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微专题49 代数推理试题
1. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是（　　）
A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“”表示5
C. 运算结果小于6 000 D. 运算结果可以表示为4 100a＋1 025
第1题图
2. 若k为任意整数，则（2k＋3）2－4k2的值总能（　　）
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
3. 在多项式x－y－z－m－n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”.
例如：x－y－｜z－m｜－n＝x－y－z＋m－n，｜x－y｜－z－｜m－n｜＝x－y－z－m＋n，….
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. （2024德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任何两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圆的数字a，b，你认为a可以是　　　　（填上一个数字即可）.
第4题图
5. （2024内江）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”.若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝ 　　　　.
6. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.
（1）填空：
①101－（1＋0＋1）＝　　　　＝　　　　×11；
②232－（2＋3＋2）＝　　　　＝　　　　×25；
③555－（5＋5＋5）＝　　　　＝　　　　×60；
（2）小红观察（1）后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除.请你再任意写出另外两个“对称数”，并通过计算验证小红的猜想；
（3）设为一个对称数，请你通过计算和推理说明小红的猜想是正确的.
7. （2024凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
第7题图
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　　　　，前15行的点数之和为 　　　　，那么，前n行的点数之和为 　　　　.
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和　　　　 （填“能”或“不能”）为500.
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆…第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
8. （2024福建）已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝，mn＝.
（1）求证：b2－12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由.
1. D　【解析】如解图，由题意得，A＝5，B＝1，C＝4，D＝2，E＝8，F＝a，G＝4a，∴K＝5，H＝22，I＝8＋a，J＝4a.∴运算结果可以表示为：1 000(4a＋1)＋100a＋25＝4 100a＋1 025.
第1题解图
2. B　【解析】(2k＋3)2－4k2＝4k2＋12k＋9－4k2＝12k＋9＝3(4k＋3)，∵k为任意整数，∴(2k＋3)2－4k2的值总能被3整除.
3. C　【解析】｜x－y｜－z－m－n＝x－y－z－m－n，故说法①正确；要使其运算结果与原多项式之和为0，则运算结果应为－x＋y＋z＋m＋n，由x＞y＞z＞m＞n可知，无论怎样添加绝对值符号，结果都不可能出现－x＋y＋z＋m＋n，故说法②正确；当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是｜x－y｜－z－m－n＝x－y－z－m－n；x－｜y－z｜－m－n＝x－y＋z－m－n；x－y－｜z－m｜－n＝x－y－z＋m－n；x－y－z－｜m－n｜＝x－y－z－m＋n；当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是｜x－y｜－｜z－m｜－n＝x－y－z＋m－n；｜x－y｜－z－｜m－n｜＝x－y－z－m＋n；x－｜y－z｜－｜m－n｜＝x－y＋z－m＋n.共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意.
4. 1(或8)
5. 1 188或4 752　【解析】设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，(x是0到9的整数，y是0到8的整数)，∴m＝1 000(9－y)＋100(9－x)＋10y＋x＝99(100－10y－x)，∵m是四位数，∴99(100－10y－x)是四位数，即1 000≤99(100－10y－x)＜10 000，∵＝3(100－10y－x)，∴30≤3(100－10y－x)＜303，∵是完全平方数，∴3(100－10y－x)既是3的倍数也是完全平方数，∴3(100－10y－x)只有36，81，144，225这四种可能，∴是完全平方数的所有m值为1 188或2 673或4 752或7 425，∵m是偶数，∴m＝1 188或4 752.
6. 解：(1)①99，9；②225，9；③540，9；
(2)举例：363，363－(3＋6＋3)＝351＝9×39；
888，888－(8＋8＋8)＝864＝9×96；(答案不唯一)
(3)设＝100a＋10b＋a，
则：100a＋10b＋a－(a＋b＋a)
＝100a＋10b＋a－a－b－a
＝99a＋9b
＝9(11a＋b)，
∵9(11a＋b)能被9整除，
∴100a＋10b＋a－(a＋b＋a)能被9整除，
∴小红的猜想是正确的.
7. 解：(1)36，120，；
(2)不能；【解法提示】＝500，n为正整数，当n＝31时，＝496，n＝32时，＝528，故不能.
(3)摆放n排需要花数为2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋1)，n(n＋1)＝420，解得n＝20(负值已舍去)，
答：一共能摆放20排.
8. (1)证明：∵3m＋n＝，mn＝，
∴b＝a(3m＋n)，c＝amn.
则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn
＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn
＝a2(9m2－6mn＋n2)
＝a2(3m－n)2.
∵a，m，n是实数，
∴a2(3m－n)2≥0，
∴b2－12ac为非负数；
(2)解：m，n不可能都为整数.
理由：若m，n都为整数，其可能情况有：
①m，n都为奇数；
②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数.
①当m，n都为奇数时，则3m＋n必为偶数.
又∵3m＋n＝，∴b＝a(3m＋n).
∵a为奇数，
∴a(3m＋n)必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数.
又∵mn＝，∴c＝amn.
∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾.
综上所述，m，n不可能都为整数.

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