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重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题　
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：弦长最值问题 2
题型二：三角形面积最值问题 11
题型三：四边形面积最值问题 16
题型四：弦长的取值范围问题 22
题型五：三角形面积的取值范围问题 28
题型六：四边形面积的取值范围问题 36
题型七：向量数量积的取值范围问题 40
题型八：参数的取值范围 45
03 过关测试 52
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，上 下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.
【解析】（1）由题意可得，可得，
，或，
所以椭圆的方程为：或；
（2）由以线段为直径的圆与椭圆无公共点，得，
所以椭圆的标准方程为：，
因为，所以点在椭圆外，
设，
当直线的斜率存在时，，
由，可得，解得，（*）
设直线，
联立，整理可得：，
由，
整理可得：，解得或，
且，
代入整理可得，
代入直线的方程，得，
可得，
当直线的斜率不存在时，，则，
由，得，也满足方程，
所以点在直线（在椭圆内部）上，
设点关于直线的对称点为，
则解得，
所以，
此时点在椭圆内，符合题意，
所以的最小值为.
【典例1-2】过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．
【解析】
解法一：由且，得，
说明P，Q关于椭圆调和共轭，则Q在对应的极线上，此极线方程为，即，
故的最小值就是点O到直线的距离．
解法二：构造同构式
设点Q，A，B的坐标分别为，
由题设有，则，
又Q，A，P，B四点共线，故可设．
则.①.②
点在椭圆上，将①代入椭圆方程，整理得③，
点在椭圆上，将②代入，整理可得④，
由③④知μ，－μ是方程的两根，
由韦达定理得，点Q的轨迹方程为，
故的最小值就是点O到直线的距离．
解法3：定比点差法
设，由，得，
同理，由，得，
∴，（*）
由，作差整理得，
代入（*）式有，∴点Q的轨迹方程为．
故的最小值就是点O到直线的距离．
【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【解析】（1）由椭圆得：左右焦点分别是，
因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：，
所以，
又由一条渐近线是，可得，所以，
即双曲线的方程为：，
（2）
设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设，则
则，
同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设，则
则，
再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得：
，
由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得：
，化简得：，
点（异于顶点），所以，即，
则
，
当且仅当，即时，有最小值.
【变式1-2】已知曲线：.
(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；
(3)若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.
【解析】（1）因为曲线：为双曲线，
若焦点在轴，则，又渐近线方程为，
则，即，解得或（舍去），
此时曲线的离心率；
若焦点在轴，则，又渐近线方程为，
则，即，解得（舍去）或，
此时曲线的离心率，
综上可得曲线的离心率为或.
（2）依题意，解得或，
当时曲线：，符合题意；
当时曲线：，符合题意；
设直线的方程为，直线的方程为，为不失一般性设，
则根据点到直线的距离公式可得，
化简得，
同理可得，
所以，是一元二次方程的两实数根，，
则有，
又点，所以．
（3）当时曲线：，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得，则，
即，
因为点关于原点的对称点为，所以，
此时，
所以直线的方程为，
当时，解得，即，
所以，
则，
因为，
所以，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，最小值为．
故的最小值为．
【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，
故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
题型二：三角形面积最值问题
【典例2-1】已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，
所以，即，，所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率不为，且斜率不可能不存在（否则重合），所以设直线的方程为：，
与椭圆的方程联立，得，
消去，得，
所以，
设，，则，
由根与系数的关系，得 ，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为，
令，得，
即直线与轴交于一个定点，记为，
则，等号成立当且仅当.
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．
(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，故，
而在椭圆上，故，
故，故椭圆方程为：，
由可得，
故即即.
（2）当时，直线，故，
由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
到直线的距离最大及的面积最大，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
到直线的距离最大及的面积最大，
由（1）可得相切时即，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方，
此时到的距离为，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方；
此时到的距离为，
又
故.
【变式2-2】点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)记的面积为，的面积为，求的最小值.
【解析】（1）
由题意得，，，
联立解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）
，其中是下顶点，，
注意到，设，
所以，
由复合函数单调性可知，当时，有最小值1，注意到，所以的最小值为1，
即的最小值为1.
【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，，
由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）显然，设，则，
由消去得，，
则，
又，而与同号，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
题型三：四边形面积最值问题
【典例3-1】记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求；
(3)求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）．
【解析】（1）设点，则，则.
由题知，直线的方程为，
直线的方程为，联立直线和的方程有，
设，则代入，得到,
点Q的轨迹方程为．
（2），
同理可得，，，
由对称性，可设，时，则，；
所以，此时；时，由对称性可设，
设l与x轴交于点M，则由初中几何有，，
代入有，此时．综上所述，．
（3）由（2）同理可证明，记四边形，，的面积分别为，，，
则，
由前面知，，，
当且仅当时取等；在中，有，
代入数据有，，
当且仅当时取等，，
当且仅当时取等．
综上所述，四边形面积的最大值为．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为，焦距长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)直线与椭圆交于两点，且关于原点的对称点分别为，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
【解析】（1）由题意得，，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）依题意，, 如图①所示，
所以,且.
因为,
当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号，
所以的周长最大值为.
（3）设，如图②所示，
由得，，
所以，，
所以
，
因为
，
所以，
因为与无关，
所以，即，，
此时，，
所以，
，
由题意可知，四边形为平行四边形，
因为点到直线的距离，
所以
，
所以，
因为，
所以，四边形面积最大，
故直线的方程为或.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
【解析】（1）圆，圆，
设圆的半径为，
由已知得，，从而，
故圆心的轨迹为以为焦点的椭圆（不含左顶点），
又，
从而轨迹的方程为.
（2）
（i）设，，，直线的斜率为，
由直线TP与TQ的斜率之积为，则存在且，
则，只需证且.
联立，消得，
整理得：，
， ，
以代得，
故.
又，
，
故三点共线.
（ii）由（i）知，则，
的方程：，从而，
则，
由，当且仅当取等号，
故，即四边形面积的最大值为.
【变式3-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.
【解析】（1）设，又离心率，则.
，则.
法一：则C：，点代入得，
法二：则，点代入得，
所以C方程为：.
（2）因为，而的面积为定值，所以只要的面积最大.
设，则①.
， ，则线段AM长度为定值.
由图知，P在直线的上方，直线：，
P到直线的距离为
只需求的最大值.
法一：设，代入得：，
因为，得.
当时，联立①，解得：，.
法二：因为
.
所以，
当且仅当时，.
所以当四边形的面积最大时，此时点P坐标为 ().
题型四：弦长的取值范围问题
【典例4-1】已知椭圆 的左右顶点为A ，A ， 左右焦点为F ，F ，过F ，F 分别作两条互相平行的直线l ，l ，其中l 交E于A，B两点， l 交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A C与A A交于点P. 当l 与x轴垂直时，△PF F 是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A C与直线A A的斜率之和为1， 求直线l ，l 的方程;
(3)求 的取值范围.
【解析】（1）
设,
故直线的方程为
由,得, 所以
不妨设，
由△PF F 是等腰直角三角形可得
所以直线方程为：，同理可得方程为：，
所以交点，
由△PF F 是等腰直角三角形面积为1可得
解得，
又在直线上，
所以,
所以，又，
所以
所以椭圆方程.
（2）
由图形对称性可得：，
所以，
设,
将 和椭圆得方程联立得
所以
,
故直线直线
（3）
易得点关于原点对称，
由(2)知,
则直线，直线 ,
将两式相乘得 ，
其中 ，
故点P的轨迹方程为：，即
设 则
当时， ,
当时，, , ,
综上， ,
故.
【典例4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）联立方程：，解得或，
即点为或，
将点代入双曲线C：可得，解得，
所以.
（2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为.
因为点在双曲线上，则，
显然直线过点，
即，，
联立方程，消去y可得，
即，则，解得，
所以在双曲线上一点处的切线方程为.
设，，则，
可得线段OP的垂直平分线为，即，
设直线与双曲线C切于点，则直线，
则，即，
且，即，整理可得，
又因为在双曲线C上，则，即，
可得，解得（舍负），
则，
令，则，可得，
令，则关于x的方程有正根，
即关于t的方程在内有根，
设，
若，即，则，不合题意；
若，即，则，解得，不合题意；
若，即，则，解得；
综上所述：，
则，即.
【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.
【解析】（1）由题可知，的坐标为，
则.
易知的方程为，不妨设与相交于点，，
则，整理得，
则，
可得
故的方程为.
（2）由题可知，直线的斜率一定存在，
设：，，，则，.
联立方程组整理得，
则，
,.
由，在轴的上方，所以，，
可得.
，则.
由，得，
则，
故的取值范围为.
题型五：三角形面积的取值范围问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
因为点在椭圆上，所以.
即，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）
解法一：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，
设，则，
，
由得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，
令且，
则，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
解法二：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，
所以，
设，则，
，
令且，
则代入可得，
消去得：，
因为，所以，
所以，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
【典例5-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点.
(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围
【解析】（1），点在上，
故，
又，
，，
的方程为.
（2）斜率存在，设：，与联立消去得：
，设，，
则，
，，
又，
设，则，，则，则，
，
，
，
即，
化简得，
，
（舍去），
因为当时，，故点与重合，不合题意，
：直线过定点；
（3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径，
在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径，
，
，故，
由于，分别为和的外接圆面积，
故，
则，
设：，与联立消去得：，
设，，则，，
，，
，，
因为，所以，，，
.
【变式5-1】（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②面积的取值范围.
【解析】（1）由圆，可化为标准方程，
所以圆心，半径为，
设与轴交于点，如图所示，
因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且，
所以在直角中，，所以，则，
又由抛物线C过点，即，则，
所以抛物线C方程为.
（2）联立方程组，解得点，，则，
设动点，
则直线的斜率为，直线，
直线的斜率为，直线，
将抛物线C代入直线AN得，
解得点，则直线BN的斜率为，
所以直线，
①联立方程组，整理得，
因为点P在直线l的左边，则，即，
所以，则，
又因为，且，由，可得且，
所以点P的轨迹方程为且.
②设，则P到直线l的距离，
因为，则，
则，
又因为且，所以，所以
【变式5-2】（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，.
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.
【解析】（1）因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线的斜率不为0，
不妨设l的方程为，，，
联立l与C的方程，得，
∴，，
则，
∴由题可知当时，，
∴，
∴C的方程为.
（2）由（1）知，
将R的纵坐标2m代入，得，
易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P，
∴，
则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得，
∴，
∴Q，R的纵坐标相等，
∴直线轴，
∴，
∴，
∵点Q异于原点，
∴，
∵，
∴，
∴，即.
题型六：四边形面积的取值范围问题
【典例6-1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，
①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，、，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
综上，.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设、，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.
【典例6-2】（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点.
(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
(2)若，求直线的方程；
(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题，右焦点，渐近线方程为，
因此焦点到渐近线的距离为.
（2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为，
由，得，
由，得，
其中，恒成立，
，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直线的方程为.
（3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得，
四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.
由题，设，直线程为，直线方程，
由第（2）问，易得，
因为，得，因而，
平行线与之间的距离为，
因此，.
令，则，
得在上是严格增函数，
故（等号当且仅当时成立），
所以，四边形面积的取值范围为.
题型七：向量数量积的取值范围问题
【典例7-1】椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．当直线与轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【解析】（1）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：．
解方程组得．
由于抛物线、椭圆都关于轴对称，
∴，，∴．
∴又，
因此，，解得，并推得．
故椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
①若垂直于轴，则，
∴
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由得
∵，∴方程有两个不等的实数根．
设．
∴
，则
综上，
所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
【典例7-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意设点，由于，
故，整理得，
即的轨迹方程为；
（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，
设直线的方程为，令，则可得，即，
直线，同理求得，
又直线的方程为，
令，得，即，
故
，
当时，取到最大值12，
即存在最大值，最大值为12.
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆C的方程为且，
因为椭圆C过点与点，所以，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，
由，得，
即，则.
直线的方程分别为.
令，则.
则，
，
所以
.
因为，所以.
即的取值范围为.
所以存在最小值，且最小值为.
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
【解析】（1）动点到定点与定直线的距离之比为常数
∴；化简整理得：
（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．
由于点在椭圆上，所以．
由已知，则，，
∴
由于，故当时，取得最小值为．
此时，
故圆T的方程为．
【变式7-3】已知椭圆经过点，为右焦点，为右顶点，且满足（为椭圆的离心率，为坐标原点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值．
【解析】（1）由题意知，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，其中，设点、，
，即，
，
由韦达定理可得，，
，，，
，，
令，
若，则关于的一元二次方程有解，
则，整理可得，
设的最大值和最小值分别为、，
则、为一元二次方程的两不等实根，由韦达定理得；
若，则，满足不等式，但不是的最值.
综上所述，．
题型八：参数的取值范围
【典例8-1】如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，，则在中，，
由抛物线的定义得，，
故，则，即，
设，则，解得，
过点作⊥于点，
因为，所以，
因为，所以，
故，，
所以，解得；
（2）由（1）可知抛物线方程为：，设，，
设，联立，整理得：，
因为，所以，
由韦达定理得，，
因为，则，故，
故，
将代入（*）式得，
因为存在，使得，
所以有对有解，
而，所以，
解得，或，
因为，所以.
【典例8-2】（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
【解析】（1）因为点P在椭圆C上，所以，解得；
所以椭圆C的方程为，故，
设动点，则，所以，
故，，
所以．
（2）不妨设，的外接圆半径为，
则由正弦定理得，
所以.
如图，过作直线的垂线，垂足为，
过作于点，由（1）的结论可得，
所以，即，
所以，又，得，
则，即，
所以，当且仅当时等号，
所以的最大值为.
【变式8-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．
①若直线的倾斜角为，求线段的长度；
②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
【解析】（1）由题知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
①当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
由，消得到，
所以，
所以.
②由（1）知，易知，
设直线，由，消得到，
所以，
设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，
又，所以的最大值为.
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左 右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【解析】（1）焦点在抛物线的准线上，则椭圆半焦距，
当点为短轴顶点时，面积最大，此时，
则，
所以椭圆方程为.
（2）当轴时，显然，
当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由消去得，，
设，线段的中点，
则，
线段的垂直平分线方程为，
令，得，显然，当且仅当时取等号，
当时，；当时，，于是或，
所以的取值范围是.
【变式8-3】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围．
【解析】（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为
抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆的一个顶点为，即．
由，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）得，则，设，，，
结合题意可设直线l的方程为．
由，消y得，
直线l过椭圆焦点，必有，∴，
则
，，
∵，∴，
∴，
两边同除以，有，
∴，
∴
∴m的取值范围为．
1．已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
【解析】（1）椭圆过点，得①，
，，即②，
由①②联立解得，则椭圆方程为
（2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，
联立，得，
则，即或，
，
则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，
则，
当且仅当，即，即时等号成立，
故面积的最大值为.
2．（2024·新疆·三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.
(1)求和的方程；
(2)记，求的最小值.
【解析】（1）设直线的方程为，设，，联立,
整理得，所以，
所以当时，有最小值，所以，解得，
又因为离心率为，所以，则，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）
由（1）可得，，所以，
设直线的方程为，
联立，整理得，解得，
同理可设直线的方程为，可解得，
.
所以当时，有最小值.
3．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段上存在点M使得，求的最小值.
【解析】（1）由题意即，解得，所以，
所以椭圆E的方程为；
（2）因为，所以点在椭圆E外，设，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得，
由得，
解得或，所以，，
由得，所以，
则，消去k得；
当直线斜率不存在时，也满足，
所以点M在直线上且在椭圆E的内部，设关于直线对称点，
则，解得，
所以，此时直线方程为，
由得，点M在椭圆内部，使得的最小值为.
4．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．
【解析】（1）由题意得，，
所以椭圆E的方程为.
（2）①由（1），，，故可设直线，
联立，
则，设，
则，，，
由题意可知直线与直线斜率存在，
则，，
联立
，
所以，故点Q在定直线上.
②由上以及，得：
，，
故，， 即，，
所以，
因为，故，所以最大值为，即的最大值为.
5．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线交于，两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图.

(1)求的方程：
(2)若过作，垂足为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最大值.
【解析】（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：
（2）(i)设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，
所以，故，
又，
同理，，
由，，三点共线，得，
所以，
直线的方程为
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在轴上，
令得，
，
故直线过定点.
（ii）由题意知点，点的轨迹为以，为直径的圆（除，外），
圆心为，半径为，故.
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．
(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；
(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
【解析】（1）
因为的长轴长为8，短轴长为4，所以，，
联立方程，得，
又与有唯一的公共点，所以，
即，的横坐标为，
把代入中，，所以，
过且与垂直的直线为，则，
所以，，又，所以，
即，所以的轨迹方程为．
（2）
因为的长轴长为4，短轴长为2，所以，
，左焦点，
当斜率为0时，分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点，
当斜率不为0时，设，
由得，
设，则，
，
椭圆在轴上方对应方程为，
则点处切线斜率为，
点处切线方程为，即，
同理可得点处的切线方程为，
由得，
代入①得，
所以，所以，
而，
所以，即，又，
所以．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
则当时，．
所以面积的最小值为.
7．（2024·辽宁·模拟预测）动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设A，B为的左右顶点，点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值．
【解析】（1）设，由题意，
化简得线的轨迹方程为．
（2）解法1：
，，设，则，
所以直线AM与BM的斜率之积为．
因为直线BM与BN的斜率之积为，
所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为，设，
由得，．
由对称性知MN经过x轴上的定点，因为，
由，得，所以MN经过定点．
所以
设，因为，所以．设，，
因为当时，，
当时，，所以．
因此，
当且仅当取等号，取等号时，，．
于是当，时，取最大值．
解法2：
，，设，则，
所以直线AM与BM的斜率之积为．
因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为，设，
由得，．
由，
知，
故点N在上．
由对称性知MN经过x轴上的定点，
因为，
由，得，所以MN经过定点．
可知MN不垂直于y轴，设，
联立得，
因为，所以，
因此
由，得，
当，时等号成立，
于是取最大值．
解法3：
可知BM不垂直于x轴，设BM的斜率为k，则，
联立得．
由得，从而．
所以的斜率为，
故．
因为直线BM与BN的斜率之积为，
所以．
由得，从而．
所以，
当时，，所以MN经过定点．
因此．
因为，当且仅当时取等号，
所以．
于是当，时，取最大值．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点.
(1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点.
(2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值.
【解析】（1），即，，
故可设，，，
设，，
联立，得，且，
所以，则，
设，易知：，所以，，
有，
即，
所以，得，且该解同时满足以上方程，故该圆经过定点.
（2）时，，令，
联立，得，
，，
设中点为，，
，又在轴上，
所以，得，，
由于斜率为正的渐近线为：，，故在的异支上，
，，
所以，，
故，当且仅当，即时等号成立，
所以.
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【解析】（1）M为的垂直平分线上一点, 则 ，
则
∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线, 且，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则 ，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ，
则 ，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
10．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左 右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
【解析】（1）由题意可知，，即，故的方程为：.
因为在第一象限，不妨设，则可变形为，
则，代入得：，所以切线方程为，
令得,所以点坐标为.
（2）
显然直线的斜率存在且不为，
设，则，
联立方程，整理得：，
，
由三点共线得：，即，
整理得：，
所以，整理得，
满足，所以直线过定点，则且线段垂直于x轴，
令分别表示到的距离，
结合图，显然，仅当为右顶点时两式中等号成立，
所以
，当且仅当时等号成立.
11．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
【解析】（1）设双曲线的渐近线为，
因为点在双曲线的一条渐近线上，所以，
又，故，
又解得，故双曲线的方程为.
（2）
如图，当直线斜率不存在时，，满足题意；
如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得，
当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点，
此时，，
此时直线方程为：，即
综上：直线的方程为或.
（3）由题，直线斜率存在，
设直线方程为，即，，
联立，整理得：，
则
由弦长公式：
令，则,
则,，则
令,与同正负.，此时，则，即单调递增，
则，且，
则，使得
则当，即，则单调递减.
当，即，则单调递增.
则在出取得最小值,且，
故
即，原命题得证.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
【解析】（1）因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
由，，得，，所以的方程为.
（2）（ⅰ）设直线：（）
因为直线过定点，所以.
变形可得，即
所以
整理得（*）
设，则（*）式除以得
此时，是方程的两根，所以，
所以，得证.
（ⅱ）设直线：，由，可得；
设直线：，同理可得；
.
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
13．（2024·山东日照·三模）已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，.
（i）求证：为定值；
（ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围.
【解析】（1）设双曲线C：，由题意得，，
则，，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）如图：
设，，，
由与，得，
即，，
将代入的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②.
由①②知，，是关于的一元二次方程的两个不等实根.
显然，由韦达定理知，所以为定值.
（ii）由，即，
整理得：，
又，不妨设，则，
整理得，
又，故，
而由（2）知，，故，
代入，
令，得，
由双勾函数性质可知，在上单调递增，
所以的取值范围是，
所以的取值范围为.
14．已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
【解析】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程，
所以，即，又，从而，
所以双曲线的方程为；
（2）显然直线不与轴平行，可设其方程为，
由，得，
设，，则由韦达定理可得，，
因为，所以，
即，
整理得，即，
而显然直线不经过点，所以，，
故直线经过定点，得证.
（3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点，
所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值，
此时，所以点到直线距离的最大值为.
15．（2024·安徽·三模）已知双曲线的离心率为2，动直线与的左 右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左 右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
【解析】（1）设的半焦距为，
由题意知离心率，可得，
联立方程组，整理得，
其中且，
则，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）因为点到的距离为1，可得，则.
联立方程组，整理得，
其中，
且，
因为直线与的左 右两支分别交于点，可得，所以，
又因为，故，
且，
因为，故，
由（1）可知，则，
故，
又由，故，
即的最小值为.
16．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
【解析】（1）（i），所以直线.
直线与联立可得，解得或，所以.
所以，所以；
（ii）法1：①直线斜率存在时，可设直线的方程为，设
由得
所以.
当时，由（i）可得；
当时，设的斜率分别为.
.
所以，
.
所以.
因为在第一象限，所以，所以，所以.
②直线斜率不存在时，可得，
可得，
所以，同理可得.
综上可得，为定值，得证.
法2：①时，由（i）可得；
②时，设的斜率分别为.
设，由在直线上可得.
与联立可得，
即，
所以就是方程的两根.
所以，
，
因为在第一象限，所以，所以，所以.
综上可得，为定值，得证.
（2）由（1）可得时，.
①不存在，则，由①（i）可得，所以，
所以.
②不存在，则，则，
此时，由图可得.
③法1：若和均存在，设，则
与双曲线联立可得.
所以.
所以，
所以.
设与的外接圆半径分别为，
从而.等号当且仅当时取到.
所以与的外接圆半径之比的最大值为2.
（按逆时针排列）
(1)当时，判断四边形的形状；
(2)设为坐标原点，证明：为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．
【解析】（1）当时，四边形为正方形，理由如下：
此时，
又，
，
由，
故四个交点坐标分别为，
且⊥，
为正方形；
（2），
将代入，，
化简得
，
设，
由“公式”知，
，
故
．
（3）记，，，．
当在内部时，设，
．
当且仅当四边形为正方形取等．
当在外部时，设，
.
综上，四边形面积最大值为8．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题　
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：弦长最值问题 2
题型二：三角形面积最值问题 4
题型三：四边形面积最值问题 6
题型四：弦长的取值范围问题 7
题型五：三角形面积的取值范围问题 8
题型六：四边形面积的取值范围问题 10
题型七：向量数量积的取值范围问题 10
题型八：参数的取值范围 12
03 过关测试 14
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，上 下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.
【典例1-2】过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．
【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【变式1-2】已知曲线：.
(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；
(3)若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.
【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
题型二：三角形面积最值问题
【典例2-1】已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．
(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．
【变式2-2】点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)记的面积为，的面积为，求的最小值.
【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
题型三：四边形面积最值问题
【典例3-1】记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求；
(3)求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为，焦距长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)直线与椭圆交于两点，且关于原点的对称点分别为，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
【变式3-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.
题型四：弦长的取值范围问题
【典例4-1】已知椭圆 的左右顶点为A ，A ， 左右焦点为F ，F ，过F ，F 分别作两条互相平行的直线l ，l ，其中l 交E于A，B两点， l 交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A C与A A交于点P. 当l 与x轴垂直时，△PF F 是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A C与直线A A的斜率之和为1， 求直线l ，l 的方程;
(3)求 的取值范围.
【典例4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.
题型五：三角形面积的取值范围问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【典例5-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点.
(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围
【变式5-1】（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②面积的取值范围.
【变式5-2】（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，.
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.
题型六：四边形面积的取值范围问题
【典例6-1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【典例6-2】（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点.
(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
(2)若，求直线的方程；
(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.
题型七：向量数量积的取值范围问题
【典例7-1】椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．当直线与轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【典例7-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
【变式7-3】已知椭圆经过点，为右焦点，为右顶点，且满足（为椭圆的离心率，为坐标原点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值．
题型八：参数的取值范围
【典例8-1】如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
【典例8-2】（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
【变式8-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．
①若直线的倾斜角为，求线段的长度；
②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左 右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【变式8-3】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围．
1．已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
2．（2024·新疆·三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.
(1)求和的方程；
(2)记，求的最小值.
3．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段上存在点M使得，求的最小值.
4．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．
5．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线交于，两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图.

(1)求的方程：
(2)若过作，垂足为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最大值.
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．
(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；
(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
7．（2024·辽宁·模拟预测）动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设A，B为的左右顶点，点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点.
(1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点.
(2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值.
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
10．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左 右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
11．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
13．（2024·山东日照·三模）已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，.
（i）求证：为定值；
（ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围.
14．已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
15．（2024·安徽·三模）已知双曲线的离心率为2，动直线与的左 右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左 右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
16．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
17．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）
(1)当时，判断四边形的形状；
(2)设为坐标原点，证明：为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．
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