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2024-2025学年度第一学期期末质量检测
高二数学试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知两点A(2,-3)，B(0,5)，则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．x-4y+3=0 B．4x-y-3=0 C．4x-y+3=0 D．x-4y-3=0
2.在四面体A-BCD中，E，G 分别是CD,BE 的中点，若，
则x+y+z=( )
A. B. C. 1 D．2
3.已知数列{an}满足2an+an+1=0，且an≠0，a1+a3=25,则a5=( )
A.-80 B.80 C. -40 D.40
4.圆C1:(x-2)2+(y-1)2=1与圆C2:x2+y2=16的公切线共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
5.在数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,则a2025=(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6.若离心率为的双曲线C：(a>0,b>0)的一条渐近线与直线mx+y+1=0平行，则m=(　　)
A． B． C． D.
7.如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，
E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小为 (　　 )
A. B. C. D.或
8.椭圆具有以下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射
后，反射光线经过另一个焦点（如图）.已知椭圆C:(a>b>0)的左、
右焦点分别为F1、F2，且过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作
椭圆C的切线l,点B关于l的对称点为M，若|AB|＝，,则=（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的有(　　)
A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．y2=2x
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则( )
A.直线BC1与直线AD1所成的角为90° B. B1D 平面ACD1
C.点B1到平面ACD1的距离为 D.直线B1C与平面ACD1 所成角的余弦值为
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.直线l:y=x+b与曲线C:有两个公共点，则b的取值范围是_________________.
13.已知双曲线C：(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1、F2，且两条渐近线互相垂直，若C上一点P满足|PF1|=3|PF2|，则∠F1PF2的余弦值为_____________．
14.在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，x1，x2，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令an=log3(1×x1×x2×…××3)，则数列｛an｝的通项公式为　　　　　　　　　.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10，且是等比数列的前3项
⑴求；
⑵设，求的前n项和．
16.（本题满分15分）
已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
⑴m∈R时，证明l与C总相交；
⑵m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
17.（本题满分15分）
如图，已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是
AD上一点，PE AD．
⑴若F是PE中点，证明：BF∥平面PCD;
⑵若AB 平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18.（本题满分17分）
已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.
⑴试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程；
⑵农艺园的最大面积能达到多少
⑶该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长
19.（本题满分17分）
已知双曲线C:x2-y2=m(m>0), 点P1(5,4) 在C上，k为常数，0⑴若k=,求x2,y2;
⑵证明：数列是公比为的等比数列；
⑶设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对于任意正整数n,Sn=Sn+1.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两点A(2,-3)，B(0,5)，则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．x-4y+3=0 B．4x-y-3=0 C．4x-y+3=0 D．x-4y-3=0
【答案】A
【解析】由题意得，线段AB的中点坐标为(1,1),,
∴线段AB的垂直平分线的斜率,
则段AB的垂直平分线的方程为,即x-4y+3=0.故选A.
2.在四面体A-BCD中，E，G 分别是CD,BE 的中点，若，
则x+y+z=( )
A. B. C. 1 D．2
【答案】C
【解析】方法1：如图所示，连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，，
又 ，
所以 ．
方法2：因为 ，，， 四点共面，
所以由共面向量定理可知 ．故选C．
3.已知数列{an}满足2an+an+1=0，且an≠0，a1+a3=25,则a5=( )
A.-80 B.80 C. -40 D.40
【答案】B
【解析】∵数列{an}满足2an+an+1=0，且an≠0，∴数列{an}是公比为-2的等比数列.
又a1+a3=25,即,∴a1=5,则a5=5×（-2）4=80.故选B.
4.圆C1:(x-2)2+(y-1)2=1与圆C2:x2+y2=16的公切线共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】D　
【解析】∵圆C1、圆C2的半径分别为1和4,圆C1、圆C2的圆心分别为(2,1)、(0,0)，
则两圆圆心距d=,即圆C1、圆C2相离.
∴圆C1与圆C2相有4条公切线，故选D.
5.在数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,则a2025=(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【答案】B
【解析】∵在数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,
∴a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-2,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=1,a8=a7-a6=2,…．
∴数列{an}是周期为6的周期数列，a2025=a337×6+3=a3=1，故选B．
6.若离心率为的双曲线C：(a>0,b>0)的一条渐近线与直线mx+y+1=0平行，则m=(　　)
A． B． C． D.
【答案】C.
【解析】由题意知，e=,∴,即,
而直线mx+y+1=0的斜率为-m，且与双曲线C的一条渐近线平行，
∴-m=或-m=-，即m=.故选C.
7.如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，
E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF与BC1所成角的大小为 (　　 )
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】以直线BA，BC，BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，则B(0,0,0),E(,0,0),F(0,0,),C1(0,1,1).
∴,=(0,1,1),
∴
∴直线EF与BC1所成角的大小为.故选A.
8.椭圆具有以下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射
后，反射光线经过另一个焦点（如图）.已知椭圆C:(a>b>0)的左、
右焦点分别为F1、F2，且过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作
椭圆C的切线l,点B关于l的对称点为M，若|AB|＝，,则=（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如图，由椭圆的光学性质可得M,A,F1三点共线.设|BF2|=x，
则|BF1|=2a-x,|MF1|=|AF1|+|MA|=|AF1|+|AF2|+|BF2|=2a+x,
∵,∴,解得x=,|MF1|=,
又|AB|＝，∴|AF2|=，|AF1|=，
∴=3.故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的有(　　)
A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
【答案】ABD
【解析】∵+3,
∴+3=2,又+3=4≠0,
∴是以4为首项,2为公比的等比数列,+3=4×2n-1,即an=,{an}为递减数列,
∴的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n=2×-3n=2n+2-3n-4.
故选ABD.
10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．y2=2x
【答案】AC
【解析】∵抛物线C的方程为：y2=2px(p>0)，∴焦点F(,0)，
设M(x,y)，由抛物线的性质知|MF|=x+=5，得．
∵圆心是MF的中点，∴根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
∴圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M(5-,4)，
代入抛物线方程，得p2-10p+16=0，解得p=2或p=8．
∴抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选AC.
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则( )
A.直线BC1与直线AD1所成的角为90° B. B1D 平面ACD1
C.点B1到平面ACD1的距离为 D.直线B1C与平面ACD1 所成角的余弦值为
【答案】BD
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1,),C1(0,1,1),D1(0,0,1),
∴(-1,0,1),=(-1,0,1),即=，∴BC1∥AD1，选项A错误．
∵=(-1,-1,-1)，=(-1,0,1),=(-1,1,0),
∴=0，=0,即B1D AD1，B1D AC,
又AD1∩AC=A，∴B1D 平面ACD1 .选项B正确.
由B1D 平面ACD1得，∴是平面ACD1的法向量，
∴点B1到平面ACD1的距离为,选项C错误．
设直线B1C与平面ACD1 所成角为θ，则,
∴,选项D正确.
故选BD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.直线l:y=x+b与曲线C:有两个公共点，则b的取值范围是___________________.
【答案】[0,).
【解析】如图所示，是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，
直线l:y=x+b是一个斜率为1的直线，
要使两图有两个交点，连接A(-1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，
当直线l与AB重合时，b=1；
当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到y=x+b的距离d=r=1，即
,解得或（舍去）．
∴b的取值范围是[0,).
13.已知双曲线C：(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1、F2，且两条渐近线互相垂直，若C上一点P满足|PF1|=3|PF2|，则∠F1PF2的余弦值为___________．
【答案】.
【解析】∵双曲线双曲线C：(a>0,b>0)，∴渐近线方程为，
又∵两条渐近线互相垂直，∴，∴=1，即b=a，因此，
∵|PF1|=3|PF2|，又由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，则|PF1|=3a，|PF2|=a,
∴在△F1PF2中,由余弦定理可得
，
.
14.在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，x1，x2，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令an=log3(1×x1×x2×…××3)，则数列｛an｝的通项公式为　　　　　　　　　.
【答案】an=.
【解析】∵an=log3(1×x1×x2×…××3)，
∴an+1=log3［1·(1·x1)x1·(x1x2)x2…·3)·3］
=log3(12·…·32)
=3an-1，
∴an+1-=3，
又a1=log3(1×3×3)=2，
∴a1-=，
∴是以为首项，3为公比的等比数列，
∴an-=×3n-1=，
∴an=.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10，且是等比数列的前3项
⑴求 ；
⑵设，求的前n项和．
【答案】⑴，; ⑵.
【解析】⑴设数列{an}的公差为d，
由题意知 ①，
又因为，，成等比数列，所以 ②，
由①②得1，1，所以，．
⑵∵，
∴
，
∴数列的前n项和．
16.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
⑴m∈R时，证明l与C总相交；
⑵m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
【答案】⑴详见解析; ⑵当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.
【解析】⑴证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
∴点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
⑵圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝=3，
∴直线l的斜率为－，
则2m＝－，即m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.
∴|AB|＝2＝2.
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.
17.如图，已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是
AD上一点，PE AD．
⑴若F是PE中点，证明：BF∥平面PCD;
⑵若AB 平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】⑴详见解析；⑵.
【解析】证明：如图，取PD的中点T,连接FT,CT,则
FT∥DE，FT=DE=1,
又BC=1，即FT=BC，
∴四边形BCTF为平行四边形.
∴BF∥CT.
又CT 平面PCD，
∴BF∥平面PCD．
⑵由AD=3，DE=2，得AE=1=BC,
又∵AD∥BC，即AE∥BC，
∴四边形BCEA为平行四边形.
∴EC∥AB,
又AB 平面PED，∴EC 平面PED，
又PE,AD 平面PAD,
∴EC AD,EC PE,
如图，分别以EC,ED,EP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系E-xyz,则
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
=(1,0,0),=(0,1,2),=(1,0,-2),=(0,2,-2),
设平面PAB的法向量为,则
,即,
令=-1，则=2，(0,2,-1),
设平面PCD的法向量为,则
,即,
令=1,则=2，=1，(2,1,1).
∴.
则平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.
18.已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.
⑴试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程；
⑵农艺园的最大面积能达到多少
⑶该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长
【答案】⑴详见解析; ⑵
【解析】以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0).
⑴由题意可知,C,D两点在以A,B为焦点的一个椭圆上.
∵平行四边形的周长为8,∴2a=4,
而2c=2,∴b2=a2-c2=3.
故所求椭圆的标准方程为(y≠0),即为C,D两点的轨迹方程.
⑵易知:当C,D为椭圆的短轴端点时,农艺园的面积最大,其值为2km2.
⑶求l:y=(x+1)被椭圆(y≠0)截得的线段长.设线段端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由得,
整理得13x2+8x-32=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-,
∴弦长为=,
∴暂不加固的部分为km.
19.已知双曲线C:x2-y2=m(m>0), 点P1(5,4) 在C上，k为常数，0⑴若k=,求x2,y2;
⑵证明：数列是公比为的等比数列；
⑶设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对于任意正整数n,Sn=Sn+1.
【答案】⑴x2=3，y2=0； ⑵详见解析; ⑶详见解析．
【解析】解法1：⑴∵点P1(5,4) 在C上，∴m=52-42=9.则双曲线C的方程为.
由已知得:,即x-2y+3=0,联立双曲线C的方程
,解得
则Q1(-3,0),P2(3,0).即x2=3，y2=0.
⑵设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Qn(-xn+1,yn+1),
∵点Pn，Qn都在斜率为k的直线上，
∴xn≠-xn+1，,,
又∵，
∴,即,
∴,
则
=,
∴
即.
则数列是公比为的等比数列.
⑶由P1(5,4)得x1-y1=1,设,则q∈(1,++∞)且为实数.
由⑵得,又∵,∴
∴,,
则Pn(,),Pn+1(,),
Pn+2(,),
方法1：设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),过PnPn+2的直线为
，即,
设△PnPn+1Pn+2在边PnPn+2上的高为h,则
∴
.
将Pn(,),Pn+1(,),
Pn+2(,)代如上式得
Sn
.
∴Sn=.
则对于任意正整数n,Sn=Sn+1.
方法2：设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),则,
,
则向量的法向量为,在上的射影长为
.
∴Sn=
以下同方法1.
解法2：依题意，m=52-42=9.则双曲线C的方程为.
⑴由已知得:,即x-2y+3=0,联立双曲线C的方程
,解得
则Q1(-3,0),P2(3,0).即x2=3，y2=0.
⑵设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Qn(-xn+1,yn+1),
直线PnQn的方程为,
将点Qn的坐标代入得 ,
将直线PnQn的方程代入双曲线方程得
,
由韦达定理得 ,
,
∴
,
则数列是公比为的等比数列.
⑶由P1(5,4)得x1-y1=1,设,则q∈(1,++∞)且为实数.
由⑵得,
又∵,∴
∴,,
∴
,
-
∴,即.
∴∥,即△PnPn+1Pn+2与△Pn+1Pn+2Pn+3的面积相等.
则Sn=Sn+1.
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