当BM=BQ,CM=CQ,即△BCM≌△BCQ时,
BM2=BQ2,即9=(4-m)2+n2,
CM2=CQ2,即17=m2+(-4-n)2,解得m=1-n,
代入9=(4-m)2+n2得,n1=0,n2=-3,
∴m1=1,m2=4,
∵点Q不与点M重合,
∴点Q的坐标为(4,-3);
(ii)当BM=CQ,CM=BQ,即△BCM≌△CBQ时,
BM2=CQ2,即9=m2+(-4-n)2,
CM2=BQ2,即17=(4-m)2+n2,解得m=-n-1,
代入17=(4-m)2+n2得,n3=-1,n4=-4,
∴m3=0,m4=3,
∴点Q的坐标为(0,-1)或(3,-4).
综上所述,点Q的坐标为(4,-3)或(0,-1)或(3,-4);
③存在.
由(1)得A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),AC=2,
设BC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),
将B(4,0),C(0,-4)分别代入,
得,解得,
∴BC所在直线的解析式为y=x-4,
当x=1时,y=-3,
∴点M的坐标为(1,-3),
∵OB=OC=4,∴BC=4,
同理易得BM=3,
当△BMN与△ABC相似时,
分以下两种情况:
(i)当△BMN∽△BCA时,如解图⑥,点N位于点N1处,
∴=,
∵BA=OA+OB=6,
∴=,解得BN1=,
∴ON1=BN1-OB=,
∴点N1的坐标为(-,0);
(ii)当△BMN∽△BAC时,如解图⑥,点N位于点N2处,
∴=,
∴=,解得BN2=4,
∴BN2=OB,此时点N2与点O重合,
∴点N2的坐标为(0,0).
综上所述,点N的坐标为(-,0)或(0,0).
例题解图⑥
二阶 综合训练
1. 解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(5,0),B(-1,0),
∴二次函数的解析式可设为y=a(x-5)(x+1)=a(x2-4x-5),
将点C(0,-5)代入,
得-5a=-5,解得a=1,
∴二次函数的解析式为y=x2-4x-5;
(2)存在.
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点A,C代入,得,解得,
∴直线AC的解析式为y=x-5,
设点P(t,t2-4t-5),则点Q(t,t-5),
∴PQ2=(-t2+5t)2,PC2=t2+(t2-4t)2,CQ2=2t2,
当PQ=CQ时,△CPQ为等腰三角形,
PQ2=CQ2,即(-t2+5t)2=2t2,解得t=0(舍去)或5-或5+(舍去);
当PQ=PC或PC=CQ时,△CPQ为等腰三角形,
PQ2=PC2,即(-t2+5t)2=t2+(t2-4t)2,解得t=0(舍去)或t=4,PC2=CQ2,
t2+(t2-4t)2=2t2,
解得t=0(舍去)或t=3或t=5(舍去).
综上所述,存在实数t,使△CPQ为等腰三角形,t的值为5-或3或4.
2. 解:(1)令4x-12=2x2-8x+6,解得x1=x2=3,
∴当x=3时,4x-12=2x2-8x+6=0,
∴y=ax2+bx+c的图象必过点(3,0),
又∵y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),
∴
解得
∴y=ax2-2ax-3a,
又∵4x-12≤ax2+bx+c,
∴ax2-2ax-3a≥4x-12,即ax2-2ax-4x+12-3a≥0,
∴a>0且b2-4ac≤0,∴(2a+4)2-4a(12-3a)≤0,
∴(a-1)2≤0,∵(a-1)2≥0,
∴a=1,
∴b=-2,c=-3,
∴二次函数的解析式y=x2-2x-3;
(2)存在.
由(1)可知A(3,0),C(0,-3),设M(m,m2-2m-3),N(n,0),
分情况讨论:
①如解图①,当AC为对角线时,
此时,
即
解得m1=0(舍),m2=2,
∴n=3-m=1,即N1(1,0);
②如解图②,当AM为对角线时,
此时,
即
解得m3=0(舍),m4=2,
∴n=5,即N2(5,0);
③如解图③,当AN为对角线时,
此时,
即
解得m5=1+,m6=1-,
∴n=-2或n=-2-,
∴N3(-2,0),N4(-2-,0).
综上所述,满足条件的点N的坐标为(1,0)或(5,0)或(-2,0)或(-2-,0).
图①
图②
图③
第2题解图
3. 解:(1)∵抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3,
令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∵点A在点B的左侧,∴A(-1,0),B(3,0),
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
(2)如解图①,∵∠AOC=∠COP=90°,
∴当以C,O,P为顶点的三角形与△AOC相似时,分两种情况:
①当∠ACO=∠P1CO时,
∵OC=OC,∴△ACO≌△P1CO,故不符合题意;
②当∠ACO=∠CP2O时,△ACO∽△CP2O,此时=,
∵A(-1,0),∴AO=1,
∵C(0,3),∴CO=3,∴=,
解得P2O=9,∴t的值为3;
第3题解图①
(3)存在.
设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0),
将B(3,0),C(0,3)分别代入得,解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵点Q是直线BC上一点,
∴设点Q的坐标为(m,-m+3).
∵点D是抛物线对称轴与x轴的交点,
∴点D的横坐标为x=-=1,
∴D(1,0),
∴CD2=10,CQ2=m2+[3-(-m+3)]2=2m2,DQ2=(m-1)2+(-m+3)2=2m2-8m+10.
∵∠DCQ≠90°,∴要使以C,D,Q为顶点的三角形是直角三角形,分两种情况讨论:
①当∠CQD=90°时,如解图②,由勾股定理可得,CQ2+DQ2=CD2,
即2m2+2m2-8m+10=10,整理得m2-2m=0,解得m1=0(舍去),m2=2,
∴-m+3=1,∴Q(2,1);
②当∠CDQ=90°时,如解图③,由勾股定理可得,CD2+DQ2=CQ2,
即10+2m2-8m+10=2m2,整理得5-2m=0,解得m=,
∴-m+3=,∴Q(,).
综上所述,存在点Q使得以C,D,Q为顶点的三角形是直角三角形,点Q的坐标为(2,1)或(,).
第3题解图
展开更多......
收起↑