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2025高考数学一模预测卷01（新高考Ⅰ卷专用）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·广东·二模）设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
3．（24-25高三上·河南·期中）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，设，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东韶关·一模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·广东·模拟预测）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是（ ）
A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大
B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大
10．（2024·广东佛山·一模）在三棱台中，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．三棱台的体积为
11．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的方程为
B．已知点，则的最小值为3
C．
D．若，则与的面积相等
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 ．
13．（2024·山东青岛·二模）已知，则 .
14．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
16. (15分) （2024·全国·模拟预测）为了研究学生每天整理数学错题情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法调查他们3次模拟考试数学成绩的均分和平时整理数学错题的情况，所抽取的学生分为两组，第一组学生是每天都整理数学错题的，第二组学生不是每天都整理数学错题的．现统计得两组同学的模拟考试数学成绩的均分如下：
第一组（单位：分）
108 109 110 112 114 114 116 116 117 117
118 118 118 119 119 120 121 121 122 122
第二组（单位：分）
107 108 109 109 109 110 110 111 111 112
112 113 113 114 114 116 116 118 119 121
(1)记这40名同学模拟考试数学成绩的均分的中位数为，根据上述信息完成样本数据的列联表：
数学成绩的均分大于m 数学成绩的均分不大于m 合计
每天都整理数学错误
不是每天都整理数学错题
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩大于中位数是否与每天都整理数学错题相关？
附：；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从第二组学生中随机抽取3名同学做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩的均分大于的人数为，求的概率分布与数学期望．
17. (15分) （24-25高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．
(1)若为棱中点，证明：面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．
18. (17分) （24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为
(1)求直线的方程及椭圆的方程.
(2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值.
(3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围.
19. (17分) （2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C A D D ACD ABD
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据交并补集的性质可得再运算即可.
【详解】因为，则，即，因为.
故选：A
2．B
【分析】由复数的除法运算先求出复数，然后由复数的乘法求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，即，
所以.
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前项和公式计算判断得解.
【详解】在等差数列中，由，得，
而，则，即，
所以.
故选：C
4．D
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】因为．所以
，
所以．
故选：D．
5．C
【分析】连接，与轴交于点，得点坐标，点也在函数的图象上，由直线方程（斜率）求得点坐标，可得周期，从而求得，再利用点坐标求得，从而得解析式．
【详解】连接，与轴交于点，
由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.
设，由，得，
所以的最小正周期满足，
解得，即，解得，
，.因为点是图象的一个最高点，
所以，结合，
解得，
故选：C.
6．A
【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果.
【详解】因为的图象关于点对称，
所以函数为奇函数，
则，即，且为奇函数，
所以，得，
所以，
故选：A.
7．D
【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积.
【详解】如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点，
则点分别为的中点．
设，则，，①．
折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接，
则．
连接，则是正六棱台的高，即．
过点作，垂足为，则底面，故．
在Rt中，②，
由①②得，解得，
所以正六棱台的上、下底面的边长分别为1和2．
由，可知正六棱台的外接球球心必在线段上，
连接，则为外接球的半径，设为．
在Rt和Rt中，由勾股定理得，
可得，
又因为，，，
即，解得，
则，
所以所求外接球的表面积为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.
8．D
【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论．
【详解】由，，，
可得，故，
又，所以，
以为直径作圆，则，，，四点共圆，
如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），
则，
又表示在上的投影，
由图可知，，，
故（此时点在劣弧的中点位置），
即的最小值为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上，
②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围.
9．ACD
【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断.
【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，
B地月降雨量按升序排列可得：，
对于选项A：可知A地月平均降雨量为，
B地月平均降雨量为，
因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；
对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为，
因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；
对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为，
因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；
对于选项D：因为，
可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40，
且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确；
故选：ACD.
10．ABD
【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D的真假.
【详解】如图：
对于A：在中，,，所以，即.
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B：因为，，且∽，所以.
又三棱锥和 的高相同，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，所以，即，故C错误；
对于D：因为三棱台的高为1，所以三棱台的体积为：，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】对于A，设，联立抛物线的方程，结合韦达定理求出即可判断；对于B，结合抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C，设，分别联立抛物线方程，结合韦达定理即可判断；对于D，由C选项分析可得 ，结合以及韦达定理即可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断.
【详解】
当过点时，设，联立，可得，
，
故，解得，则，故A正确；
过点向的准线引垂线，垂足分别为，
点到的准线的距离，
由抛物线定义可知，
等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故错误；
设，由，可得，
，
由，可得，
，
故，同理可得，故正确；
，故，
注意到，可得，
所以，从而与的面积相等，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解.
12．
【分析】利用导数的几何意义以及切线过点求切线的斜率.
【详解】设直线（）与函数相切，切点为：，
因为，所以切线斜率为：.
所以切线方程为：.
由切线过点，得：
所以，解得：或.
所以（舍去）或.
故答案为：
13．243
【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得.
【详解】在中，
取，得，
两边同时乘以32得.
故答案为：243
14． 2 18
【分析】根据双曲线的定义式和三角形内切圆的性质推得，结合，求出，得内切圆的圆心横坐标为，再由条件推出为的角平分线，从而得到的内心即点，即得结论.
【详解】
设的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则，
在双曲线右支上，由双曲线定义得，展开即得，
，
又，故，因，则得，
即内切圆的圆心横坐标为，
由，得，
可得，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为；
.
故答案为：2；18.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线的定义和三角形内切圆性质推出，结合，从而确定内切圆的圆心横坐标为，为后续求内切圆半径打下基础.
15．(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
16．(1)填表见解析
(2)认为数学成绩大于中位数与每天都整理数学错题相关
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据数表分析及平均数、中位数的算法计算即可完善列联表；
（2）利用卡方计算公式，及独立性检验思想分析即可；
（3）根据超几何分布及离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【详解】（1）先把数据从小到大排序得第20个数据与第21个数据均为114，故中位数，
第一组中数学成绩的均分大于114的有14个，不大于114的有6个，
第二组中数学成绩的均分大于114的有5个，不大于114的有15个，
故列联表如下：
数学成绩的均分大于m 数学成绩的均分不大于m 合计
每天都整理数学错题 14 6 20
不是每天都整理数学错题 5 15 20
合计 19 21 40
（2）提出假设：数学成绩大于中位数是否与每天都整理数学错题无关．
根据列联表得，
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，
即认为数学成绩大于中位数与每天都整理数学错题相关．
（3）第二组中数学成绩的均分大于114的有5个，不大于114的有15个，
恰好抽取到数学成绩的均分大于的人数为，
，
，
故的概率分布如下
0 1 2 3
的数学期望为．
17．(1)证明见解析；
(2)存在满足条件的点，；
(3)
【分析】（1）运用中位线性质得到线线平行，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角得向量法求解即可；（3）在中，由余弦定理，设，则，得到，在用等体积法计算即可.
【详解】（1）连接交于，则为三角形中位线，易知，
又因为上，面，所以面；
（2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，
由为棱上一点，设，
．
设平面的法向量为，
由可得
令，则，则．
取平面的法向量为，
则二面角的平面角满足：
，
化简得：，解得：或（舍去），
故存在满足条件的点，此时．
（3）因为，
可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有：
可得，
设，则，
由题可知：该方程有实根，则，解得，
同理可得．
设点到平面的距离为，则由等体积法得到：，
，解得：．
当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，
最大体积为：．
18．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由长轴长的长度可求的值，又利用点和直线的倾斜角可得，进而用可求，从而可得直线方程和椭圆的方程；
（2）设，，则关于原点的对称点，即，由的斜率可得三点共线，进而得，设代入椭圆方程，由韦达定理可得，，从而计算可得结果；
（3）由题意可知四边形为梯形，由点到直线的距离可得高，进而结合梯形的面积公式利用基本不等式可得结果.
【详解】（1）由长轴长为，可得，.
因为点上顶点，直线的倾斜角为，
所以中，，则，
又，则.
因为，，
所以直线的方程为.
椭圆的方程为.
（2）设，，，
则关于原点的对称点，即，
由，
三点共线，又，.
设代入椭圆方程得
，，，.
，
，
.
（3）四边形为梯形，
令，则
（当即时等号成立）.
【点睛】关键点点睛：设关于原点的对称点，即，进而由平行关系判断三点共线，设，由韦达定理可得，，从而计算可得结果；
在求的范围的时候，通过变形利用基本不等式可求最大值即可.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值；
（2），由单调性结合零点存在性定理可得零点范围，即可得T的范围，即可得答案；
（3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案；
【详解】（1），
，，单调递减，
，，单调递增，
；
（2）方程可化简为
方程的根就是函数的零点，
注意到，则在，上单调递增.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且
则，因此，．
（3）设，则当时恒成立，
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
.∴
②当时，，这与矛盾，
综上，．
【点睛】关键点睛：对于零点范围问题，常利用零点存在性定理确定具体范围；对于函数不等式恒成立问题，
可利用分离参数解决，也可直接分类讨论处理.2025高考数学一模预测卷01（新高考Ⅰ卷专用）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·广东·二模）设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
3．（24-25高三上·河南·期中）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，设，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东韶关·一模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·广东·模拟预测）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是（ ）
A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大
B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大
10．（2024·广东佛山·一模）在三棱台中，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．三棱台的体积为
11．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的方程为
B．已知点，则的最小值为3
C．
D．若，则与的面积相等
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 ．
13．（2024·山东青岛·二模）已知，则 .
14．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
16. (15分) （2024·全国·模拟预测）为了研究学生每天整理数学错题情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法调查他们3次模拟考试数学成绩的均分和平时整理数学错题的情况，所抽取的学生分为两组，第一组学生是每天都整理数学错题的，第二组学生不是每天都整理数学错题的．现统计得两组同学的模拟考试数学成绩的均分如下：
第一组（单位：分）
108 109 110 112 114 114 116 116 117 117
118 118 118 119 119 120 121 121 122 122
第二组（单位：分）
107 108 109 109 109 110 110 111 111 112
112 113 113 114 114 116 116 118 119 121
(1)记这40名同学模拟考试数学成绩的均分的中位数为，根据上述信息完成样本数据的列联表：
数学成绩的均分大于m 数学成绩的均分不大于m 合计
每天都整理数学错误
不是每天都整理数学错题
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩大于中位数是否与每天都整理数学错题相关？
附：；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从第二组学生中随机抽取3名同学做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩的均分大于的人数为，求的概率分布与数学期望．
17. (15分) （24-25高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．
(1)若为棱中点，证明：面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．
18. (17分) （24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为
(1)求直线的方程及椭圆的方程.
(2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值.
(3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围.
19. (17分) （2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

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