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重难点突破02 活用隐圆的五种定义妙解压轴题　
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 3
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 3
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 4
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 4
03 过关测试 6
活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。
解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为 ．
【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为 .
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
【典例3-1】已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为 .
【典例3-2】已知向量为单位向量，且，若满足，则的最大值是 .
【变式3-1】已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
，
【变式3-2】已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是 .
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 .
【典例4-2】设向量满足，，，则的最大值等于( )
A．4 B．2 C． D．1
【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形中，,和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为 ．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
5．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设向量，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ．
9．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为 ．
10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 ．则的最小值为 ．
11．（2024·山东日照·一模）已知向量满足，，则的最大值为 ．
12．若向量，且向量，满足，则的取值范围是 ．
13．如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是 ．
14．已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围为 ．
15．已知圆C：和两点，若圆C上存在点M，使得，则m的最小值为
16．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
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01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 5
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 8
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 10
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 12
03 过关测试 17
活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。
解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
，设，则，由得：，
令，即，
，其中锐角满足，
因此，当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：D
【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，设，则．
∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．
∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，
故选：C．
【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得，即.
故选：D
【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
时，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
时，也垂直，所以两直线始终垂直，
又P是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，
，
故选:D．
【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
【答案】B
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
因为，所以动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有，，
故（当且仅当时取“” ，
故选：C．
【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，动直线经过定点，则，
动直线变形得，则，
由得，
∴
，
故选：B．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】设点，由得： ，
即，即，
在以为直径的圆上，不妨设，，
则，，
，
，其中为辅助角，
令，，则，．
，
令，，，
在，上单调递增，
故当时，取得最小值，
再令，，
显然在，上单调递增，
故时，取得最小值，
综上，当，时，取得最小值25．
故的最小值为5,
故答案为：5．
【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为 ．
【答案】10
【解析】设 ，由题意可得： ，
则： ，
ABC构成三角形，则：，解得：，
由余弦定理：
，
当时，取得最大值为10.
【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，，，
，
当取得最小值时，取得最小值，
由圆，则圆心，半径，
易知，则.
故答案为：.
【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
由已知，，
设，，，
所以，
因为，所以当取得最小值时，取得最小值，
由的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
设点，则由，
得，
整理得，
即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
圆心M到点D的距离为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
【典例3-1】已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设，，，
以所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为，，与的夹角为，
所以，，设，
即，，，
所以，，
因为，所以，即，
圆心坐标为，半径，表示点到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为圆心到原点的距离为，所以.
故答案为：.
【典例3-2】已知向量为单位向量，且，若满足，则的最大值是 .
【答案】
【解析】向量为单位向量，且，
不妨设，令，
则，
即，它表示以为圆心，为半径的圆，
可知表示圆上的点到原点距离，故其最大值是.
故答案为：.
【变式3-1】已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】圆即为：，
其圆心为（3，4），半径为1，
设AB的中点为M，
因为点，，
所以M（0，0），
以AB为直径的圆的方程为：，
，
若圆上存在点，使得，
则圆C与圆M有公共点，即，
解得，
所以实数的最大值是6.
故选：C
【变式3-2】已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆： ，则半径为，，
如上图，对于直线上任意一点，
当均为圆的切线时最大，
由题意，即时，此时为满足题设条件的临界点，
此时有.
当在临界点之间移动时，有，即，
即有：，解得：.
故答案为：.
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 .
【答案】/
【解析】设，则由得，可得，
由得，
因此，表示圆上的点到直线上的点的距离；
故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.
故答案为：
【典例4-2】设向量满足，，，则的最大值等于( )
A．4 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】
因为，，所以,.
如图所以，设，则,,.
所以，所以，所以四点共圆.
不妨设为圆M，因为,所以.
所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.
所以当为圆M的直径时，取得最大值4.
故选：A.
【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形中，,和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，.
当在边上时，设，则；
当在边上时，设，则；
当在边上时，设，则；
当在边上时，设，则.
综上所述，实数的取值范围是.故选D.
【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为 ．
【答案】27
【解析】画出图像如下图所示，由于、为定值，故在以为弦的圆上运动，由正弦定理得，故圆心的坐标为，的最大值即为的值，也即是的值，由两点间的距离公式有.
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，此时，交点为.
当时，由，斜率为，
由，斜率为，，
综上，.
又， 直线恒过，
，直线恒过，
若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，
则圆心为的中点，圆的半径为，
故的轨迹方程为，
即，则有.
又，易知O、Q在该圆内，
又由题意可知圆上一点满足，取，
则，满足.
下面证明任意一点都满足，即，
，
又，
.
所以，
又，
所以，
如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立
即最小值为.
故选：A.
【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两方程可得：，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
故选：B.
【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，点M在圆上，取点，连接，有，
当点不共线时，，又，因此∽，
则有，当点共线时，有，则，
因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
【答案】B
【解析】设，由，得，化简得，故A正确；
当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；
设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错
误；
因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.
故选：C.
1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则 ，所以，
整理，得，，点M位于图中、的位置时，的值最小可得答案.设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，整理得：
，
比较两方程可得：，，，
即，，点，
当点M位于图中、的位置时，
的值最小，最小为.
故选：B.
3．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是单位向量，∴.
∵
且.
∴，又∵，
∴ (θ是与的夹角)．
又，
∴，
∴.
根据一元二次不等式的解法，
解得.
故选：D.
4．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如果圆上总存在两个点到原点的距离为2
则圆和圆相交，
又圆的圆心为，半径为
两圆圆心距，
由得，
解得，即．
故选：D．
5．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得动直线经过定点，
动直线经过定点，
且两条直线互相垂直，且相交于点，
所以，即，
由基本不等式可得，
即，可得，
故选：C.
6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，，
，，
，，
故选：B．
7．设向量，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，，
，又，，
设，，，则，，
又，，
、、、四点共圆，
当最大时，有，为该圆的半径，
由，所以，
在中，由正弦定理可得，
当且仅当是的平分线时，取等号，此时的最大值为圆的直径大小为.
故选：A．
8．（2024·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】由为圆上一动点，得，
由为圆上一动点，得，
又.
因为，所以，
于是.
当共线且时取得最小值，即.
所以，
当共线时等号成立.
故答案为：9．
9．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为
【答案】
【解析】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
故答案为：.
10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 ．则的最小值为 ．
【答案】 ；
【解析】设，由题意，即，整理得．
因为圆可以看作把圆向左平移两个单位得到的，那么点平移后变为，所以根据阿氏圆的定义，满足，
结合抛物线定义，
（当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号），此时，
故的最小值为．
（当且仅当M，Q，F三点共线时等号成立），
根据光学的最短光程原理，我们从C点发出一束光，想让光再经过F点，光所用的时间一定是最短的，由于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。
而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到，当过点M的切线与的角平分线垂直，即当过点M的圆的切线与直线平行且离直线近时，取得最小值，此时切线方程为，联立可得，此时，
所以.
故答案为：；.
11．（2024·山东日照·一模）已知向量满足，，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】
设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），
因，则设，
由可得：
即，整理得：，∴点C在以为圆心，1为半径的圆上，
则表示点A，C的距离，即圆上的点与的距离，∵圆心到点A的距离为，∴的最大值为.
故答案为：.
12．若向量，且向量，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设,因为向量，且向量满足，
所以，
化为，
则点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，
表示上的点到原点的距离，
因为圆心到原点的距离为2，半径为，
所以的最大值为，最小值为，所以的范围是，
故答案为：.
13．如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，如图所示：
则设则
化简得即
当时，点不存在；
当时，点只有一个；
当时，点的轨迹是一个圆形，有无数个；
故答案为：
14．已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】圆：，则半径为，圆心，
如图，对于直线上任意一点，
当，均为圆的切线时最大，
由题意，即时，此时为满足题设条件的临界点，
此时有，
当在临界点之间移动时，有，即，
即有，解得，
故答案为：.
15．已知圆C：和两点，若圆C上存在点M，使得，则m的最小值为
【答案】3
【解析】根据题意，点，，则AB的中点为，，
则以AB的中点为圆心，半径的圆为，设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得，则圆C与圆O有交点，必有，即，
又由，解可得：，
即m的最小值为3；
故答案为：3．
16．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
【解析】设点的坐标为，
.
当时，即时，取最大值74，
解得，，点坐标为.
当时，即，取最小值34，
解得，，点坐标为．
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