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重难点突破03 直线与圆的综合应用
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：距离的创新定义 2
题型二：切比雪夫距离 3
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 4
题型四：闵氏距离问题 5
题型五：圆的包络线问题 6
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 7
题型七：圆中的垂直问题 8
题型八：圆的存在性问题 9
03 过关测试 9
直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。
题型一：距离的创新定义
【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
，
【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为
【变式1-3】已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.请你写出到两条线段，距离相等的点的集合，，，其中，，，，，是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① ，，，；② ，，，．你选择第 种情形，到两条线段，距离相等的点的集合 .
题型二：切比雪夫距离
【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则；
③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】（2024·上海·二模）在平面直角坐标系中，定义为两点、
的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到
直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
① 对任意三点、、，都有；
② 已知点和直线，则；
③ 定点、，动点满足（），
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（2024·高三·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是 .
①对任意三点、、，都有；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
③ 已知点和直线，则；
④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
【典例3-1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
【典例3-2】（2024·高三·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .
【变式3-2】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，的最小值为
题型四：闵氏距离问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·高三·安徽阜阳·期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则点的轨迹是正方形
B．若，则与重合
C．
D．
【变式4-2】（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，其中a，，则
C．若，，其中a，b，c，，则
D．若，，其中a，，则的最小值为
题型五：圆的包络线问题
【典例5-1】（多选题）设有一组圆：（）.下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【典例5-2】（多选题）设有一组圆.下列四个命题正确的是
A．存在，使圆与轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【变式5-1】（多选题）已知圆M: ，直线l：，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
【变式5-2】（多选题）已知圆：，直线：，下面命题中正确的是（ ）
A．对任意实数与，直线和圆有公共点；
B．对任意实数与，直线与圆都相离；
C．存在实数与，直线和圆相交；
D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
【变式5-3】（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．点都在曲线内部
C．当三点不共线时，则
D．若，则的最小值为
【变式5-4】圆的反演点：已知圆的半径是，从圆心出发任作一条射线，在射线上任取两点，若，则互为关于圆的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点的反演点；若点在圆内，则连接，过点作的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为的反演点.已知圆，点，则的反演点的坐标为 .
【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 .
【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【变式5-7】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是 .

【变式5-8】如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 .
题型七：圆中的垂直问题
【变式5-9】（2024·海南·模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 ．
【变式5-10】（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则的最大值为 ．
【变式5-11】（2024·高三·北京·期中）已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形的面积的最大值为
【变式5-12】过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ．
【变式5-13】（2024·江苏·二模）在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为 .
题型八：圆的存在性问题
【典例6-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 .
【典例6-2】（2024·黑龙江·三模）已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为 .
【变式6-1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·广东韶关·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：上存在一点M，使得，则实数a的取值范围为 .
1．定义平面内任意两点之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（　　）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是5
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点.对于下列结论：
（1）符合的点的轨迹围成的图形的面积为；
（2）设点是直线：上任意一点，则；
（3）设点是直线：上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点是椭圆上任意一点，则.
其中正确的结论序号为（ ）
A．（1） （2） （3） B．（1） （3） （4）
C．（2） （3） （4） D．（1） （2） （4）
7．设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·浙江·模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
11．设直线系M：，则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2024·高三·上海浦东新·期中）设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
13．设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2）
14．设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
15．设有一组圆：．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
16．已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
17．已知直线l：与圆相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
18．（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·云南昆明·一模）在棱长均为的四面体中，点为的中点，点为的中点.若点，是平面内的两动点，且，，则的面积为
A． B．3
C． D．2
20．（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A． B． C． D．
21．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
22．平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
（1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
（2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；
（3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．
以上命题中，正确的命题是 ．
23．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
24．（2024·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
25．（2024·四川凉山·三模）点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于 .
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目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：距离的创新定义 2
题型二：切比雪夫距离 6
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 11
题型四：闵氏距离问题 15
题型五：圆的包络线问题 17
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 20
题型七：圆中的垂直问题 25
题型八：圆的存在性问题 28
03 过关测试 31
直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。
题型一：距离的创新定义
【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以可以转化为到的距离，
同理，可以转化为到的距离，
因为，
所以到两定点和的距离之和为，
所以在以点和为焦点的椭圆上，
设椭圆的标准方程为：，
则，，
即，
又，
所以，
所以椭圆的方程为：，
由，
得，
解得，.
故选：D.
【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，，
，
所以A，B之间的余弦距离为.
故选：A.
【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设为坐标原点，由，，，
知,且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B
【变式1-2】以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为
【答案】
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，
因为是等腰三角形，，
所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，
令的费马点为，则在上，则，
因为是锐角三角形，由性质（1）得，
所以，所以，所以，
，到、、的距离分别为，，
所以的最小值，
即为费马点到点、、的距离之和，则．
故答案为：．
【变式1-3】已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.请你写出到两条线段，距离相等的点的集合，，，其中，，，，，是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① ，，，；② ，，，．你选择第 种情形，到两条线段，距离相等的点的集合 .
【答案】 ①，轴 ②轴非负半轴，抛物线，直线
【解析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果.
对于①，，，，；
利用两点式写出两条直线的方程：，：，
到两条线段，距离相等的点的集合，，，
根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，
到两条线段，距离相等的点的集合为，
对于②，，，，．
根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是轴的非负半轴，抛物线抛物线，直线
故满足条件的集合且.
综上所述，①，；②，且
.
题型二：切比雪夫距离
【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则；
③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由新定义表示出三点两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，
由新定义计算出，判断②，
根据新定义求出的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．①设，则，
，
显然，同理，
∴，①正确；
②设是直线上任一点，则，
，易知在上是增函数，在上是减函数，∴时，，②错；
③由得，易知此曲线关于轴，轴，原点都对称，它是以为顶点的正方形，其转成图形面积为，③错．
故选：B．
【变式2-1】（2024·上海·二模）在平面直角坐标系中，定义为两点、
的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到
直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
① 对任意三点、、，都有；
② 已知点和直线，则；
③ 定点、，动点满足（），
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】设，由题意可得：
同理可得：,则：
，
命题①成立；
设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得，
由，解得，即有，当时取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最小值.
综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.
说法②正确.
定点、，动点满足（），则：
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当时，有，得：；
(2)当时，有，此时无解；
(3)当时，有；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图象可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.
综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.
本题选择D选项.
【变式2-2】（2024·高三·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是 .
①对任意三点、、，都有；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
③ 已知点和直线，则；
④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.
【答案】①②③④
【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设、、，
如下图，结合三角形相似可得或，或，或，则；
若、或、对调，可得；
若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
；
则对任意的三点、、，都有，命题①正确；
②到原点的“切比雪夫距离”等于的点，即为，若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，命题②正确；
③设点是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有.
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的取值范围是，无最值，
所以，、两点的“切比雪夫距离”的最小值为，命题③正确；
④定点、，动点，满足，
可得不在上，在线段间成立，可得，解得.
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，命题④正确.
故答案为：①②③④.
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
【典例3-1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
【答案】DCD
【解析】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确；
对于B选项，设，则，从而，故B错误；
对于C选项，作轴，交直线于，过作，垂足为.
由曼哈顿距离的定义可知.
当不与重合时，因为直线的斜率为，所以，所以；
当与重合时，.
综上，，则.故C正确.
对于D选项，若，则，故D正确.
故选：ACD
【典例3-2】（2024·高三·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意得，圆，圆心，半径，
设点，则，
故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，
则，，
则，即的最大值为.
故答案为：.
【变式3-1】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .
【答案】
【解析】将直线平移到与圆相切，求出此时的直线方程为，利用结论二可知，圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是．
【变式3-2】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，的最小值为
【答案】 /0.5
【解析】设，，
当时，则，即，
当时，则，即，
当时，则，即
当时，则，即，
故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：
则.
如下图，设，，显然，，
，
求的最小值，即的最小值，的最大值，
又，下面求的最小值，
令，，即，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，有最小值，且，
所以.
故答案为：；.
题型四：闵氏距离问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，设，
因为点A、B分别在函数和的图象上，
所以，
当且仅当时等号成立.
设，，则，
令，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，
即，所以的最小值为.
故选：A.
【典例4-2】（2024·高三·安徽阜阳·期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①：，故①正确.
对于②：，故②错误.
对于③：，不妨设，，且均为非负数，所以故③正确.
对于④：构造函数，则，的最小值即两曲线动点间的最小距离，设与直线平行的切线方程为，联立 得：，令得，，所以切线方程为：与之间的距离，所以最小值为，故④正确.
故选C.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则点的轨迹是正方形
B．若，则与重合
C．
D．
【答案】D
【解析】由得，所以点的轨迹是以为中心的正方形，故A正确；
记，，则，，
若，则，显然有，满足此等式，可取点，，显然与不重合，故B错误；
取点，，，则，
此时，故C错误，也可得D错误．
故选：A.
【变式4-2】（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，其中a，，则
C．若，，其中a，b，c，，则
D．若，，其中a，，则的最小值为
【答案】DCD
【解析】对于A：，故A正确．
对于B：，，故B错误．
对于C：，，不妨设，，因为，所以，所以，所以，所以，故C正确．
对于D：构造函数，，则的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线与曲线相切，则由，得，由，得，所以切线方程为，
所以两曲线动点间的最小距离为，故D正确．
故选：ACD
题型五：圆的包络线问题
【典例5-1】（多选题）设有一组圆：（）.下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【答案】AD
【解析】圆心为，半径为，
，，，，，圆与圆是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误；
易知圆心在直线上，此直线与所有圆都相交，B正确；
若取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；
将代入圆方程得，即，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D正确．
故选：BD．
【典例5-2】（多选题）设有一组圆.下列四个命题正确的是
A．存在，使圆与轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【答案】DBD
【解析】根据题意得圆的圆心为（1，k），半径为，
选项A,当k=，即k=1时，圆的方程为，圆与x轴相切，故正确；
选项B，直线x=1过圆的圆心（1，k），x＝1与所有圆都相交，故正确；
选项C,圆k：圆心（1，k），半径为k2，圆k+1：圆心（1，k+1），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R﹣r＝2k+1，（R﹣r＞d）， k含于Ck+1之中，
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；
选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k2＝k4，不存在 k∈N*使上式成立，
即所有圆不过原点，正确．
故选ABD
【变式5-1】（多选题）已知圆M: ，直线l：，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
【答案】DD
【解析】AB选项，由题意知圆M的圆心为点，半径为r=1，
直线l的方程可写作，过定点，因为点A在圆上，
所以直线l与圆M相切或相交，任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，A正确B错误；
C选项，由以上分析知不存在实数k与θ，直线l和圆M相离，C错误；
D选项，当直线l与圆M相切时，点A恰好为直线l与圆M的切点，故直线AM与直线l垂直，
①当时，直线AM与x轴垂直，则，
即，解得，存在，使得直线l与圆M相切；
②当时，若直线AM与直线l垂直，则，
直线AM的斜率为，
所以，即，
此时对任意的，均存在实数θ，使得，则直线AM与直线l垂直.
综上所述，对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切.D正确.
E选项，点到直线l的距离为，
令，当时，d=0，；当时，，
即此时恒成立，直线l与圆M必相交，
故此时不存在实数k，使得直线l与圆M相切.E错误.
故选：AD
【变式5-2】（多选题）已知圆：，直线：，下面命题中正确的是（ ）
A．对任意实数与，直线和圆有公共点；
B．对任意实数与，直线与圆都相离；
C．存在实数与，直线和圆相交；
D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.
【答案】DCD
【解析】对于A，圆：的圆心为，半径为；无论取何值，都有，∴圆过定点；
又直线：可化为，过定点；
∴直线和圆有公共点，A正确；
对于B，圆心到直线的距离为，其中；∴，故B错误；
根据B的分析，可得C D正确.
故选：ACD
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
【变式5-3】（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．点都在曲线内部
C．当三点不共线时，则
D．若，则的最小值为
【答案】DCD
【解析】设，不与，重合），
由，，有，，
，即，化简得，
所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确；
对于B选项，由，点在曲线外，选项B错误；
对于C选项，由，，有，
则当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，
所以，选项C正确；
对于D选项，由，得，
则，
当且仅当在线段上时，等号成立，
则的最小值为，选项D正确．
故选：ACD．
【变式5-4】圆的反演点：已知圆的半径是，从圆心出发任作一条射线，在射线上任取两点，若，则互为关于圆的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点的反演点；若点在圆内，则连接，过点作的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为的反演点.已知圆，点，则的反演点的坐标为 .
【答案】
【解析】圆，圆心，半径，
点，点在圆外，
过作圆的两条切线，两切点为，则在以为直径的圆上，
即是圆与圆的交点，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，
又直线的方程为，由，解得，
所以的反演点的坐标为.
故答案为：
【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 .
【答案】
【解析】设的坐标为，动点，，
则，
，
，
，
可得，
又点的轨迹方程，
可得，解得（舍）或，
则的坐标为.
故答案为: .
【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【答案】 或（）
【解析】设，由得，
化简得，
抛物线的焦点为，，
，
，
易知当四点共线时，取得最小值为，
所以的最小值是．
故答案为：；．
【变式5-7】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是 .

【答案】
【解析】，，，，同理，
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，
，又，
，，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，整理可得：，在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，，为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值，此时，.
故答案为：.
【变式5-8】如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图,建立如图所示的空间直角坐标系
则,，设
由题设
即
也即
由此可知点都是在球心为,半径为2的球面上
又,故点是球的直径的两个端点
所以，
所以
而在正方体的表面上,故当点在正方体的顶点上时,
此时的值最小为
故答案为 ：.
题型七：圆中的垂直问题
【变式5-9】（2024·海南·模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 ．
【答案】
【解析】由直线，可得斜率，
因为且直线过点，所以直线的斜率为，
所以的方程为，
又由圆，即，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长.
故答案为：.
【变式5-10】（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则的最大值为 ．
【答案】20
【解析】设圆心到AC，BD的距离分别为m，n．
因为AC，BD相互垂直，所以，
由垂径定理得，
则，
由，得，当且仅当时等号成立，
故．
故答案为：20
【变式5-11】（2024·高三·北京·期中）已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形的面积的最大值为
【答案】14
【解析】解:圆,
圆心O坐标,半径,
设圆心O到AC、BD的距离分别为、,
,
则,
又
四边形ABCD的面积
,当且仅当时取等号,
则四边形ABCD面积的最大值为14.
故答案为14
【变式5-12】过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
作交于点，作交于点，
可得四边形为矩形，
，
故可设，
，其中，
当取最大值1时，取最大值.
故答案为：
【变式5-13】（2024·江苏·二模）在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】设：，：，利用点到直线的距离，列出式子
，求出的值即可.由圆，可知圆心，半径为.
设直线：，则：，
圆心到直线的距离为，
，
.
圆心到直线的距离为半径，即，
并根据垂径定理的应用，可列式得到，
解得.
故答案为：.
题型八：圆的存在性问题
【典例6-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆圆心，半径为
设弦中点为，连接，，
由，，可得点在弦上，
且，，，
又圆心到弦所在直线的距离为：
，
则，
则点在以为圆心半径为5的圆上运动，
又点在直线上，
则直线与以为圆心半径为5的圆有公共点，
则，解之得或，
所以的取值范围是．
故答案为：
【典例6-2】（2024·黑龙江·三模）已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为 .
【答案】[4，6]
【解析】因为点，而点P满足，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：(y≠0)，半径=1，
又点Р在圆C：(r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r，，
依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得.
故答案为：.
【变式6-1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【答案】11
【解析】设，，则，
即，则的轨迹为以为圆心，半径的圆，
根据题意知两圆有交点，圆心距，故，
解得，故的最大值为.
故答案为：.
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，即在上运动，而为圆上任意一点，
要使圆上存在一点使，
即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，
所以，只需为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，
如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，
所以，只需，为圆半径，即，
又，故，可得.
故答案为：
【变式6-3】（2024·广东韶关·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：上存在一点M，使得，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】过抛物线的焦点且斜率为的直线为，
由消去，得，设，有，
于是的中点为，且，
所以以线段为直径的圆的半径，方程为；
对圆及内任意一点，必可作互相垂直的两直线与圆D相交，则圆上存在两点,，使，
对圆外任意一点，,是圆上两点，当,与圆相切时，
最大，此时为矩形，，
从而以线段为直径的圆上存在两点,，在圆上存在一点，使得，
等价于以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，
因此，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：；
1．定义平面内任意两点之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设，
所以，
如图所示，，且直线与抛物线无交点，
所以，只需两点的横坐标相等时，最小，即
所以，
所以的最小值为.
故选：C.
2．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，
当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示，
设，，则，
，
由三角函数知识可知，其中，
则其最大值是，
所以，故D正确.
故选：D.
3．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（　　）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是5
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4
【答案】D
【解析】A选项，，A错误；
B选项，设，则，
当且仅当时，等号成立，
故在轴上不存在点，使得，B错误；
C选项，点在直线上，设，
则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，C错误；
D选项，设，此时，
故的值可能为4，D正确.
故选：D
4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
【答案】A
【解析】设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，设，
则，
所以点不是的“好点”；
对于B，设，
则，
，
所以，
所以点是的“好点”；
对于C，设，
则，
所以点不是的“好点”；
对于D，设，
则，
所以点不是的“好点”.
故选：B.
6．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点.对于下列结论：
（1）符合的点的轨迹围成的图形的面积为；
（2）设点是直线：上任意一点，则；
（3）设点是直线：上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点是椭圆上任意一点，则.
其中正确的结论序号为（ ）
A．（1） （2） （3） B．（1） （3） （4）
C．（2） （3） （4） D．（1） （2） （4）
【答案】D
【解析】对于（1），由，根据新定义得：，
画出图象如图所示：
根据图形得到：四边形为边长是的正方形，面积等于2，（1）正确；
对于（2），点是直线：上任意一点，则，
可得，
当时，；
当时，；
当时，可得，
综上可得的最小值为，故正确；
对于，当时，，满足题意；
而，当时，，满足题意，
即都能 “使最小的点有无数个”，正确；
对于点是椭圆上任意一点，因为求最大值，
所以可设，，，，，
，不正确．
故选：A.
7．设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据题意，由于“相关点”的关系都是相互的，所以当，时，
点与点间的距离最小值为0，所以点又回到最初位置，坐标为，
然后根据式子，经过三次变换：，，
，又因为，，，均为整数，所以点与点间的距离最小值为1，
故选：B
8．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为拋物线与直线只有一个交点，
所以只有一个解，消去得，
所以，，因为，所以，
可化为，即，
所以，，因为点在第一象限，所以，，
因为，所以，可得，
所以，
因为，抛物线开口向下，对称轴为，所以随的增大而增大，
故.
故选：C.
9．（2024·浙江·模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意.
故选：C．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C.
11．设直线系M：，则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据直线系M：，
可得到直线M的距离，
所以所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线，
对于①：因为直线系为圆的任意切线，所以不存在一个直线与所有直线相交，故①错误；
对于②：因为直线系为圆的任意切线，所以该直线系不过定点，故②错误；
对于③：对于任意实数，作圆的外切正n边形，其所有边都为圆的切线，即为直线系中的直线，故③正确；
对于④：如图所示：
正和正面积不相等，故④错误；
故选：B
12．（2024·高三·上海浦东新·期中）设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】根据直线系（）得到，
所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．
对于①，可取圆心为，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；
对于②，可取圆心为，半径为的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；
对于③，可取圆心为，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；
对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；
对于⑤，存在不在中的任一条直线上，所以⑤错误；
对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在中的直线上，所以⑥正确；
对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；
故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．
故选：B．
13．设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2）
【答案】D
【解析】首先发现直线系表示圆的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点不在任何一条直线上，判断选项.因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合.
（1）由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所有中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上，观察知点符合条件，故（2）正确；
（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正变形，其所有边均在的直线上，故（3）正确；
（4）如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如，一类是,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.
故选：A
14．设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】，
（1）当直线垂直于轴时，则，解得或或，故（1）错误；
（2）当时，直线方程为：，
斜率，即，倾斜角，故（2）正确；
（3）由直线系
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
15．设有一组圆：．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】根据题意得：圆心，
圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取,，含于之中，选项①错误；
若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将带入圆的方程，则有，即，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故选：B．
16．已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，
即，即，
所以，其中，
则或，
正弦值为的只有在轴负半轴，正弦值为可以在第一或者第二象限，故有种可能，
则满足条件的直线有3条.
故选：C.
17．已知直线l：与圆相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】的圆心为，半径为1，
则圆心到的距离为，
则，
故或，
所以或，
当时，，此时直线l：，
当时，或，
当，此时，直线l：，
当，此时，直线l：，
综上：满足条件的直线l有3条.
故选：B
18．（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设点，则，
∴，化简得点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
圆心到直线：的距离，
∴点到直线最大距离为.
故选：A.
19．（2024·云南昆明·一模）在棱长均为的四面体中，点为的中点，点为的中点.若点，是平面内的两动点，且，，则的面积为
A． B．3
C． D．2
【答案】B
【解析】建立空间直角坐标系如图所示，
，底面为等边三角形，且.所以OD=2,B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，，0），点为的中点，F（- ，- ，0），设M（x,y,0）,， ，化简得 ，且点M 是平面BCD 内的动点，所以点M在以（0,0）为圆心，以1为半径的圆上，又，且点N 是平面BCD 内的动点，同理N也在这个圆上，且，所以MN为圆的直径，因为AO面BCD，所以AOMN，且AO=， .
故选：C.
20．（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A． B． C． D．
【答案】DB
【解析】
所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形
即
在直线上，圆心距
计算得到
故答案选AB
21．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
【答案】 4
【解析】第一空：点与点之间的“t距离”为
；
第二空：若平面内点和点之间的“t距离”为，
则，
不妨设，解得或，此时，即，
由对称性可知，当或时，，如图所示：
，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段，
则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为.
故答案为：；4.
22．平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
（1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
（2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；
（3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．
以上命题中，正确的命题是 ．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】对于（1），只有当点M与点O重合时，满足题意.故（1）正确；
对于（2），不妨假设，则点在直线上.
又点到直线的距离为，
如图1，作的两条平行线，使得与的距离均为.
由定义结合图象可知，直线与的交点满足条件.
所以，“距离坐标”为的点有且仅有2个.故（2）正确；
对于（3），如图2，作的两条平行线，使得与的距离均为；作的两条平行线，使得与的距离均为.
由定义结合图象可知，满足条件的点有且仅有4个.故（3）正确.
故答案为：（1）（2）（3）.
23．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
【答案】①②③
【解析】其中①③的讨论见后文．
②设点Q是直线上一点，且，则．由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，此时的范围是，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
综上，①②③正确．
24．（2024·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
【答案】6
【解析】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时，
所以，由方程组，解得，，
所以，，两点之间的切比雪夫距离为6.
故答案为：6.
25．（2024·四川凉山·三模）点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于 .
【答案】
【解析】先证明：若到三个顶点距离之和最小，则
如图将绕点B逆时针旋转60°得到，则≌，
，所以是等边三角形，，
，当四点共线时取得最小值，
此时，
同理可得
所以命题得证.
点是的费马点，且已知在轴上，
，
，
所以，
所以=.
故答案为：
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