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重难点突破10 圆锥曲线中的向量与共线问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：向量的单共线 2
题型二：向量的双共线 4
题型三：三点共线问题 6
题型四：向量中的数量积问题 8
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 10
03 过关测试 11
首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
题型一：向量的单共线
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知异于F的动点P，使得.
（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
（ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值.
【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
【变式1-2】设直线l：与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
(1)证明：；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．
【变式1-3】已知点，椭圆上的两点．满足，则当为何值时，点横坐标的绝对值最大？
【变式1-4】在直角坐标系中，已知．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值．
题型二：向量的双共线
【典例2-1】如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.
【典例2-2】已知椭圆的方程为，分别是的左、右焦点，A是的上顶点.
(1)设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长；
(2)给定点，直线分别与椭圆交于另一点，求的面积；
(3)设是椭圆上的一点，是轴上一点，若点满足，，且点在椭圆上，求的最大值，并求出此时点的坐标.
【变式2-1】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；
(3)设，，求的取值范围.
【变式2-3】（2024·辽宁·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：为定值；
题型三：三点共线问题
【典例3-1】（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；
(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.
【典例3-2】（2024·高三·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
【变式3-1】（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
【变式3-2】已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
【变式3-3】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于两点，A关于x轴对称的点为M，证明：三点共线.
【变式3-4】（2024·上海松江·一模）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；
题型四：向量中的数量积问题
【典例4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，线段的中点分别为，．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求．
【典例4-2】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长交椭圆于，若，求直线的方程.
【变式4-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；
(1)求的离心率；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【变式4-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【变式4-4】已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．
(1)若，求的值；
(2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上．
【变式4-5】（2024·高三·山东·开学考试）已知椭圆，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点．
(1)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(2)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例5-1】如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于，证明：为定值.
【典例5-2】如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
【变式5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，过点不与轴重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：线段的中点在直线上；
(3)过点作轴的平行线，与直线的交点为，证明：点在以线段为直径的圆上．
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
3．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
5．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．

6．（2024·吉林长春·一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
8．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线的左顶点为，直线与的一条渐近线平行，且与交于点，直线的斜率为．
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，问：是否存在满足的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
9．如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
11．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
12．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
14．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．
15．（2024·高三·山东临沂·期末）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
16．在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线．
(1)求的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围．
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，双曲线的左 右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值.
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目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 2
题型一：向量的单共线 2
题型二：向量的双共线 12
题型三：三点共线问题 22
题型四：向量中的数量积问题 30
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 39
03 过关测试 44
首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
题型一：向量的单共线
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知异于F的动点P，使得.
（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
（ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值.
【解析】（1）当时，由对称性可知轴，
，
的标准方程为．
（2）（i）（方法一）点异于点，
设，直线的方程为，
联立方程，得，
，
由可知
三点共线，且且，
点在线段的延长线或反向延长线上，
则，设，则，
由，则，代入上式得，
，
把，代入上式得，命题得证．
（方法二）点异于点，
设，由可知
三点共线，且且，
点在线段AB的延长线或反向延长线上，，设，则，
，
，
将①式减去②式，得，
即，
则，
点在定直线上，命题得证．
（ii）当时，由（i）可知
故解得
不妨设A在第一象限，则将代入C的方程，
得，
，
则直线的方程为，即，
设，由可知，
化简得，
点在以为圆心，3为半径的圆上，且不在直线上，
在直线上，
面积的最大值为．
【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.
【解析】（1）不妨设，
因为的重心，所以，
所以，
又短轴长为6，所以，代入解得，
所以椭圆方程为:；
（2）由上可知，设中点，
则，
又，消去并整理得，
同理，
又，
由题意得，
即，
因B，D在上，易得，化简得，
所以线段中垂线的斜率，
线段中垂线方程:，
令得，
又线段中点在椭圆内所以，
所以；
（3）设，由得，
联立消整理得，
得，
所以，
当时，，
当时，，
解不等式得.
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
【解析】（1）设，由题意得，
化简得:.
（2）设：，
与联立得，，因为，则定点在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，
所以
因为，所以，即，
所以③，
由①③得，
将④⑤代入②，得，
化简得，，解得.
【变式1-2】设直线l：与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
(1)证明：；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．
【解析】（1）将直线和椭圆联立，得到，
化简即为，即，即.
因为直线与椭圆有两个交点，故该方程有两个不同的解，从而判别式，
直接计算知：
，
所以，故，从而.
（2）
由于直线和轴的交点为，故，半焦距.
由于点在直线上，故可设，而，故，从而.
将和的坐标代入椭圆方程，知：
故关于的方程有两个不同的解，.
该方程可化为，即，
即，即.
显然，
所以，.
由于，故，从而，这意味着，故.
而我们有
，
这就得到，所以，
所以.
而，故，所以.
从而，故.
于是，.
所以椭圆的方程是.
【变式1-3】已知点，椭圆上的两点．满足，则当为何值时，点横坐标的绝对值最大？
【解析】设，，
由可知：，
因为，则，整理得，
因为A,B在椭圆上,所以，
则，即，
与相减得：，
所以，，
即当时，的最大值为4，即的最大值为2．
所以当时，点横坐标的绝对值最大．
【变式1-4】在直角坐标系中，已知．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，化简得，
所以P的轨迹C的标准方程为．
（2）①因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，
所以．
设点，
所以,
由题意得，，
相减得，
所以，
所以，
所以，
所以，
同理得，，又，
相乘得，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以l与ON相交．
②l的方程为，直线DE的方程为,
直线ON的方程为，
联立得，，
故，
又
，
当且仅当即时取等号，
又，即当且仅当时取等号，
所以，故的最大值为．
题型二：向量的双共线
【典例2-1】如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.
【解析】（1）因为，
所以，
所以，半径，
因为线段的中垂线交线段于点，
所以，
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，，
故曲线E的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，
与y轴不相交，不合题意，舍去，
当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，
设，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因为直线与y轴的交点为C，所以，
所以，，
，，
又因为，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以为定值，原题得证.
（3）设，显然的斜率存在，，，
设的方程是，
由消去y得，
则，即，
由韦达定理得，
根据已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
则或，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点与M重合，舍去，
故直线经过定点，
又因为，
所以D在以线段MK为直径的圆上.
所以F为线段MK的中点，即，
所以为定值.
【典例2-2】已知椭圆的方程为，分别是的左、右焦点，A是的上顶点.
(1)设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长；
(2)给定点，直线分别与椭圆交于另一点，求的面积；
(3)设是椭圆上的一点，是轴上一点，若点满足，，且点在椭圆上，求的最大值，并求出此时点的坐标.
【解析】（1）由题意可知：，
所以的周长为.
（2）
由题意可知：，且在椭圆上，
因为，可知，
则直线的方程为，
联立方程，解得或，
即，
所以的面积为.
（3）设，
则，
因为，则，
解得，即，
且，则，
又因为，则，
解得，即，
因为点在椭圆上，则，
整理得，
其中，
可知，解得，
即的最大值为，
代入可得，
即，
联立，解得，即，
综上所述：的最大值为，此时.
【变式2-1】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）依题意点、、三点共线，点、、三点共线，
则的周长为，
则的周长为，
所以，即，
椭圆的离心率为．
（2）解法一：设且，则有，即，
由题由，
可得，则，
由题设直线，联立，
化简整理可得
显然成立，故，，
同理可得，
（定值）.
解法二：设且，则由，即有①，
由题，由，可得，
则，，
点在椭圆上，则，则将上式代入整理得②，
②-①整理化简得，同理可得，
（定值）.
【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；
(3)设，，求的取值范围.
【解析】（1）因为椭圆经过点，
所以解得（负值舍去）．
由的面积为可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，．
联立，消整理可得．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，解得，
因为，所以的取值范围是，
所以，，
则
，
因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，
则，即，解得（负值舍去），
所以直线的方程为.
（3）因为，，，，
所以直线的方程是：，
令，解得，所以点的坐标为．
同理可得点的坐标为．
所以，，．
由，，
可得，，
所以，
同理，
由（2）得，
所以
，
因为，所以，所以，
则，所以，
所以的范围是．
【变式2-3】（2024·辽宁·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：为定值；
【解析】（1）由题知，得到，又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设，，
则，，，，
由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，
易知，所以，得到，
同理，由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，
易知，所以，得到，所以，
即为定值.
题型三：三点共线问题
【典例3-1】（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；
(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.
【解析】（1）如图所示，
由，可得，
所以，
即，因为，
所以，解得，，
所以的标准方程为.
（2）由题意知，直线斜率不为，如图所示，
设，，而，
由，整理得，
显然，则,
因为，
所以，即.
则
，
所以，又因为有公共点，
所以，，三点共线.
【典例3-2】（2024·高三·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
【解析】（1）依题意，，
所以离心率.
（2）直线的斜率为，
由（1）得，
设关于的对称点为，
线段的中点为，
所以，
整理得，
解得，
则
在椭圆上，所以，
，
则
，
所以，所以三点共线.
【变式3-1】（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
【解析】（1）由题意得，且
（2）由 (1) 得，
设直线 的方程为，则，
由 得，
直线 的方程为，令 ，则，
，
所以三点共线.
【变式3-2】已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
【解析】解:（1）依题意可得，，
解得，故的方程为.
（2）易得，
显然，直线的斜率不为0，设其方程为，，
联立方程，消去整理得，
所以，．
直线，令得，故
，，
，（*）
又
，即的值为0．
所以故A、Q、N三点共线．﹒
【变式3-3】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于两点，A关于x轴对称的点为M，证明：三点共线.
【解析】（1）∵椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点为,
∴,
又，∴,∴,
∴椭圆C的方程为.
（2）证明：由（1）知椭圆C的左焦点为，
当直线l的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
则.
联立，消去y得，
∴，解得,
∴，,
∵，，
又，，
∴
，
∵与共线，而与有公共点,即、、 三点共线.
【变式3-4】（2024·上海松江·一模）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；
【解析】（1）椭圆：的长轴长为，离心率为，
则，，则，则
则椭圆的方程为；
（2）设椭圆上点关于直线的对称点
则，解之得，则
由在椭圆上，可得，
整理得，解之得或
当时与点M重合，舍去.则
（3）设，则
又，则，直线的方程为
由，整理得
则，则
又，则，
则，则
令则，直线的方程为
由，整理得
则，则
又，则，
则，则
则
由点，和点三点共线，可得
则
整理得，则
题型四：向量中的数量积问题
【典例4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，线段的中点分别为，．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求．
【解析】（1）
椭圆左顶点为，，
又因为离心率，
，
，
的方程为：.
（2）如图所示：
设，，
则，
由
得：，
则，
，；
直线方程为：，，
；
同理可得：，又，
，，
，
为定值.
【典例4-2】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长交椭圆于，若，求直线的方程.
【解析】（1）由条件得，即，则，
则，，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知：，则，且直线与椭圆必相交，
若直线的斜率不存在，可知，
联立方程，解得，
不妨取，则，
可得，不合题意；
若直线的斜率存在，设直线，
则，，
与椭圆联列方程得，消去y得，
可得，
则
，
可得，解得
所以直线的方程为；
综上所述：直线的方程为.
【变式4-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；
(1)求的离心率；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，
则，则，所以.
（2）依题意，设，则，，故，
则，
所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为.
（3）设，又，
易得，则直线为，即 ，
而，
，
，
联立，消去，得
则，得，
所以，
故
，
所以，
故存在，使得恒成立.
【变式4-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意设点，由于，
故，整理得，
即的轨迹方程为；
（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，
设直线的方程为，令，则可得，即，
直线，同理求得，
又直线的方程为，
令，得，即，
故
，
当时，取到最大值12，
即存在最大值，最大值为12.
【变式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【解析】（1）由题设，，得，
椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，联立，
消去得，其中是直线与椭圆一个交点，
所以，则，代入直线得，故.
又，将代入，得，则.
所以，为定值.
【变式4-4】已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．
(1)若，求的值；
(2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上．
【解析】（1）依题意可得，可设，，
由，消去整理得，
，，
，，
，
所以，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知，，
若直线斜率存在，则，直线，
由得，又点在线段上，
所以，即，又，
，
设，则，
；
当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；
当时，不为定值，不合题意；
若直线斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设，从而有，，
此时，则直线，
设，则，，，
则时，，满足题意；
综上所述：当为定值，点在定直线上.
【变式4-5】（2024·高三·山东·开学考试）已知椭圆，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点．
(1)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(2)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．
【解析】（1）由题意，设直线的方程为，，
联立，得，
恒成立.
设、，线段的中点为，
则， ，
由，得：
，故，
又因为为的中点，则直线为直线的垂直平分线，
所以，直线的方程为，即，
令得点的横坐标，
因为，则，所以，，
所以，线段上存在点，使得，其中.
（2）当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，，
联立得，
因为过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，
由，得，
设、，则，则，，
则直线的方程为，
令得
.
易知，当直线斜率为时，直线与轴重合，
此时，点与点重合，则直线过点.
综上所述，直线过定点.
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例5-1】如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于，证明：为定值.
【解析】证明：不妨设切线方程为，，
联立切线方程和椭圆方程，
消去得，
所以，得，
解方程可得，所以，
又点坐标为，故为定值．
【典例5-2】如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
【解析】（1）直线的方程为，代入抛物线得：
，解得或，所以，
因为，
所以，，
则有，
又，则有，故的取值范围是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
则，
由于当时，，当时，，
故，即的最大值为.
【变式5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，过点不与轴重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
【解析】（1）设椭圆的方程为．
由题意得，解得，所以．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线垂直于轴，由直线过，
在椭圆方程中，令，解得，
不妨设，椭圆左顶点，
直线分别交直线于点和点，则分别与重合.
即，则以为直径的圆以为圆心，为半径，
该圆与轴交点为.
即以为直径的圆经过两点；
当直线的斜率存在时，设其方程为．
设，，
由 得．
所以，．
则直线的方程为.
令，得点．同理，点.
设以为直径的圆与轴交点为，
，
则
.
解得或.
故不论取何值，以为直径的圆经过轴上的两个定点；
综上所述，以为直径的圆经过轴上的定点.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：．
【解析】（1）设椭圆的方程为．
由题意可知，解得，
故椭圆的方程为．
（2）由（1）可知．
设，直线的方程为．
由，得，
则，所以．
由，得，
所以，则，
所以点在线段的垂直平分线上，即．易知．
设，则，
则．①
又点在直线上，所以，
则，
所以，则．
整理，得．②由①②，得．
所以，则，所以，故．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：线段的中点在直线上；
(3)过点作轴的平行线，与直线的交点为，证明：点在以线段为直径的圆上．
【解析】（1），又，
，
又，
椭圆方程为；
（2）联立直线与椭圆方程，
又因为有两个交点，所以，
解得，设，
故，
又，
，
线段的中点的坐标为，，
线段的中点C在直线上；
（3）由已知得：，
，
，
，
点在以线段为直径的圆上．
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
【解析】（1）由题意得，则直线的方程为．
由可得，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意得，
切线的斜率存在且不为0，并设为，取，则，
此时切线方程为，则．
整理得．
设过点引圆的两条切线斜率分别为，则①．
由得，
将其代入①式得，
故直线与的斜率之积为．
（3）设直线，则，解得．
将直线与椭圆联立，则．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以.
设，则，
将代入可得．
设直线，则，整理得．
同理，将直线与椭圆联立，则．
设，则，
将代入可得，
显然．
设直线，则，解得，
将直线与椭圆联立，则，
设，则，
将代入得．
设直线，则，解得．
将直线与椭圆联立，则．
设，则．
将代入得，
故．
所以，，，且，
所以P，O，Q三点共线．
3．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
【解析】（1）
且点在直线：上，，
又， ，，
椭圆的标准方程为.
（2）
设，，则，且，
为线段的中点，，
，直线的方程为：，
令，得，
，为线段的中点，，
，，
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
【解析】（1）设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则依据得，
整理得，
又，故，
得，
即，
当时，此时，即重合，显然不成立，所以，
所以，即，
又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
5．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．

【解析】设，，，
由
，记，
即，．
，由定比分点得：，
，由定比分点得，
又，配比，
由（1）-（3）得：
，即.
所以点Q的轨迹方程为（在椭圆内部），
由可得，故,
故点的轨迹方程为.
6．（2024·吉林长春·一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【解析】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，
①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，、，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
综上，.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设、，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.
8．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线的左顶点为，直线与的一条渐近线平行，且与交于点，直线的斜率为．
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，问：是否存在满足的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题可知，的一条渐近线方程为，则，
设，又，直线的斜率为，
所以，
解得，则，
代入中，解得，
故的方程为．
（2）因为，
所以，即，所以，
同理可得，
设，
联立，整理得，
由题意知，且，
解得或，且，
所以，
过点与垂直的直线的方程为，设该直线与的右支交于另一点，
联立，整理得，
解得或（舍去），所以，
因为
，
所以，同理可证，
又，所以与重合，
所以在上，则，
故存在点满足，且的值为16．
9．如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
【解析】（1）双曲线，焦点在轴上，，
则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为，
当直线平行于的斜率大于的渐近线时，则直线的方程为，即，
又渐近线为，
所以直线与的距离.
（2）不存在，理由如下：
当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此，
又，所以，
设的右支上的点，则，
由得，
又，联立消去得，
因为，但是，，所以此方程无正根，
因此，在的右支上不存在点，满足.
10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得：，解得：，，.
双曲线的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，，，
此时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点，
设直线的方程为：，
联立可得：，
当时，，
，，
，
令，则，令， 在，上单调递减，
又，所以，
所以的取值范围为.
11．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，则，．
（2）当时，双曲线，其中，，
因为为等腰三角形，则
①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；
②当以为底时，，
设，则 , 联立解得或或，
因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；
③当以为底时，，设，其中，
则有，解得，即．
综上所述：.
（3）由题知，
当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，
则设直线，
设点，根据延长线交双曲线于点，
根据双曲线对称性知，
联立有，
显然二次项系数，
其中，
①，②，
，
则，因为在直线上，
则，，
即，即，
将①②代入有，
即
化简得，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且，解得，又因为，则，
综上知，，．
12．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.
【解析】（1）根据题意，因为，，
所以，所以，
所以，
当位置互换时，，当过的直线与轴重合时无法作出，
所以点的轨迹为以为焦点，即，且的双曲线，
所以 ，的轨迹方程为.
（2）根据题意可知的斜率存在且不为，
设的斜率为，，，，，其中，
则，，
联立，消去得，
，
所以，，
所以中点坐标为，同理可得中点坐标为，
当，即时，两中点坐标分别为，，此时直线为，
联立，解得，，
所以，，不满足条件，
当时，，
则直线方程，整理得，
令，联立得，
，
所以，，，
所以由解得，
当时，代入解得或，
当时，代入解得或，
综上的斜率为或
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
【解析】（1）由题意，
如图， ∵，
∴，
又∵不在轴负半轴上，
∴与直线垂直，
又∵，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
∴点的轨迹方程为.
（2）
由得，
∵与交于两点，
∴，
设，，则，
又∵，
∴，
∵的斜率为，
∴直线的方程为，
设，，同理得，，
∴
，
当且仅当即时取到“=”，
∴的最小值为16.
14．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．
【解析】（1）设双曲线的半焦距为，点的坐标为，
因为点在双曲线的右支上，
所以，，
所以，
所以，
所以当时，取最小值，
由题意可知，，
双曲线的离心率，
所以，，
所以，
所以双曲线的方程为．
（2），
若点都在右支上，则方向相反，有共线，
则方向相反，即方向相同，
与点在线段上矛盾，
所以直线与曲线交在两支上，
如图，
设，
由，可得，
又共线，所以共线，
所以．
设，，，
，，，，
则，，，，
整理可得，①
，②
，③
，④
将①③，②④分别得到，⑤
，⑥
将⑤⑥可得，
点在定直线上．
15．（2024·高三·山东临沂·期末）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
【解析】（1）如图，设圆的圆心为，半径为，
由题可得圆半径为3，圆半径为1，则，，
所以，
由双曲线定义可知，的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支，
又,，,，
所以动圆的圆心的轨迹方程为，，
即曲线的方程为，．
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意直线与曲线有两个交点，则，
设,，,，其中，，
由韦达定理得：，，
又点，所以,，,，
因为，所以，
则
，
即，
解得舍去），
当，直线的方程为，，
故直线恒过点,．
16．在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线．
(1)求的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围．
【解析】（1）设顶点C的坐标为，因为，．
又且向量与共线，
∴N在边的中垂线上，．
而，即，
化简并整理得顶点C的轨迹方程为．
（2）
设，
过点的直线方程为，代入，
得，，
得，
而是方程的两根，
，．
，
即，
故的取值范围为.
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.
【解析】（1）由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的方程为.
联立，化简得:，其中
所以，
因为，所以.
即:，换元后有:.
所以，化简得:.
解得:或.
当时，直线过点，不符合题意.
当时，代入得，满足题意.
所以.
（2）设，
则.
由可知:，
因为，所以，且有，
化简得:.
又，
设，则.
当时，在定义域上单减;
当时，在定义域上单增.
所以.
所以的取值范围是:.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，双曲线的左 右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值.
【解析】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即，
所以，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
解得，
故双曲线的方程为.
（2）设直线与双曲线交于，点，
因为存在实数且，使得，
所以，
，
整理得：①，②，
得③，
同理④，⑤，
得⑥，
由于双曲线上的点的坐标满足，
③-⑥得，
即，又，所以，
表示点在直线上，又也在直线上，
所以直线的斜率为（定值）.
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