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第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：条件概率 4
知识点2：相互独立 4
知识点3：全概率公式 5
题型一：条件概率 7
题型二：相互独立事件的判断 7
题型三：相互独立事件概率的计算 9
题型四：相互独立事件概率的综合应用 10
题型五：全概率公式及其应用 13
题型六：贝叶斯公式及其应用 14
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 15
04真题练习·命题洞见 18
05课本典例·高考素材 19
06易错分析·答题模板 20
易错点：混淆互斥与独立 20
答题模板：求条件概率 21
考点要求 考题统计 考情分析
（1）条件概率 （2）相互独立 （3）全概率公式 2024年天津卷第13题，5分 2024年II卷第18题，17分 2023年甲卷（理）第6题，5分 2022年乙卷（理）第10题，5分 2022年I卷第20题，12分 本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．全概率公式将会是一个新的出题点，思维难度会略大．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．
复习目标： （1）了解两个事件相互独立的含义． （2）理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
知识点1：条件概率
（一）定义
一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
（二）性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
【诊断自测】（2024·江西九江·二模）将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ．
知识点2：相互独立
（一）相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
（二）事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
【诊断自测】（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
知识点3：全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
【诊断自测】若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型一：条件概率
【典例1-1】袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 .
【典例1-2】对于随机事件，若，，，则 .
【方法技巧】
用定义法求条件概率的步骤
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算，；
（3）代入公式求．
【变式1-1】从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示）
【变式1-2】（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 .
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）甲乙二人同时向某个目标射击一次．甲命中的概率为，乙命中的概率为，且两人是否命中目标互不影响．若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为 ．
【变式1-4】（2024·湖南益阳·一模）在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为 .
题型二：相互独立事件的判断
【典例2-1】（2024·江苏·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．互斥 D．相互独立
【典例2-2】（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【方法技巧】
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件，相互独立 ．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
【变式2-1】考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ）
A．若，则A与B相互独立 B．
C． D．A与B有可能是对立事件
【变式2-3】抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，事件与事件不独立
C．当时， D．当时，事件与事件不独立
【变式2-4】（2024·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）．
A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立
C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
题型三：相互独立事件概率的计算
【典例3-1】（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 .
【典例3-2】（2024·山东济宁·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 .
【方法技巧】
（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的．
②求出每个事件的概率，再求积．
（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
【变式3-1】（2024·辽宁·二模）某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为 .
【变式3-2】（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑 白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为 .
【变式3-3】（2024·江西南昌·二模）一次知识竞赛中，共有五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）. 已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为 .
【变式3-4】（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示）
题型四：相互独立事件概率的综合应用
【典例4-1】（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.
【典例4-2】（2024·浙江·二模）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．
(1)求五张卡片上的数字都不相同的概率；
(2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．
【方法技巧】
1、求复杂事件的概率一般可分三步进行
（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理．
【变式4-1】（2024·陕西铜川·三模）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲 乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.甲 乙获得冠军的概率分别记为.
(1)求甲教师总得分为0分的概率；
(2)判断甲 乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲 乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别.）.
【变式4-2】（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手与选手相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．
(1)求甲在第3局中获胜的概率；
(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．
【变式4-4】（2024·新疆·二模）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；
(2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．
①判断为何值时，最大；
②记，求．
题型五：全概率公式及其应用
【典例5-1】（2024·高三·上海·开学考试）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 .
【典例5-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ．
【方法技巧】
全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
【变式5-1】（2024·江苏南京·模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为 ．
【变式5-2】（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ．
【变式5-3】（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 .
【变式5-4】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则
题型六：贝叶斯公式及其应用
【典例6-1】托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 .
【方法技巧】
1、利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．
【变式6-1】（2024·高三·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
【变式6-2】（2024·浙江·二模）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·天津·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ．
【变式6-4】随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾 坐公交车 骑共享单车三种，某天早上他选择自驾 坐公交车 骑共享单车的概率分别为，而他自驾 坐公交车 骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 .
【变式6-5】（2024·高三·浙江·开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ．
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【典例7-1】（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：
(1)当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；
(2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.
【典例7-2】假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌，，，这里表示被检验者患有肝癌这一事件，表示判断被检验者患有肝癌这一事件．又设在自然人群中．现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
【方法技巧】
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式．
【变式7-1】在数字通信中，由于存在随机干扰，因此接收到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率，下面只讨论一种比较简单的模型——二进位信道．若发报机分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（譬如分别用低电平与高电平表示），由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不一定收到0，而是分别以概率0.8和0.2收到0和1；同样地，当发报机发出信号1时，接收机分别以概率0.9和0.1收到信号1和0．计算当接收机收到信号0时，发报机发出信号0的概率．
【变式7-2】某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
(1)求学生小杰获得奖品的概率；
(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
(3)求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
【变式7-3】（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
【变式7-4】（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲 乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为.
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
【变式7-5】（2024·湖南·二模）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.
(1)若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；
(2)因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.
1．（2024年上海市1月春考数学试题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
3．（2021年全国新高考I卷数学试题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
1．分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．
：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件“两枚都正面朝上”．
：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件“命中两次目标”．
：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件“两次都摸到红球”
(1)用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；
(2)指出这三个试验的共同特征和区别；
(3)分别求A，B，C的概率．
2．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立．
（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
8．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
易错点：混淆互斥与独立
易错分析： 相互独立事件的独立性，在统计学上被称作“统计独立性”，这种独立性是基于事件的“概率”来定义的。重要的是要理解，一个事件对另一个事件“发生的概率”没有影响，并不意味着它对“事件本身”没有影响。在判断两个事件是否相互独立时，必须依据它们的概率计算来进行判断，而不能仅仅依靠直观感觉或表面现象。简而言之，要确定事件间的独立性，概率分析是关键，直观判断可能误导。
【易错题1】抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为5；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【易错题2】若古典概型的样本空间，事件，，则（ ）
A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立
答题模板：求条件概率
1、模板解决思路
条件概率是求解在某一事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率。解决条件概率问题的思路主要包括以下几步：首先，明确题目中给出的所有事件以及它们之间的关系；其次，根据条件概率的定义；最后，将已知的概率值代入公式进行计算，得出条件概率的结果。这一过程中，需要注意事件的独立性和互斥性，以及如何利用这些性质简化计算。
2、模板解决步骤
第一步：求出事件发生的概率．
第二步：求出事件与事件同时发生的概率．
第三步：利用公式求得条件概率．
【经典例题1】“端午节”是我国四大传统节日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，其民间活动也是丰富多彩，有赛龙舟、凤舟、吃粽子、饮雄黄、悬艾叶、驱五毒等等．某市为迎接端午，组织各式活动，其中赛龙舟竞争最为激烈，最终两队争夺赛事第一，若夺标赛为“三局两胜制”，甲队在每局比赛中获胜的概率为，且每场比赛结果相互独立，则在甲队获得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为 ．
【经典例题2】已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：条件概率 4
知识点2：相互独立 5
知识点3：全概率公式 6
题型一：条件概率 7
题型二：相互独立事件的判断 10
题型三：相互独立事件概率的计算 13
题型四：相互独立事件概率的综合应用 16
题型五：全概率公式及其应用 22
题型六：贝叶斯公式及其应用 25
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 30
04真题练习·命题洞见 35
05课本典例·高考素材 37
06易错分析·答题模板 41
易错点：混淆互斥与独立 41
答题模板：求条件概率 42
考点要求 考题统计 考情分析
（1）条件概率 （2）相互独立 （3）全概率公式 2024年天津卷第13题，5分 2024年II卷第18题，17分 2023年甲卷（理）第6题，5分 2022年乙卷（理）第10题，5分 2022年I卷第20题，12分 本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．全概率公式将会是一个新的出题点，思维难度会略大．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．
复习目标： （1）了解两个事件相互独立的含义． （2）理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
知识点1：条件概率
（一）定义
一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
（二）性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
【诊断自测】（2024·江西九江·二模）将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ．
【答案】/
【解析】将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，
每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，且乙分配到社区，
基本事件总数，
在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区包含的基本事件个数，
在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为．
故答案为：．
知识点2：相互独立
（一）相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
（二）事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
【诊断自测】（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【解析】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个，
其中事件有，共12个，
事件有，共12个，事件有，共4个基本事件，
所以,
所以，故相互独立，
答选：C
知识点3：全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
【诊断自测】若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，
，
，
则.
故选：C
题型一：条件概率
【典例1-1】袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 .
【答案】 / /
【解析】两次都摸到红球的概率为，
第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出.
故答案为：；
【典例1-2】对于随机事件，若，，，则 .
【答案】
【解析】，又，
所以，
因为，所以.
故答案为：
【方法技巧】
用定义法求条件概率的步骤
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算，；
（3）代入公式求．
【变式1-1】从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】记事件第一次抽到，事件第二次抽到，
则，，
因此，.
故答案为：.
【变式1-2】（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 .
【答案】
【解析】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”，
,,
所以.
设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，
事件表示“抽到红球”，则
,
所以,
所以.
故答案为：①，②.
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）甲乙二人同时向某个目标射击一次．甲命中的概率为，乙命中的概率为，且两人是否命中目标互不影响．若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为 ．
【答案】
【解析】事件记为目标恰被击中一次，则，
事件记为甲命中目标，则
若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为,
故答案为：.
【变式1-4】（2024·湖南益阳·一模）在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为 .
【答案】
【解析】a获得冠军，第一轮中必须胜出，概率为，
由题意可得，第二轮比赛中可以分两种情况，胜，概率为，然后胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为；
第二种情况为胜，概率为，然后胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为；
由分类原理可得a获得冠军的概宰为，
故答案为：.
题型二：相互独立事件的判断
【典例2-1】（2024·江苏·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．互斥 D．相互独立
【答案】D
【解析】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错；
对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错；
对于C: 时，A,B同时发生，所以C错；
对于D: ，则相互独立，所以D正确.
故选：D
【典例2-2】（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】D
【解析】依题意得，，，故A项错误；
，，故B项错误；
，故C项错误；
，，故D项正确.
故选：D.
【方法技巧】
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件，相互独立 ．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
【变式2-1】考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】与独立，则，
即，
.
即，故“与独立.反之亦然.
故选：A.
【变式2-2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ）
A．若，则A与B相互独立 B．
C． D．A与B有可能是对立事件
【答案】A
【解析】对A：由，故，则有，
故与相互独立，故与相互独立，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，由未定，故C错误；
对D：，故与不是对立事件，故D错误.
故选：A.
【变式2-3】抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，事件与事件不独立
C．当时， D．当时，事件与事件不独立
【答案】D
【解析】当时，表示一正一反，故，故A正确；
此时，，
，故B正确；
当时，表示并非每次都是正面朝上，
故，故C正确；
此时，，
，所以，故D错误.
故选：D.
【变式2-4】（2024·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）．
A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立
C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】A
【解析】由题意得，甲，乙，丙， 丁.
对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确；
对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确；
对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确；
对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确.
故选：A.
题型三：相互独立事件概率的计算
【典例3-1】（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 .
【答案】 / /
【解析】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数，
事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上，
事件为3次结果中最多一次正面向上，
则；
.
故答案为：；.
【典例3-2】（2024·山东济宁·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 .
【答案】/0.5
【解析】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，
显然事件与互斥，，，
所以.
故答案为：
【方法技巧】
（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的．
②求出每个事件的概率，再求积．
（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
【变式3-1】（2024·辽宁·二模）某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为 .
【答案】/
【解析】设在200米比赛中获奖为事件，在100米比赛中获奖为事件，
则,
所以，
则,
所以该运动员在100米比赛中获奖，在200米比赛中也获奖的概率是.
故答案为：.
【变式3-2】（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑 白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为 .
【答案】7
【解析】由题意可知的二维码共有个，
由可得，故，
由于，所以，
故答案为：7
【变式3-3】（2024·江西南昌·二模）一次知识竞赛中，共有五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）. 已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为 .
【答案】
【解析】甲抽中前三题按题型概率不同有四种组合：
抽中，剩余一题为三题中的任意一题，且全部答对，则概率为：
；
抽中，且全部答对，则概率为：
；
抽中A，剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为：
；
抽中B，剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为：
.
所以甲前3个题全答对的概率为.
故答案为：.
【变式3-4】（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示）
【答案】
【解析】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则；
设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，
根据题意得，，，，
则，
所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为.
故答案为：；.
题型四：相互独立事件概率的综合应用
【典例4-1】（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.
【解析】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
所以需要下第四场比赛的概率为
（2）由题意，最终小金获胜的情况如下，
当小金第一场轮空，
第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时，
第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时，
则小金获胜，
当小金第一场不轮空，
第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时，
第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时，
第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时，
所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为，
同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为，
故小金获胜概率为
（3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则，
结合（2）知，
法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为，
第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为，
【典例4-2】（2024·浙江·二模）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．
(1)求五张卡片上的数字都不相同的概率；
(2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．
【解析】（1）．
（2）记为这五张卡片上最大的数字，则．
由，
由，
所以这五张卡片上最大的数字最可能是5.
【方法技巧】
1、求复杂事件的概率一般可分三步进行
（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理．
【变式4-1】（2024·陕西铜川·三模）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲 乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.甲 乙获得冠军的概率分别记为.
(1)求甲教师总得分为0分的概率；
(2)判断甲 乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲 乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别.）.
【解析】（1）甲教师总得分为0分，
甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项.
所求概率为.
（2）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为，
则教师甲获得冠军的概率
，
则教师乙获得冠军的概率，
，
，
甲 乙获得冠军的实力没有明显差别.
【变式4-2】（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手与选手相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
【解析】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3；
（2）设事件“选手与选手相遇”，
当对战为时，，两选手相遇的概率为1；
当对战为时，，两选手相遇的概率为；
当对战为时，，两选手相遇的概率为；
抽到三种对战的概率均为，则.
综上可知选手与选手相遇的概率为.
（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则
采用方案一，假设分组为，
第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：，
第一轮选手获胜，第二轮获胜：，
第一轮选手获胜，第二轮获胜：，
第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜，
所以；
采用方案二：假设分组为，
第一轮选手获胜，第二轮获胜：，
第一轮选手获胜，第二轮获胜：，
第一轮选手获胜，第二轮获胜：，
第一轮选手获胜，第二轮获胜：，
则，所以，
因此方案一种子选手夺冠的概率更大.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．
(1)求甲在第3局中获胜的概率；
(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．
【解析】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜，
所以甲在第3局中获胜的概率；
（2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）．
方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为，
前三局的情况有：
胜胜负，概率；
胜负胜，概率；
负胜胜，概率．
再继续比赛，第4局甲获胜的概率
，
第4局甲失败的概率，
所以甲拿到奖金的期望（万元）．
因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高．
【变式4-4】（2024·新疆·二模）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；
(2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．
①判断为何值时，最大；
②记，求．
【解析】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为，
所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为.
（2）①由已知服从二项分布，所以，
由，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
综上，当时，最大.
②因为，所以或，
当时，，
，
当时，，
，
.
题型五：全概率公式及其应用
【典例5-1】（2024·高三·上海·开学考试）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 .
【答案】/
【解析】由题意可知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05、0.04、0.03和0.02，
设“任取一件产品，结果是不合格品”，
“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，，
根据已知题意得，，
，
，
，
，，，，
根据全概率公式可得
.
故答案为：.
【典例5-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ．
【答案】 /
【解析】根据题意，从这个8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是；
设“取出甲盒”为事件，“取出乙盒”为事件，“取到的球是白球”为事件，
则
.
所以从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是.
故答案为：；.
【方法技巧】
全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
【变式5-1】（2024·江苏南京·模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为 ．
【答案】6
【解析】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，
则，
可得
，
解得，则的最大值为6．
故答案为：6.
【变式5-2】（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ．
【答案】 /0.25
【解析】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则
依题意，，则
，
即，(*)
因代入解得，，；
由（*）可得，，且，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是，，则得，.
故答案为：；.
【变式5-3】（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 .
【答案】
【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
推导的分布列：
，，，
则
，
则，
故
给合，可知.
故答案为： ;.
【变式5-4】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则
【答案】
【解析】由题意可知，由全概率公式可得，，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
故答案为： ．
题型六：贝叶斯公式及其应用
【典例6-1】托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，
则，，，
所以，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，
故选：C．
【典例6-2】某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 .
【答案】
【解析】设下午打篮球为事件，晚上跑步为事件，易知，，
∴，
∴.
故答案为：
【方法技巧】
1、利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．
【变式6-1】（2024·高三·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
【答案】
【解析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
【变式6-2】（2024·浙江·二模）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】余额恰好成等差数列，即，
其中第天存入元的是，
故所求概率为.
故选：A
【变式6-3】（2024·天津·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ．
【答案】 /0.4
【解析】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，，
故，
即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；
设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，
则，，
，，
所以
，
所以，
即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.
故答案为：；
【变式6-4】随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾 坐公交车 骑共享单车三种，某天早上他选择自驾 坐公交车 骑共享单车的概率分别为，而他自驾 坐公交车 骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 .
【答案】
【解析】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，
事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”，
则.
由全概率公式可得小明这一天迟到的概率：
.
解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得
他自驾去上班的概率是.
解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率.
故答案为：；.
【变式6-5】（2024·高三·浙江·开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ．
【答案】
【解析】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，
事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
则；
，
小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，
法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，
故答案为：．
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【典例7-1】（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：
(1)当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；
(2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.
【解析】（1）记“传送信号0”， “传送信号1”， “接收信号0”.
可知，，，，
由贝叶斯公式得所求的概率为：
，
即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为.
（2）在一次传送中，接收到0的概率为，
每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，
所以.
【典例7-2】假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌，，，这里表示被检验者患有肝癌这一事件，表示判断被检验者患有肝癌这一事件．又设在自然人群中．现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
【解析】由题意，此人真正患有肝癌的概率为．由贝叶斯公式，
得.
【方法技巧】
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式．
【变式7-1】在数字通信中，由于存在随机干扰，因此接收到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率，下面只讨论一种比较简单的模型——二进位信道．若发报机分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（譬如分别用低电平与高电平表示），由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不一定收到0，而是分别以概率0.8和0.2收到0和1；同样地，当发报机发出信号1时，接收机分别以概率0.9和0.1收到信号1和0．计算当接收机收到信号0时，发报机发出信号0的概率．
【解析】信号发出与接收的关系如图所示，记为事件“发报机发出信号0”，为事件“发报机发出信号1”，为事件“接收机接到信号0”，
则我们要求的是．
由于，，，，
用贝叶斯公式，得
．
【变式7-2】某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
(1)求学生小杰获得奖品的概率；
(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
(3)求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
【解析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，.
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
（3）由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为.
【变式7-3】（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
【解析】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则，，，
由全概率公式得：
.
（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率，
该球取自乙箱的概率，
因为，所以该球取自乙箱的可能性更大.
【变式7-4】（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲 乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为.
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
【解析】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件.
则首次检验抽到合格品的概率
.
（2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
.
（3）将二次检验抽到合格品记为事件.
由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率，
则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率.
.
从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下：
①若选择方案一，则，.
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率.
所以在方案一下，检验通过的概率；
②若选择方案二，则，.
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率.
所以在方案二下，检验通过的概率.
而，故选择方案一检验通过的概率更大.
【变式7-5】（2024·湖南·二模）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.
(1)若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；
(2)因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.
【解析】（1）设“抽的产品是优秀等级”， “产品是从甲工厂生产”，
“产品是从乙工厂生产”，“产品是从丙工厂生产”，
则，，
则
，
则.
所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为.
（2）依题意，设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为，
则，
由题意可知，
则，
则的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
故.
1．（2024年上海市1月春考数学试题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立
【答案】B
【解析】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，，
，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，，，，
，
与不独立，故D错误．
故选：B．
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【解析】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选:.
3．（2021年全国新高考I卷数学试题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】 ，
故选：B
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【答案】A
【解析】记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.
考点：条件概率．
1．分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．
：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件“两枚都正面朝上”．
：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件“命中两次目标”．
：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件“两次都摸到红球”
(1)用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；
(2)指出这三个试验的共同特征和区别；
(3)分别求A，B，C的概率．
【解析】（1）中用有序数对，表示样本点，
其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其样本空间为；
中用有序数对，表示样本点，
其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其样本空间为；
中用有序数对，表示样本点，
其中“0”表示摸到红球，“1”表示摸到黄球反面朝上，其样本空间为；
（2）三个实验的共同特征：完成一次实验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果，
所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式；
三个试验的区别：中的样本点具有等可能性， ，中的样本点不具有等可能性.
（3）因为基本事件共有4个，
所以两枚都正面朝上.
因为每次命中目标的概率为0.6；
所以命中两次目标的概率为：，
因为是从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；
所以两次都摸到红球的概率是.
2．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立．
【解析】设事件，,
则
则,
满足，
由于,,
即与, 与,与都不相互独立，即不满足A，B，C两两独立
3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求；
(1)两人都成功破译的概率；
(2)密码被成功破译的概率．
【解析】（1）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，
则，，
所以.
则两人都成功破译的概率为.
（2）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，“密码被成功破译”的事件为，，，
则事件的对立事件的概率，事件的对立事件的概率，
则甲乙两人都没有成功破译密码的概率
所以.
则密码被成功破译的概率为.
4．证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？
【解析】因为，
所以；
所以.
5．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本母本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？
【解析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，
则，，.
在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为.
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为的概率是.
6．一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.
【解析】抽检第1件产品不合格的概率为，
抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为，
所以这批产品被拒绝的概率为.
7．在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
【解析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由条件概率公式可得.
8．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
【解析】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
故从甲箱中摸到红球的概率为；
对于D，因为，，，
所以事件与事件相互独立，故正确.
故选：D.
【易错题2】若古典概型的样本空间，事件，，则（ ）
A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立
【答案】D
【解析】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误；
事件，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误；
，，，
，所以事件A与B相互独立，D选项正确.
故选：D.
答题模板：求条件概率
1、模板解决思路
条件概率是求解在某一事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率。解决条件概率问题的思路主要包括以下几步：首先，明确题目中给出的所有事件以及它们之间的关系；其次，根据条件概率的定义；最后，将已知的概率值代入公式进行计算，得出条件概率的结果。这一过程中，需要注意事件的独立性和互斥性，以及如何利用这些性质简化计算。
2、模板解决步骤
第一步：求出事件发生的概率．
第二步：求出事件与事件同时发生的概率．
第三步：利用公式求得条件概率．
【经典例题1】“端午节”是我国四大传统节日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，其民间活动也是丰富多彩，有赛龙舟、凤舟、吃粽子、饮雄黄、悬艾叶、驱五毒等等．某市为迎接端午，组织各式活动，其中赛龙舟竞争最为激烈，最终两队争夺赛事第一，若夺标赛为“三局两胜制”，甲队在每局比赛中获胜的概率为，且每场比赛结果相互独立，则在甲队获得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为 ．
【答案】
【解析】由题可得，“甲获得冠军的概率”记为事件，则，
“甲、乙两队进行了3局比赛”记为事件，则，
故甲获得冠军的条件下，甲、乙两队比赛进行了3局的概率为．
故答案为：.
【经典例题2】已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 .
【答案】
【解析】令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯”
则，于是，
所以所求概率为.
故答案为：
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