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2025届高考数学一轮复习专题训练 解三角形
一、选择题
1．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,且的外接圆面积为,则( )
A. B. C. D.
2．已知海面上有一监测站A,其监测范围为以为圆心,半径为25km的圆形区域,在A正东方向30km处有一货船B,该船正以20km/h的速度向北偏西方向行驶,则货船B行驶在监测站A监测范围内的总时长为( )
A.0h B.1h C.2h D.3h
3．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则a等于( ).
A. B. C. D.1
4．在中，已知，，，则( )
A.1 B. C. D.3
5．在中，，，若该三角形有两个解，则b边范围是( )
A. B. C. D.
6．在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7．已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A.在上是增函数 B.其图象关于直线对称
C.函数是奇函数 D.在区间上的值域为
8．设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,,则( )
A. B.2 C. D.
二、多项选择题
9．已知直线与双曲线交于两点，F为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的离心率为
C.双曲线的渐近线方程为
D.
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是( ).
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
11．已知四边形的四个顶点在同一个圆上,且,,,则可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且，则面积的最大值为___________.
13．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则使得有两组解的a的值为_________.（写出满足条件的一个整数值即可）
14．若A，B是的内角，且，则A与B的大小关系是________.
四、解答题
15．在中,,,.
(1)求BC的长;
(2)设D为AC边上一点,且,求.
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设，，求b和的值.
17．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求C；
(2)如图，M为内一点，且，证明：.
18．如图,在平面四边形中,与的交点为E,平分,,.
(1)证明：;
(2)若,求.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，.
(1)求c和的值；
(2)求三角形边的中线长.
参考答案
1．答案：C
解析：由条件等式可知,,
根据正弦定理,,,R是三角形外接圆半径,
又,即,
则,由题意可知,,即,
所以,且角A为锐角,所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：依题意,如图,易知B在A监测范围内行驶的总距离为,
故B在A监测范围内行驶的总时长为.
故选:C
3．答案：A
解析：由正弦定理得，
即，解得.
故选：A
4．答案：D
解析：设，
结合余弦定理：
可得：，
即：，解得：，
故.
故选：D
5．答案：D
解析：因为三角形有两个解，所以，
所以，所以.
故选：D
6．答案：C
解析：设，，，
，
，，，
故选：C
7．答案：D
解析：，沿轴向左平移个单位，
得.
对于A，当，单调递减，所以选项A错误；
对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误；
对于C，是偶函数.所以选项C错误；
对于D，当，，则，所以D正确，
综上可知，正确的为D.
故选：D.
8．答案：A
解析：因为,,
所以,
又因为,,
所以.
故选:A.
9．答案：BCD
解析：
由题意知：，不妨取，由，
即，
所以，
所以，
所以以为直径的圆过F点，
所以圆的直径，
所以圆的方程为：，
设，连接，
则四边形为矩形，则，
则的面积为：，且，
联立，
解得，
再由，
所以离心率，故A错误，B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确；
对于D，不妨设点B在第一象限，由对称性可知，
，代入中，得，
所以，
由对称性知：当，，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：选项A：点A到边的距离是1，，
三角形有两解；
选项B：点A到边的距离是2与b相等，
三角形是直角三角形，有唯一解；
选项C：点A到边的距离是，三角形无解；
选项D：根据已知可解出，，
三角形有唯一解.
11．答案：BC
解析：设,,,则,
在中,由余弦定理得,
在中,由余弦定理得,
所以,
解得或,
因为,所以且,即.
因为,,,,所以BC正确.
故选：BC.
12．答案：
解析：，，.
由正弦定理，得，.由余弦定理，得，
且，，当且仅当时等号成立，，
，面积的最大值为.
13．答案：6，7，8，9任意一个均可
解析：由正弦定理得,即,
所以,
因为有两组解,
所以
解得56(或7,8,9.写出一个即可)
14．答案：
解析：由正弦定理可知,,得.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,,,,
由余弦定理得：.
(2)在中,由正弦定理得,
所以.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理，
可得.又因为，
所以，
即，所以.因为，所以.
（2）在中，由余弦定理及，，，
得，故.
由，可得.因为，所以.
所以，.
所以.
17．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)∵，
由正弦定理得，
整理得.
由余弦定理得
又，∴.
(2)设.
在中，由余弦定理可得，
∴，
整理得，
即
在中，∵，∴，
即，∴，∴.
故方程有唯一解，
即.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图,
由题意知,则,
由余弦定理得,
即,整理得,
因为,所以.
(2)因为,所以,
因为,所以,所以.
又因为,,所以四边形是等腰梯形,所以.
设,则,解得.
.
在中,由正弦定理可得,
又因为,所以.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中，由已知可得，
故由，可得.
由已知及余弦定理，有，
所以，
由正弦定理，
得，
所以，c的值为，的值为.
(2)设边的中点为D，在中，，由余弦定理得：
.
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