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重难点突破08 圆锥曲线的垂直弦问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 3
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点 3
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点 4
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点 5
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点 6
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点 7
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点 8
题型七：内接直角三角形范围与最值问题 10
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题 11
03 过关测试 12
1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，
9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
【典例1-1】已知椭圆的左右焦点分别，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）
①四点中，恰有三点在椭圆C上．
②椭圆C经过，轴，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论．
【典例1-2】如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．
【变式1-1】已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由.
【变式1-2】已知椭圆：（）的离心率，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例2-1】在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【典例2-2】已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式2-1】已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例3-1】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．
【典例3-2】已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.
(1)求抛物线C和椭圆E的方程；
(2)过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
【变式3-1】已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
【变式3-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例4-1】已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【典例4-2】已知椭圆过点，且长轴长为4.
(1)求的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明；直线必过定点.
【变式4-1】已知定点，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l：的距离分别为，，且，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)当时，过点F的两条互相垂直的直线与曲线C分别交于A，B，C，D两点，弦AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点；
(3)在（2）条件下，当M，N，F三点可构成三角形时，求的取值范围．
【变式4-2】（2024·高三·天津河西·期末）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例5-1】（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点 若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【典例5-2】（2024·黑龙江·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例6-1】已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
【典例6-2】已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【变式6-1】过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式6-2】已知抛物线上一点的纵坐标为4，点到焦点的距离为5.过点做两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.

(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作，且垂足为，
（ⅰ）求证直线过定点，并求定点坐标；
（ⅱ）求的最大值.
【变式6-3】（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
题型七：内接直角三角形范围与最值问题
【典例7-1】设椭圆的两焦点为，，为椭圆上任意一点，点到原点最大距离为2，若到椭圆右顶点距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、，过作两条互相垂直的直线交椭圆于、，问直线是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出面积的最大值.如果不是，请说明理由.
【典例7-2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
【变式7-1】已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
【典例8-1】如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)求的最小值．
【典例8-2】（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．
【变式8-1】已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与交于，两点，设线段的中点为，线段的中点为，求面积的最小值．
【变式8-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，
(1)求抛物线方程；
(2)若，求的值；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．
1．已知椭圆，离心率为，点在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过点作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
2．已知椭圆过点，点是椭圆的右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点和两点，设的中点分别为，求面积的最大值．
4．设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.
5．已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点.
(1)用表示点的坐标；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的面积的取值范围.
6．在平面直角坐标系．xOy中，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记动点M的轨迹为曲线E，过作两条互相垂直的直线，，与曲线E交于A、B两点，与曲线E交于C、D两点，求的最大值．
7．（2024·高三·江苏镇江·期末）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值．
8．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值；
(3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围.
9．已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线，分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
10．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，点P为该椭圆上一点，且△F1PF2的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.
12．（2024·新疆·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为.
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和，与抛物线交于P，Q两点，与抛物线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|的最小值为1.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和C，D，点H，K分别为的中点，求△EHK面积的最小值.
14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
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目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 3
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点 3
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点 9
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点 13
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点 16
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点 21
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点 24
题型七：内接直角三角形范围与最值问题 29
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题 34
03 过关测试 39
1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，
9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
【典例1-1】已知椭圆的左右焦点分别，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）
①四点中，恰有三点在椭圆C上．
②椭圆C经过，轴，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论．
【解析】（1）若选①：因为中有三点在椭圆上，
由于关于原点对称，所以均在椭圆上，
又因为的横坐标相同，所以不在椭圆上，在椭圆上，
所以，所以，所以椭圆的方程为；
若选②：因为轴，，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，，
因为，所以且，
解得，此时显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以
，
所以，
化简可得，解得或，
当时，过点，显然不符合题意，
当，过定点，
若时，此时为直角三角形且为斜边，
所以当为中点时，，即为定值；
当时，此时重合，取，则，符合情况，
综上所述，存在使得为定值.
【典例1-2】如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
所以，椭圆的方程为．
（2）易知点，设点、，则，
若直线轴，则，，
所以，，不合乎题意，
设的直线方程为，
联立，整理得，
，
由韦达定理可得，．
因为，且，，
所以，
，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
所以，直线的方程为，
，
则．
令，
则，
由对勾函数单调性知，函数在上为增函数 ，
则．
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为．
【变式1-1】已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由.
【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图：
由题意：直线的斜率一定存在，设直线：，
联立，消去得：，
设，则，.
设，用代替得：，.
所以直线得方程为：
令，得：
所以直线过定点.
【变式1-2】已知椭圆：（）的离心率，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1），，
又，，
故椭圆的方程为
（2）
法一：当直线的斜率不存在时，
设，，
代入，得：（舍），
此时：
当直线的斜率存在时，设：，联立得：
，，
，，
，
，
代入整理得：，
，
当，此时：，过定点，舍去．
当，此时：，过定点
综上有，直线始终过定点
法二：利用齐次式：依题意可知：设：，
椭圆的方程为，，
则：，
即：
A：当，的斜率存在时，，
即：
，，
此时：，
即：，故，
此时直线是否过定点．
B：当，的斜率一个为0，另一个不存在时，不妨取，，
此时直线：，也过点，
综上有，直线始终过定点．
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例2-1】在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【解析】（1）设P(x，y)，
因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，
所以，
化简得，
所以曲线E的方程为.
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，，
分别联立，解得M(，)，N(，－)，
此时直线MN的方程为，过点(，0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为，()
由，消去y得，
所以，即，
，，
因为AM⊥AN，
所以，即，
即，
即，
将，代入化简得：，
所以或，
当时，直线MN方程为(不符合题意舍去)，
当时，直线MN方程为，MN恒过定点(，0)，
综上所述直线MN过定点(，0).
【典例2-2】已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，线段AM AN的中点分别为 ，
由已知，得；
两式相减，得，即①
根据中点坐标及斜率公式，得
，，，.代入①，
得②同理，得③，②③相乘，得.
∵，，∴④
由，与④联立，得，，
双曲线的方程为：.
（2）①当时，设，，，，
由AM AN互相垂直，得，
由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.
②当不成立时，设直线，
代入得，且
∵
∴，即，
解得：或.
当时，过点，与条件不符，舍去.
∴ ，，过定点
∴ AP中点，由于（D为垂足），故.
综上所述，存在定点，使得为定值.
【变式2-1】已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
【解析】（1）已知双曲线C：经过点，
则，
右顶点为，不妨取渐近线为，即，
则，
从而可解得，
所以双曲线C的方程为；
（2）设，
联立，消得，
则，
则，
，
，
因为，则，
即，
即，
即，
整理得，
所以.
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例3-1】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．
【解析】（1）拋物线的焦点，则直线的方程为：，
由消去y并整理得，，显然，设，
则，因此，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点，
由消去x得，，当时，，
由，得，
显然，因此，满足，则直线：，过定点，
所以直线过定点.
【典例3-2】已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.
(1)求抛物线C和椭圆E的方程；
(2)过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
【解析】（1）因为点在抛物线C：上，
所以，得，所以抛物线方程为，
因为点在椭圆E：上，离心率，
所以，解得，
所以椭圆方程为
（2）由题意可知直线的斜率不为零，所以设直线为，，
由，得，
由，得，则，
由题意可知直线，的斜率均存在且不为零，
所以，，
因为，所以，
所以，则，
所以，得，所以直线为，
所以，所以直线恒过定点
【变式3-1】已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由已知得，设，则中点为，
关于直线对称，
点R在直线l上，
，解得，即．
又由，得直线的斜率，
，解得，
∴．
（2）证明：设直线的方程为，、均不与M重合，
由得，
，．
由（1）得，
，，
又由得，即，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
直线的方程为，即，
∴直线恒过定点．
【变式3-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．
【解析】（1）由，可得，
代入．
解得或（舍），
所以抛物线的方程为：．
（2）解:由题意可得，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，设，
由，得，从而，
则．
所以，
，
∵，
∴，
故，
整理得．即，
从而或，
即或．
若，则，过定点，与Q点重合，不符合；
若，则，过定点．
综上，直线过异于Q点的定点．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例4-1】已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）抛物线焦点坐标为，故.
设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由椭圆定义，得，
，
∴椭圆的方程为；
（2）设，
联立，
即，
，代入直线方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直线MN过定点.
【典例4-2】已知椭圆过点，且长轴长为4.
(1)求的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明；直线必过定点.
【解析】（1）依题意，，故，而，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，
由，得直线的方程为，
由消去得：，
则，故，
于是，由代替，得，
当，即时，直线：，过点，
当，即时，直线的斜率为，
直线：，令，
因此直线恒过点，
当直线之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线为轴，过点，
所以直线恒过点.
【变式4-1】已知定点，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l：的距离分别为，，且，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)当时，过点F的两条互相垂直的直线与曲线C分别交于A，B，C，D两点，弦AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点；
(3)在（2）条件下，当M，N，F三点可构成三角形时，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
由可得，化简可得，
故曲线C的方程为，表示焦点为的椭圆，
（2）由（1）知：C的方程为，
设直线方程为，,
联立与可得，
故故，进而，故，
用替换，可得，
故直线方程为，化简得，
进而，故直线过定点
当时，直线直线，此时,
直线显然经过点，
故直线恒过定点
（3）由（2）知，，
所以
，
由于,故，
由于根据奇偶性不妨只考虑，则，
记，，则，
对于可知，故，
当时，在单调递增，当时，在单调递减，
故在取最大值，，故此时面积最大值为，
当时，，故
【变式4-2】（2024·高三·天津河西·期末）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【解析】（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：，
，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例5-1】（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点 若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为，
依题意渐近线方程为，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦点，
设直线：，，，
由联立直线与双曲线，
化简得，，
故，，
，
又，则，
同理可得：
，
，
化简得，
故直线过定点.
【典例5-2】（2024·黑龙江·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
【解析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，
且点在上，
有解得故双曲线的方程为.
（2）由题意可知不与渐近线平行，
当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合.
当不与坐标轴平行时，左焦点为，
不妨设直线的方程为，联立
消去并整理得，，
设，则
所以，所以.
又直线互相垂直，用替换，则可得.
当，即时，直线的方程为，直线过；
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，所以直线过.
综上，直线恒过点.
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例6-1】已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
【解析】（1）由对称性可知等边三角形的顶点在上，
代入得：，解得：，
所以抛物线方程为：；
（2）由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，
则直线方程为，
由联立得：，
设，则，
故，同理得
故直线MN方程为
整理得：，故直线MN过定点
【典例6-2】已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）抛物线：焦点为，准线为，
设到的距离为，因为位于的上方区域，
根据抛物线的定义可知（当且仅当时取等号），
又的最小值为，所以，解得，
所以抛物线：.
（2）依题意直线和的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，，，
联立方程得，消去并整理得，
则，则，，
所以，
因为为的中点，所以，同理，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线恒过点.
【变式6-1】过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题，，
设切点，则切线方程为，,
的坐标代入，得，解得，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
（2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为CD中点，所以，
同理可得，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
【变式6-2】已知抛物线上一点的纵坐标为4，点到焦点的距离为5.过点做两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.

(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作，且垂足为，
（ⅰ）求证直线过定点，并求定点坐标；
（ⅱ）求的最大值.
【解析】（1）由题可知，，解得，或（舍），
所以，抛物线的方程为.
（2）（ⅰ）设直线，，，
联立，可得，则得，，
，同理，
①时，，
②当时，
，即，
所以直线恒过点，
（ⅱ）又，所以点在以为直径的圆上，且轨迹方程为，
由几何图形关系可知，的最大值为：.
【变式6-3】（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
【解析】（1）因为抛物线的焦点F为，
双曲线的渐近线方程为：，即，
则，解得，故抛物线的方程为：.
（2）设A，B两点坐标分别为，，则点P的坐标为.
由题意可设直线的方程为，
由得，，
因为直线与曲线C交于A，B两点，所以，，
所以点P的坐标为.
由题知，直线的斜率为，同理可得点Q的坐标为.
当时，有，此时直线PQ的斜率，
所以直线PQ的方程为，整理得，
于是直线PQ恒过定点.
当时，直线PQ的方程为，也过定点.
综上，直线PQ恒过定点.
题型七：内接直角三角形范围与最值问题
【典例7-1】设椭圆的两焦点为，，为椭圆上任意一点，点到原点最大距离为2，若到椭圆右顶点距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、，过作两条互相垂直的直线交椭圆于、，问直线是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出面积的最大值.如果不是，请说明理由.
【解析】（1）∵点到原点最大距离为2，故，
∵到椭圆右顶点距离为，∴，
解得：或5（舍去5），
∴椭圆的方程为.
（2）设：，联立，
得：，
∴，，
∵，∴，
即
，
利用韦达定理代入化简得：，
解得：（舍去）或，
∴直线过定点，
此时，，
，
令，上式①，
而，∴①，
∴面积的最大值为.
【典例7-2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
【解析】（1）由椭圆的方程，可得，可得，所以，即右焦点的坐标为，离心率,所以椭圆右焦点的坐标为，离心率.
（2）证明：当直线AB，CD的斜率存在且不为0时，
设直线AB的方程为，
设联立，
整理可得：，
可得，，
所以AB的中点，
同理可得的坐标，即，
当，的横坐标不相等时，则，
所以MN的方程为，
整理可得
所以直线恒过定点.
当，的横坐标相等时，，即时，则轴，
且此时MN的方程为，显然也过，
可证得直线MN必过定点.
（3）由（2）可得直线MN必过的定点，
可得
，
设，则，
在上单调递减，所以，
所以面积的最大值为.
【变式7-1】已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得，解得，，，，
所以椭圆的方程为.
（2）设的直线方程为，，，
联立方程整理得，
所以，
因为，
所以，
即.
所以.
整理得，解得或（舍去），
所以
所以，
令，
则，
此时最大值为.
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
【典例8-1】如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)求的最小值．
【解析】（1）解法一：设直线，
联立，得，
所以．
又因为是的中点，所以，
又
，
代入化简得，解得．
故抛物线的方程为．
解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为，
代入抛物线方程得，
化简得．
则，，
因为是的中点，所以，即．
又因为，
将代入化简得，
即，所以抛物线的方程为．
（2）解法一：
，
由（1）可得，，
因为
，
同理，
所以，
当且仅当时，等号成立，即所求最小值为．
，
而，
所以CD的倾斜角为或，同理可求得，
即，
当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为．
【典例8-2】（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．
【解析】（1）设椭圆的左焦点为，连接，
由对称性知四边形是平行四边形，所以，．
由椭圆定义知，则，．
设椭圆的半焦距为，由椭圆的几何性质知，，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）椭圆的标准方程为．则，
所以直线，
如图所示，
设，
联立，消去并整理得，．．．
所以，所以，．．
所以，．
同理可得：，所以，
所以，
由，得，
整理得，得，．
又，所以，所以或．
所以的取值范围为．
【变式8-1】已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与交于，两点，设线段的中点为，线段的中点为，求面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设点，则，得，①
因为，所以由抛物线的定义得，得．②
将②代入①中，得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）
如图，易得，不妨设直线的方程为，代入，得，
设，，点坐标为
则，，
从而，
因直线，故直线的方程为，
则同理可得．
所以的面积为

，当且仅当，即时取等号，
故面积的最小值为4．
【变式8-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，
(1)求抛物线方程；
(2)若，求的值；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．
【解析】（1）抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；
（2）由题意知：，可设直线，，，
，，即，
由得：，，
，即，
解得：，；
（3）由题意知：直线的斜率均存在，
不妨设，，，，，
则；
由得：，则，即；
，，，
；同理可得：
，，
（当且仅当，即时取等号），
面积的最小值为.
1．已知椭圆，离心率为，点在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过点作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意，，
解得，，
则E的方程
（2）法一：与面积之比为定值，定值为4，理由如下：
设直线，，，
讨论：①当，且时，
联立，可得，
，则，
所以，，
所以，
设，同理可得．
所以（，且），
所以直线，即，
所以直线MN恒过定点；
②当时，不妨设直线；，
可发现轴，且MN过，
③当时，直线MN依然过，但无法形成三角形．
综上，直线MN恒过点，
设点O，K到直线MN的距离分别是，．
法二：与面积之比为定值，定值为4，理由如下：
设直线，，，
讨论：①当，且时，
联立，可得，
，则，
所以，，
所以，
设，同理可得．
所以（，且），
所以直线，即，
则点O到直线MN的距离，
则点F到直线MN的距离，
所以，
②当时，不妨设直线；，可发现，
则点O到直线MN的距离，点F到直线MN的距离，
所以，
③当时，无法形成三角形．
综上，与面积之比为定值，定值为4.
2．已知椭圆过点，点是椭圆的右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值.
【解析】（1），则，则为椭圆上顶点，故，
故椭圆的方程为；
（2）由，斜率均存在，故可设直线方程为：，
设，，联立：，
消去得：，，
，，
即，将上式中的换成，同理可得：，
①若直线斜率不存在，此时，解得：，
则直线过点；
②若直线 率存在，则，
直线为，得，
直线过点；
综上，直线恒过定点，因为，故斜率不为0，
设直线，，当时，.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点和两点，设的中点分别为，求面积的最大值．
【解析】（1）由题意知．又，所以．
把点代入椭圆方程，得，解得．
故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率均存在且不为零．
设直线的方程为，且．
由消去，得．
所以，．
而，
所以．同理得．
若，则，此时直线的斜率不存在，可得直线．
此时，所以；
若，则直线的斜率为，
可得直线：．
化简，得．所以直线过定点．
所以
．
令，则．
因为，所以在上单调递减．
所以，即.
综上，.
所以当时，的面积取得最大值．
4．设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.
【解析】（1）选①，因为、关于原点对称，则、都在椭圆上，
则，即点不在椭圆上，故点在椭圆上，
所以，，解得，故椭圆的方程为，
则，所以，椭圆的离心率为.
选②，因为经过点，与轴垂直，且，则，
由勾股定理可得，
所以，，则，
所以，椭圆的离心率为.
（2）证明：已知是椭圆的上顶点，
若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，
设点，则，其中，且，
则，不合乎题意，
所以，直线的斜率必然存在，
设直线的方程为，、，
由可得，
，
所以，，
又，，
，
，
化简整理有，得或，
当时，直线经过点，不满足题意；
当时满足方程中，故直线经过轴上定点.
又为过点作线段的垂线的垂足，
当点为线段的中点时，若点与点重合，则；
当点与点不重合时，由直角三角形的几何性质可得.
故当点为线段的中点时，为定值，且.
5．已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点.
(1)用表示点的坐标；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的面积的取值范围.
【解析】（1）由椭圆，可得，则，
直线的斜率都存在且不为0，故可设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则和是方程的两个根据，可得，
解得，则，所以点，
同理可得点.
（2）证明：当，即时，直线的方程为，经过点.
当，即时，直线的斜率为，
直线的方程为，
令，可得，直线也过点.
综上可知，直线恒过定点.
（3）由题意，可得的面积，
令，当且仅当时，等号成立，
则，而在上单调递增，
的值域为，所以的面积的取值范围是.
6．在平面直角坐标系．xOy中，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记动点M的轨迹为曲线E，过作两条互相垂直的直线，，与曲线E交于A、B两点，与曲线E交于C、D两点，求的最大值．
【解析】（1）设点M的坐标为，
因为直线，的斜率之积是，
所以，
所以，
因为点M与，两点不重合，
所以点M的轨迹方程为．
（2）显然直线，的斜率都存在且不为0，
设，，
，，，，
联立，得，
显然，
所以，
所以，
同理，
因为直线，相互垂直，所以，
所以
，
则，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为．
7．（2024·高三·江苏镇江·期末）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值．
【解析】（1）由题意：，则，
故椭圆的方程为；
（2）证明：当斜率均存在时，设直线方程为：，
设，则，
联立得，得，
直线过椭圆焦点，必有，
则，故，
将上式中的换成，则同理可得：，
如，得，则直线斜率不存在，
此时直线过点，设点为P，下证动直线过定点.
若直线斜率存在，则，
直线为，
令，得，
即直线过定点；
当斜率有一条不存在时，不妨设AB斜率不存在，则CD斜率为0，
此时M即为F，N即为O点，直线也过定点，
综上，直线过定点；
（3）由第（2）问可知直线过定点，
故
，
令，，
则，则在单调递减，
故当时，取得最大值，此时取得最大值，此时.
8．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值；
(3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围.
【解析】（1）依题意该动圆的圆心到点与到直线的距离相等，
又点不在直线上，
根据抛物线的定义可知该该动圆圆心的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，
所以曲线的方程.
（2）设，
依题意直线、的斜率存在且不为，不妨设为、，且，
直线的方程为，
联立方程，得，显然，
∴，
同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线的定义可知：
，
当且仅当（或）时取等号.
的最小值.
（3）由题设，则且，直线、的斜率存在且不为，
设，令可得，
设，令可得，
由于直线与圆相切，所以，
化简可得:，
由于直线与圆相切，
同理可得:，
故是关于的方程的两个根，
所以，，且，
故
因为，
所以
因为，所以，所以，
所以，即当时取最小值，最小值为，
所以三角形面积的取值范围为.
9．已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线，分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）设，当时，符合题意；
当时，因曲线C上的点P到点的距离与到y轴的距离之差为1，
则点P到点的距离与到直线的距离相等，
因此，曲线C是以点为焦点，顶点在原点的抛物线，其方程为：，
所以曲线C的方程是：，
（2）显然，过点M的抛物线C的切线斜率存在且不为0，设切线方程为：，
由消去x并整理得：，
依题意，，
设切线，斜率分别为，则，，
设，，因此，，，于是得，，
，直线AB上任意点，，
由得：，化简整理得：，
则直线AB的方程为：，因直线，互相垂直，则，即，
于是得直线AB：，即，
无论取何值，直线AB都过点，
所以直线AB过定点，定点坐标为.
10．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1），解得：
故抛物线C的方程为：..
（2）由题可得，直线的斜率不为
设直线：，，
联立，得：，
，..
由，则，即
于是
，所以
或.
当时，
直线：，恒过定点，不合题意，舍去.
当，，直线：，恒过定点
综上可知，直线恒过定点.
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，点P为该椭圆上一点，且△F1PF2的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.
【解析】（1）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为
联立方程，消去得，
所以，
由题意可得，则
由题意可得
，
所以，
化简整理得，解得或，
当时，直线过定点不符合题意，
所以，
所以
，
令，
则
，
当时，.
12．（2024·新疆·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为.
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和，与抛物线交于P，Q两点，与抛物线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
【解析】（1）设抛物线标准方程为，其中，
由题意得，解得，则焦点，
故抛物线标准方程为.
（2）,由题意知直线的斜率都存在且不为，
设直线的方程为,
则直线的方程为,
由得，则，
所以,
所以,
所以.
用替换可得，所以.
所以
,当且仅当,即时等号成立，
所以面积的最小值为16.
13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|的最小值为1.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和C，D，点H，K分别为的中点，求△EHK面积的最小值.
【解析】（1）抛物线定义，，∵，∴，∴抛物线T的方程为：
（2）由题意可知，直线AB不与y轴垂直，所以设直线AB的方程为.
设A（），B（）
由
∴，同理
∴
同理
∴
当且仅当时取等号，故△EHK面积的最小值为4.
14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0
直线，分别为，，
联立得，
由得，则或，
同理，则，
所以k的取值范围为．
（2）设，，由（1）得，
所以，则，
所以，则，
同理，
则直线的方程为，
化简整理得
因此直线经过一个定点．
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