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重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：弦长问题 2
题型二：长度和问题 5
题型三：长度差问题 11
题型四：长度商问题 15
题型五：长度积问题 22
题型六：长度的范围与最值问题 29
题型七：长度的定值问题 36
03 过关测试 44
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
题型一：弦长问题
【典例1-1】已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 .
【答案】/
【解析】椭圆的右焦点，
因为直线的倾斜角为且过点，
所以直线，设，，
联立，消去得，
所以，，
所以，，
所以，，
所以.
故答案为：
【典例1-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
【解析】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，
联立，消去可得：，
所以，，
所以
【变式1-2】已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【解析】（1）为抛物线的焦点，，解得：.
（2）由（1）知：抛物线；
直线，
由得：，
设，，则，
，.
【变式1-3】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，直线过点且与轨迹交于 两点，且，求直线的方程.
【解析】如图设圆心，，圆与轴交于、两点，过点作轴，垂足为，则，
，
，化为；
即动圆圆心的轨迹的方程为，
设直线为，，，联立方程得，消去得，所以，，所以，即，解得，所以直线为或
题型二：长度和问题
【典例2-1】已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:
【解析】（1）由题意，曲线，可得，则，
点处的切线方程为，即，
因为， 代入可得，
设，
联立方程组，整理得，可得，
又由切线方程可知， 抛物线在点处的切线分别为，
消去可得，消去可得，
即.
（2） (i) 设 ，
由 (1) 可知 ，
由 可知 ，
由 可知
故 .
(ii) 由抛物线性质可知， ， 同理 ，
又 ，
同理可得， ，
由均值不等式可知，
，
同理 ，
但取等条件 不同时成立，
因此 ， 证毕.
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知的内角的对边分别为，面积为，且.
(1)证明：为等边三角形；
(2)设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值.
【解析】（1）因为，由正弦定理得不是最大边,
面积,所以,所以,
由余弦定理,化简得，，
,
所以
所以是等边三角形.
（2）如图建系，
设点，当时，
因为，所以,
所以,化简得，其中，
当时，，因为，则此时不合题意，则，
当时，，因为，则此时不合题意，则，
因为是由双曲线向右平移4个单位得到的，
易知双曲线的焦点坐标为，则平移后焦点坐标为和，
作出双曲线，的图象如图所示：
根据双曲线定义知，则，则，
当且仅当三点共线时取等号，
当时，此时，，故此时不可能满足，舍去；
综上所述的最小值为10.
【变式2-1】（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
【解析】（1）由两圆的方程知：圆心分别为，，即，，
，解得：，.
（2）由题意知：；
，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长，
设，其与椭圆交于点和
由得：，则
，，
，
当时，取得最小值，的最小值为.
【变式2-2】（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
【解析】（1）设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，，
所以为关于的方程的两根，
所以，．
又点在椭圆上，
所以，
所以．
（2）由椭圆，得其离心率，
所以当，即时，椭圆的标准方程为，
所以，，，恰好为椭圆的左、右焦点，
易知直线的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为．
由，得，
设，则，，
所以
，
同理可得，
所以．
题型三：长度差问题
【典例3-1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，
故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
【典例3-2】已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：将点代入，得，即．
联立得，
由，设，，则，．
因为，所以恒成立，则，
所以的方程为，故直线过定点．
（2）联立得，则
且，即，
，
设，同理可得．
因为直线在的右侧，所以，则，即．
所以，即，解得，
因为，所以满足条件的存在，.
【变式3-1】已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.
【解析】（1）由抛物线可知：，
故由得：，故，则，
则对于有：，解得，
故椭圆方程为：；
（2）过点的直线的斜率不存在时，，，，
所以直线在点的右侧，与两曲线的交点顺序变成A，B，D，C的顺序，
不满足题意，如下图；
所以过点的直线的斜率存在，
故设直线的斜率为k，则直线方程为，
联立抛物线方程：，整理得： ，
设 ，则，
故 ，
联立，整理得，
设，则，
则
，
又，
即，整理得 ，
解得，因为，，而，
且A，B，C，D依次排序，所以，如下图，
故，故直线的方程为.
综上，直线的方程为.
题型四：长度商问题
【典例4-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【解析】（1）M为的垂直平分线上一点, 则 ，
则
∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线, 且，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则 ，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ，
则 ，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
【典例4-2】（2024·高三·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.
【解析】（1）设双曲线方程为，
则，解得，
所以，
设
因为两点都在双曲线上，
所以，
两式作差得，
整理得
则；
（2）设，设直线的方程为，
联立，
化简得，
，
则，
故，
，
由，所以，
从而
，即.
【变式4-1】抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【解析】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是，，，.
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，
根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，
与抛物线联立，得关于的一元二次方程，
则，设、，
则，，，
，
则，
线段的中点坐标为，中垂线方程为，
令，解得，即中垂线与轴交于，
所以，则.
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵椭圆的离心率为，
∴，∴，
∴椭圆的方程为，
不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，
∵，
∴，
∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，
∴直线的斜率为，斜率倒数为，
直线的方程：，
代入椭圆方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，
∴
则，
当且仅当
故答案为：.
【变式4-3】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
【解析】（1）依题意，可设椭圆的方程为.
由得，又因为，所以，则，
因为椭圆经过点，代入上述方程解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）
由（1）可知：，
当斜率不存在时，若点与重合，与重合.此时.
若点与重合，与重合，则.
当直线斜率存在时，设直线，
联立得消去可得，显然，
则，可得，
整理可得，
因为，可得，
令，则，解得，即，
所以.
综上，的取值范围为.
题型五：长度积问题
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆的右顶点为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左焦点为 点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标.
【解析】（1）由题设，
所以的方程为．
（2）
法一：设，所以
所以， 直线的方程为．
令，得
又， 直线的方程为
令，得 ，
所以 ，
所以，所以，
所以，.
所以点的横坐标为或.
法二：由题意直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为．
令，得
由 得．
易得．设 ，则，
，所以
直线的方程为．
令，得 ，
所以．
所以，.
所以，.
所以点的横坐标为或.
【典例5-2】已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．
【解析】（1）由题意知，将代入，解得，
所以当与轴垂直时，，所以，
故抛物线的方程为．
（2）
证明：法一：根据题意知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立得，
所以，，．
对求导，得，
所以，所以．
由得所以．
当时，根据对称性得，，所以；
当时，，所以，
所以，所以，即．
综上，．
法二：根据题意知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立得，所以，，．
对求导，得，由得所以．
因为，，
所以．
又，所以．
【变式5-1】（2024·高三·江西·开学考试）已知双曲线其左、右焦点分别为，若，点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，若成等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
【解析】（1）由题意可知：，即，
则，其中一条渐近线为，即，
因为点到其渐近线的距离为，则，
所以双曲线C的标准方程.
（2）双曲线C为“黄金双曲线”，理由如下：
设为双曲线C的上一点，则，即，
可得，
若为双曲线C的上左支一点，则，则，
且，可得；
若为双曲线C的上右支一点，则，则，
且，可得；
由题意可知：，渐近线方程为，
则直线l的斜率存在，，
设，
联立方程，消去y可得，
则，
因为，则，可得，
即，解得，
此时，，
且，
因为，
即，则成等比数列，
所以该双曲线为“黄金双曲线”.
【变式5-2】（2024·高三·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．
【解析】（1）因为动圆的圆心在轴上，所以设圆心坐标为，半径为，
由题意可得，即，
又圆心是点的中点，
由中点坐标公式可得，
代入上式可得，
所以点的轨迹的方程为；
（2）由题意知在抛物线C上，则，即，
由于过点的直线交轨迹于两点，则直线l的斜率为，
故l的方程为，联立，得，
解得或，则，则B关于x轴的对称点为，
由题意知直线AQ的斜率存在，设为k，直线的斜率为，则，
设直线，
因为点Q在抛物线C上，故联立，得，
得，则，,
又，故直线BM的方程为，
联立，解得,
因为
，
故当时，即时，取到最大值，最大值为.
【变式5-3】已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆截得的弦长为，可得．
又，，解得：，，，
椭圆的方程为．
（2）由（1）可得：圆的方程为：．
设，则以为直径的圆的方程为：，
与相减可得：直线的方程为：，
设，，，，联立，化为：，
，则，，
故．
又圆心到直线的距离，
，
，
令，则，
，可得，可得：．
题型六：长度的范围与最值问题
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，解得，
故双曲线方程为.
（2）当直线斜率不存在时，可设，
则，
将其代入双曲线方程，
又，解得，
此时，
当直线斜率存在时，设其方程为，设，
联立，
故，
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，
当时，此时，
，故，
因此，
综上可得.
【典例6-2】（2024·高三·广东·开学考试）我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的的内接四边形叫做的内接矩形．如图，已知四边形是的一个边长为1的内接正方形，，分别与轴交于，，且，为的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)设是四边形内部的100个不同的点，线段，与轴分别交于，，记，其中，证明：，中至少有一个小于．
【解析】（1）依题意，焦距，所以，
连接，则，所以，
所以，所以，
所以的标准方程为，即.
（2）连接并延长与交于点，连接（为了便于理解，解析图中只做了两条，其它类似），
则，
所以由正方形的对称性，
，
所以，
若，均不小于，则，与矛盾，
所以，中至少有一个小于.
【变式6-1】（2024·高三·浙江·开学考试）在直角坐标系中，过椭圆的右焦点的直线与截得的线段长的取值范围是.
(1)求的方程；
(2)已知曲线的切线被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求与截得的线段长；
（ii）求与截得的线段长的取值范围.
【解析】（1）设的焦距为，设与交于.
①当与轴重合时，显然；
②当不与轴重合时，设，
则将与联立，整理得，
则，
所以
，
则有，因此有，解得，
所以椭圆.
（2）（i）设切点为上任意一点，
由条件，，则有，
则.
设直线交轴分别于，代入，
解得，即的横坐标.
代入，解得，即为的纵坐标，
则有为定值，
则只能有，，解得，
否则，，均为定值，则其解有限，矛盾.
此时有.
（ii）设切线与椭圆交于，
此时令，则切线.
将切线与联立，得，
故,则有，
因此
因为，则，
则，
所以
即
【变式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）双曲线：有一点在双曲线上，分别过点作渐近线平行线交轴于，且在靠近原点的一侧，过点作轴垂线交以为直径的圆于点，求的取值范围.
【解析】
由对称性不妨取点在第一象限，设，则，
由双曲线方程可得其渐近线方程为：，
则，，
，，
，，.
【变式6-3】（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．
【解析】（1）设，，
则．
又因为，所以，即，
又椭圆的离心率，所以，则，
解得，故的方程为．
（2）设，，，因为，
所以，
若，则，即与重合，与矛盾，
若，则，即与重合，与矛盾，
故，于是，将点代入，
化简得，
同理可得，，
故，为方程的两根，
于是，即，动点在定直线上．
令直线，当与相切时，记，的距离为，则，
联立可得，
由，解得，又，则，
此时，解得，，即切点为，直线，的距离为，
故的最小值为．
题型七：长度的定值问题
【典例7-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
【解析】（1）解:(1)由题意得
∴抛物线的方程为
（2）设，直线的斜率为
则直线方程为
将此式代入，得，
故
设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为
则
故直线m的方程为
令得点P的横坐标为
故
∴为定值8
【典例7-2】已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为1，求的值.
【解析】（1）由题意知椭圆的短轴长为2，即，.
为椭圆的上顶点，所以.
当三点共线时，设，则.
由点在椭圆上，则,
因为，
所以，解得．
故椭圆的方程为；
（2）设过两点的直线为，
当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，
所以
因为在椭圆上，所以，又，
所以，即，联立，
解得
此时，所以.
当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立消去得，
其中①，
所以，
所以．
因为点到直线的距离，
所以，
所以，
整理得，符合①式，
此时，
综上所述，的值为5．
【变式7-1】（2024·高三·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，因为，
所以四边形为平行四边形，其面积设为，则
，所以，
所以，
又，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2），当直线与轴重合时，的方程为，
此时不妨令，则；
当直线与轴不重合时，的方程可设为，
由，得，
设，则，
综上，为定值4.
【变式7-2】已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值．
【解析】（1）因为椭圆过点，所以.
因为，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为.
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即.
直线的方程为，即.
所以.
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由，得.
依题意，.
设，，则，.
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，同理.
所以
.
综上，为定值，定值为.
【变式7-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i) 若，求直线的斜率；
(ii) 求证：是定值.
【解析】（1）将点和代入双曲线方程得：
，结合，化简得：，解得，
双曲线的方程为．
（2）(i) 设关于原点对称点记为，
则．
因为，所以，
又因为，所以，即，
故三点共线．
又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故，
所以．
由题意知，直线斜率一定存在，
设的直线方程为，代入双曲线方程整理得：
，故，
直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得．
由弦长公式得
，
则，且由图可知，即，
代入解得．
(ii) 因为，由相似三角形得，
所以
．
因为．
所以，故为定值．
【变式7-4】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知椭圆的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)设为坐标原点，若三点不共线，且的斜率满足，求证：为定值.
【解析】（1）因为，所以，
又连接四个顶点所得菱形的面积为，可得，
解得，所以椭圆方程为.
（2）如图所示：
设直线的方程为：
联立，可得：，则，
由韦达定理可得：，
由弦长公式可得：
当时，取得最大值.
（3）如图所示：
设直线的方程为：
联立，可得：，则
由韦达定理可得：，
又由，可得，
代入可得，即.所以，所以
故为定值.
1．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长．
【解析】由题意可知：，
因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为，
则直线的方程为，且直线与椭圆必相交，
方法一：解方程组，解得或，
不妨令，，
所以；
方法二：设，，
联立方程，消去得，
则，．
所以；
方法三 设，，
联立方程，消去得，
则，，
所以．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
【解析】（1）由题意知，且，
，
所以双曲线的离心率．
（2）由（1）知双曲线方程为，
将即代入，得，
不妨设，
所以．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）联立方程：，解得或，
即点为或，
将点代入双曲线C：可得，解得，
所以.
（2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为.
因为点在双曲线上，则，
显然直线过点，
即，，
联立方程，消去y可得，
即，则，解得，
所以在双曲线上一点处的切线方程为.
设，，则，
可得线段OP的垂直平分线为，即，
设直线与双曲线C切于点，则直线，
则，即，
且，即，整理可得，
又因为在双曲线C上，则，即，
可得，解得（舍负），
则，
令，则，可得，
令，则关于x的方程有正根，
即关于t的方程在内有根，
设，
若，即，则，不合题意；
若，即，则，解得，不合题意；
若，即，则，解得；
综上所述：，
则，即.
4．已知椭圆：的离心率为， 点，在椭圆上运动. 当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)延长到， 使得，且与椭圆交于点， 若直线，的斜率之积为， 求的值.
【解析】（1）由题意可得：，
解得：，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点，，，，则，
，
，，
且，，，
，
整理可得：，
，即，故.
5．在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
【解析】（1）因为动点到的距离等于到直线的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，
又因为焦点为，所以轨迹方程为.
（2）（ⅰ）证明：设点，
设以为切点的切线方程为，
联立抛物线方程,可得，由，得，
所以切线AP：，同理切线BP：
点P在两条切线上，则，
由于均满足方程，故此为直线AB的方程，
由于垂直即，则，
所以直线AB的方程，恒过；
（ⅱ）由（ⅰ）知，则，直线
联立直线AB与直线OP的方程得，
因此，时取等号.
即的最小值是.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．
【解析】（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0，
此时直线AB、CD均与抛物线相交，
设，则，
联立方程，消去可得，
则，
可得，
若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即，
可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）可知：，，，
且，
则，即，
同理可得：，
由题意可知：，
则，
因为，解得，
则，，即，.
7．（2024·高三·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若过点作直线分别交的左 右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围．
【解析】（1）因为的离心率为，焦距为，
所以，解得，所以．
所以的标准方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
不妨设分别在左 右位置，联立，得，
联立，得，
所以，
联立，得，
设，则，
由，即，
所以，
所以，
又，所以，
所以的取值范围为．
8．（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线，M是平面内一个动点，且MA与相交于点A（A位于第一象限），，且MB与相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′:，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，所在直线方程为，
联立方程得，同理，
，
所以四边形OAMB的面积为：
，
所以，
所以动点M的轨迹C的方程为．
（2）假设存在定直线l′：，使为定值．
设，PQ中点，直线l方程为，
联立方程，
由，得，
，
，
，
设G到直线l′：的距离，
，
因为为定值，所以为定值．
由为定值，
故即，即当时，为定值，
此时．
所以存在定直线，使为定值．
9．若点为双曲线上一点，，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点.
(1)求双曲线的方程．
(2)若四点共圆.
①求的值；
②若，求直线的斜率.
【解析】（1）由题意可得：，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知：双曲线的方程为，则，
①因为四点共圆，则，
由题意可知：直线l的斜率存在，设，
联立方程，解得或，
可知，
则，
又因为B的坐标为，则，
又因为，
则，
且，则，所以；
②如图，四点共圆，，
连接，因为四点共圆，则，
可知，可得，即.
因为，则，
可知三点共线，且，可得，
则直线，则，
由可知，则，可得直线，
代入可得：
，解得或，
因此直线的斜率为或0.
10．已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证：为定值；
（ii）设面积为S，求S的取值范围．
【解析】（1）在椭圆C中，令，可得，故有，而，，解得，，，故椭圆C的标准方程为．
（2）（ⅰ）设l：，将l与C联立可得：．
设，，则，．
则，，，．
①当l与x轴垂直时，，此时，故；
②当l与x轴不垂直时，也有．
综上，．故，
而，故．
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，故：．
令，解得．
恒过定点．设到MN与AB的距离分别为与，的面积为，则．
故
．
令，则，
因为在上单调递增，故，则．
综上所述，S的取值范围为．
11．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以，
故抛物线E的标准方程为.
（2）易知抛物线E的焦点，
设直线AB的方程为，、，
联立可得，
由韦达定理可得，，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为，
联立可得，即，即，
所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为，
同理可知，直线BD的方程为，
在直线AC的方程中，令，可得，即点，
同理可得点，所以，直线的方程为，即，
设点、，联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，
同理可得，
所以
，
故为定值.
12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，，解得，
又因为，所以．
（2）设直线的方程为，椭圆的方程为，
设点，联立方程组，整理得，
解得，①，
直线AF方程为，
设点，
，联立方程组，解得，②，
又因为，
设，则有，
即，所以，所以．
所以，则有，
代入①②有，解得，
由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件．
13．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.
(1)求的方程；
(2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左 右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.
【解析】（1）设，
为等轴双曲线上一点，
，
双曲线渐近线为，
，
，
的方程为.
（2）设，
直线方程为，直线的方程为，
，
设过且与双曲线相切的直线为，
联立，
得，
，
即，
设直线的斜率分别为，则，
方程，
，
同理方程，
，
，
，
，
，
，
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：弦长问题 2
题型二：长度和问题 3
题型三：长度差问题 5
题型四：长度商问题 6
题型五：长度积问题 7
题型六：长度的范围与最值问题 8
题型七：长度的定值问题 10
03 过关测试 13
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
题型一：弦长问题
【典例1-1】已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 .
【典例1-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【变式1-2】已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【变式1-3】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，直线过点且与轨迹交于 两点，且，求直线的方程.
题型二：长度和问题
【典例2-1】已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知的内角的对边分别为，面积为，且.
(1)证明：为等边三角形；
(2)设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值.
【变式2-1】（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
【变式2-2】（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
题型三：长度差问题
【典例3-1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【典例3-2】已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式3-1】已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.
题型四：长度商问题
【典例4-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【典例4-2】（2024·高三·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.
【变式4-1】抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是 ．
【变式4-3】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
题型五：长度积问题
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆的右顶点为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左焦点为 点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标.
【典例5-2】已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．
【变式5-1】（2024·高三·江西·开学考试）已知双曲线其左、右焦点分别为，若，点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，若成等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
【变式5-2】（2024·高三·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．
【变式5-3】已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
题型六：长度的范围与最值问题
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围.
【典例6-2】（2024·高三·广东·开学考试）我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的的内接四边形叫做的内接矩形．如图，已知四边形是的一个边长为1的内接正方形，，分别与轴交于，，且，为的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)设是四边形内部的100个不同的点，线段，与轴分别交于，，记，其中，证明：，中至少有一个小于．
【变式6-1】（2024·高三·浙江·开学考试）在直角坐标系中，过椭圆的右焦点的直线与截得的线段长的取值范围是.
(1)求的方程；
(2)已知曲线的切线被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求与截得的线段长；
（ii）求与截得的线段长的取值范围.
【变式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）双曲线：有一点在双曲线上，分别过点作渐近线平行线交轴于，且在靠近原点的一侧，过点作轴垂线交以为直径的圆于点，求的取值范围.
【变式6-3】（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．
题型七：长度的定值问题
【典例7-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
【典例7-2】已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为1，求的值.
【变式7-1】（2024·高三·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.
【变式7-2】已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值．
【变式7-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i) 若，求直线的斜率；
(ii) 求证：是定值.
【变式7-4】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知椭圆的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)设为坐标原点，若三点不共线，且的斜率满足，求证：为定值.
1．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
4．已知椭圆：的离心率为， 点，在椭圆上运动. 当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)延长到， 使得，且与椭圆交于点， 若直线，的斜率之积为， 求的值.
5．在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．
7．（2024·高三·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若过点作直线分别交的左 右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围．
8．（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线，M是平面内一个动点，且MA与相交于点A（A位于第一象限），，且MB与相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′:，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
9．若点为双曲线上一点，，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点.
(1)求双曲线的方程．
(2)若四点共圆.
①求的值；
②若，求直线的斜率.
10．已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证：为定值；
（ii）设面积为S，求S的取值范围．
11．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
13．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.
(1)求的方程；
(2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左 右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.
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