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第03讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：直线和平面平行 4
知识点2：两个平面平行 5
解题方法总结 6
题型一：平行的判定 7
题型二：线面平行构造之三角形中位线法 9
题型三：线面平行构造之平行四边形法 10
题型四：利用面面平行证明线面平行 13
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行 15
题型六：面面平行的证明 17
题型七：面面平行的性质 20
题型八：平行关系的综合应用 21
04真题练习·命题洞见 23
05课本典例·高考素材 25
06易错分析·答题模板 27
易错点：线面平行定理的理解不够准确 27
答题模板：面面平行的证明 28
考点要求 考题统计 考情分析
（1）直线与平面平行的判定与性质 （2）平面与平面平行的判定与性质 2024年北京卷第17（1）题，5分 2024年I卷第17（1）题，5分 2022年甲卷（文）第19题，12分 2022年乙卷（文）第9题，5分 2021年浙江卷第6题，4分 本节内容是高考中的热点，线线、线面、面面平行与证明通常出现在解答题的第一问．本节内容将空间中平行的判定与性质综合在一起复习，通常在高考题目中，虽然证明的结论是平行，但是过程中经常交叉使用空间直线、平面平行的判定定理或性质，因此题目的综合性增强．
复习目标： （1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． （2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识点1：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【诊断自测】如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.

知识点2：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
【诊断自测】如图1，在矩形中，，将三角形沿着线段向上折起，使得点到达点的位置，且平面平面，将正方形沿着向上折起，使得点分别到达点的位置，且平面平面，构成如图2所示的多面体，点为线段的中点，点在线段上，且满足．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
解题方法总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．
若则下列说法正确的是（　　）
A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交
【典例1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
【变式1-1】（多选题）（2024·河南·三模）已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是（ ）．
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么m与所成的角和n与所成的角的大小不相等
【变式1-2】（2024·贵州遵义·二模）已知平面满足，下列结论正确的是（ ）
A．若直线，则或
B．若直线，则与和相交
C．若，则，且
D．若直线过空间某个定点，则与成等角的直线有且仅有4条
【变式1-3】下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
【典例2-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
求证:平面MCD;
【典例2-2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点.
证明：平面.
【方法技巧】
利用三角形中位线找线线平行.
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，.
若点为的中点，证明:平面；
【变式2-2】（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
题型三：线面平行构造之平行四边形法
【典例3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．
证明：平面PAD；
【典例3-2】如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.

求证：平面DEG；
【方法技巧】
利用平行四边形找线线平行.
【变式3-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.
若为的中点，证明：平面；
【变式3-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【变式3-3】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．
求证：：平面；
题型四：利用面面平行证明线面平行
【典例4-1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

求证：平面；
【典例4-2】（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.

求证：平面；
【方法技巧】
本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行
【变式4-1】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．
证明：平面；
【变式4-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，．
求证：平面；
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
【典例5-1】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.
【典例5-2】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：．
【方法技巧】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【变式5-1】如图所示，圆台的上 下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上 下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：.

【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，．
记平面与平面的交线为，证明：；
【变式5-3】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.
求证：；
题型六：面面平行的证明
【典例6-1】如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求多面体的体积．
【典例6-2】（2024·高三·陕西西安·期中）如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，．
(1)求证：平面平面；
【方法技巧】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【变式6-1】（2024·重庆·二模）如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.

证明：平面平面；
【变式6-2】（2024·四川眉山·三模）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面平面，平面平面是等腰直角三角形，且.
证明：平面平面；
【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．
求证：平面平面；
题型七：面面平行的性质
【典例7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知正方体，平面与平面的交线为，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
【变式7-1】如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式7-2】如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（ ）
A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形
C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在长方体中，，过顶点作平面，使得平面，若平面，则直线l和直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：平行关系的综合应用
【典例8-1】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例8-2】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2.
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【方法技巧】
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【变式8-1】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【变式8-2】（2024·上海嘉定·三模）在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值.
【变式8-3】如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求线段的最小值．
【变式8-4】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，.
(1)求证：；
(2)求点C到平面ABH的距离；
(3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
1．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
2．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
3．（多选题）（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷））如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .
1．如图，是异面直线，，求证：.
2．如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.
3．一木块如图所示，点在平面 内，过点将木块锯开，使截面平行于直线 和，应该怎样画线？
4．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证.
5．如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？
平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【易错题2】如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.
求证：平面；
答题模板：面面平行的证明
1、模板解决思路
解决这类面面平行问题，关键在于利用面面平行的判定定理。核心步骤是在一个平面内找到两条相交的直线，这两条直线需要平行于另一个平面。为了找到这样的直线，我们需要仔细分析题目给出的条件，并结合所给的立体图形，从中寻找和平行关系相关的信息。有时候，我们也需要勇于做出合理的猜测，以辅助我们找到解决问题的线索。
2、模板解决步骤
第一步：在一个平面内找到平行于平面的两条相交直线a，b
第二步：通过线面平行的判定定理证明直线a，b都平行于平面 .
第三步：通过面面平行的判定定理得到平面平行于平面.
【典型例题1】如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面．
【典型例题2】如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面.

21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：直线和平面平行 4
知识点2：两个平面平行 5
解题方法总结 7
题型一：平行的判定 8
题型二：线面平行构造之三角形中位线法 12
题型三：线面平行构造之平行四边形法 15
题型四：利用面面平行证明线面平行 18
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行 21
题型六：面面平行的证明 23
题型七：面面平行的性质 27
题型八：平行关系的综合应用 30
04真题练习·命题洞见 37
05课本典例·高考素材 41
06易错分析·答题模板 46
易错点：线面平行定理的理解不够准确 46
答题模板：面面平行的证明 48
考点要求 考题统计 考情分析
（1）直线与平面平行的判定与性质 （2）平面与平面平行的判定与性质 2024年北京卷第17（1）题，5分 2024年I卷第17（1）题，5分 2022年甲卷（文）第19题，12分 2022年乙卷（文）第9题，5分 2021年浙江卷第6题，4分 本节内容是高考中的热点，线线、线面、面面平行与证明通常出现在解答题的第一问．本节内容将空间中平行的判定与性质综合在一起复习，通常在高考题目中，虽然证明的结论是平行，但是过程中经常交叉使用空间直线、平面平行的判定定理或性质，因此题目的综合性增强．
复习目标： （1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． （2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识点1：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【诊断自测】如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.

【解析】与平面平行，理由如下，
连接，再连接，如图，
因为在长方体中，四边形是长方形，
所以是的中点，又E是棱的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
知识点2：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
【诊断自测】如图1，在矩形中，，将三角形沿着线段向上折起，使得点到达点的位置，且平面平面，将正方形沿着向上折起，使得点分别到达点的位置，且平面平面，构成如图2所示的多面体，点为线段的中点，点在线段上，且满足．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）取的中点，连接，
由于，故为的中点，
又点为线段的中点，
，
，且为的中点，
，，因此四边形为平行四边形，
，，
，且点为线段的中点，
，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
在矩形中，，所以四边形为矩形，则，
所以，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
，
平面且，，平面且，
平面平面．
（2）因为，所以到平面的距离为到平面的距离的，
连接，则，
由（1）知，
因为平面，平面，
所以平面，
连接，
又平面，
故，
因此．
解题方法总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．
若则下列说法正确的是（　　）
A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交
【答案】C
【解析】对于AB，平面，，则，
同理可得，则AB错误；
对于C，由AB知道，则C正确；
对于D，由A知道平面，平面，则，故D错误.
故选：C.
【典例1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，，则由平面平行的性质定理：得；
但当，时，可能有，也可能有相交，
如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，
另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【方法技巧】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
【变式1-1】（多选题）（2024·河南·三模）已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是（ ）．
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么m与所成的角和n与所成的角的大小不相等
【答案】AD
【解析】对于A，可运用长方体，举反例说明其错误，如图，
不妨设为直线m，为直线n，平面为，平面为，
显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A为假命题；
对于B，设过直线n的某一个平面与平面相交于直线l，则，
由知，从而，故B为真命题；
对于C，如果，，则，故C为真命题；
对于D，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，故D为假命题．
故选：AD．
【变式1-2】（2024·贵州遵义·二模）已知平面满足，下列结论正确的是（ ）
A．若直线，则或
B．若直线，则与和相交
C．若，则，且
D．若直线过空间某个定点，则与成等角的直线有且仅有4条
【答案】D
【解析】在正方体中，平面，平面，平面两两垂直，
令平面为平面，平面为平面，平面为平面，
对于A，直线，，当为直线时，，A错误；
对于B，，当为直线时，，B错误；
对于C，，当为直线时，，C错误；
对于D，在正方体中，直线相交于点，
它们与平面，平面，平面所成的角都相等，
而正方体过其中心的直线有且只有4条直线与该正方体各个面所成的角相等，
过空间给定点作直线平行于直线之一，所得直线与与所成角相等，
因此直线过空间某个定点，与成等角的直线有且仅有4条，D正确.
故选：D
【变式1-3】下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，
由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接，
因为、分别为、的中点，则，
在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体中，若平面平面，且平面平面，
则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，
因此，平面与平面不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
若平面平面，则平面平面，
这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.
故选：B.
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
【典例2-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
求证:平面MCD;
【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点，
所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故，
又平面平面MCD，因此平面MCD；
【典例2-2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点.
证明：平面.
【解析】连接,
因为底面是正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
【方法技巧】
利用三角形中位线找线线平行.
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，.
若点为的中点，证明:平面；
【解析】连接PC，交DE于，连接MN
为矩形为的中点
在中，M，N分别为PA，PC的中点
,
因为平面平面,
所以平面.
【变式2-2】（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）证明：如图，
连接交于点，连接，
四边形是正方形，为中点，
是中点，，
平面平面平面.
（2）平面，平面，.
又四边形是正方形，.
又，平面，平面.
又平面.
点是的中点，.
又，平面，平面.
又平面.
又易知.
.
.
又是线段上靠近的三等分点，
，
.
设点到平面的距离为，则，解得.
点到平面的距离为.
题型三：线面平行构造之平行四边形法
【典例3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．
证明：平面PAD；
【解析】在PD上取中点G，连接AG，EG，如图：
∵G和E分别为PD和PC的中点，∴，且，
又∵底面ABCD是直角梯形，，，
∴且．即四边形ABEG为平行四边形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；
【典例3-2】如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.

求证：平面DEG；
【解析】在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点，
，且，
四边形是平行四边形，，
平面平面DEG，
平面DEG.
【方法技巧】
利用平行四边形找线线平行.
【变式3-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.
若为的中点，证明：平面；
【解析】证明：由已知得，取的中点T，连接，
由N为的中点知，
．又，故，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
【变式3-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）如图，取的中点，连接，
因为是的中位线，所以，且，
又因为且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）取的中的中点，连接，
因为，所以，且，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为，
所以，
又因为是的中点，所以.
【变式3-3】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．
求证：：平面；
【解析】证明：取的中点，连接，，
根据题意可得，且，，
由三棱柱得性质知，所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为面，面，
所以面．
题型四：利用面面平行证明线面平行
【典例4-1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

求证：平面；
【解析】连接、，由分别为的中点，则，
又平面，平面，故平面，
正四棱台中，且，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
又，且平面，平面，
故平面平面，又平面，故平面；
【典例4-2】（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.

求证：平面；
【解析】因为，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，，
所以平面平面，平面，
所以平面；
【方法技巧】
本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行
【变式4-1】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．
证明：平面；
【解析】证明：设中点为，连接，
为中位线，，
又平面，平面，
平面，
为梯形中位线，，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，
平面．
【变式4-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，．
（1）求证：平面；
【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，、平面，则平面平面，
因为平面，所以，平面．
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
【典例5-1】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.
【解析】在直四棱柱中，平面平面，
平面，平面，则，
而且，又，因此且，
则四边形是平行四边形，所以，又，，
所以．
【典例5-2】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：．
【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
【方法技巧】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【变式5-1】如图所示，圆台的上 下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上 下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：.

【解析】证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线与母线的延长线必交于一点，四点共面.
圆面圆面，且平面圆面，平面圆面.
.
【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，．
记平面与平面的交线为，证明：；
【解析】
因为 平面，平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面，所以 .
【变式5-3】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.
求证：；
【解析】平面平面，
平面.
为正方形，，
同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面
平面平面，
.
题型六：面面平行的证明
【典例6-1】如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求多面体的体积．
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面平面，且，
所以平面平面．
（2）如图，连接，记．
因为四边形是正方形，
所以，
因为平面平面，
所以，
因为平面平面，且，
所以平面，
因为，且，所以，
因为四边形是正方形，所以，
则，
故多面体ABCDEF的体积
．
【典例6-2】（2024·高三·陕西西安·期中）如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，．
(1)求证：平面平面；
【解析】（1）因为，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为垂直下底面圆于点，垂直下底面圆于点，所以，
又平面，平面，
故平面．
又，，平面，
所以平面平面．
【方法技巧】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【变式6-1】（2024·重庆·二模）如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.

证明：平面平面；
【解析】在中，分别为的中点，则，
而平面平面，因此平面，
又，而，
于是且，四边形为平行四边形，则，
又平面平面，因此平面.
而为平面中两相交直线，所以平面平面.
【变式6-2】（2024·四川眉山·三模）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面平面，平面平面是等腰直角三角形，且.
证明：平面平面；
【解析】如图，取的中点，连接.
因为是等腰直角三角形，故，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
同理，平面.
所以.
又和是等腰直角三角形，四边形为菱形，所以，
四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．
求证：平面平面；
【解析】因为M，N分别为侧面为矩形的边AC，的中点，
所以，即四边形是平行四边形，
所以,
因为，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为M，N分别为侧面为矩形的边AC，的中点，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，且，平面，平面，
所以平面平面；
题型七：面面平行的性质
【典例7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为平面平面，平面，平面面，
所以，
因为平面平面，平面，平面面，
所以，
所以，所成角即为所成角，
而所成角为，设正四面体的棱长为，
所以，所以，
所以.
故选：B.
【典例7-2】已知正方体，平面与平面的交线为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，所以，
正方体中，且，四边形为平行四边形，
则有，所以，C选项正确；
都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误.
故选：C.
【方法技巧】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
【变式7-1】如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】因为平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，所以，
可得，所以.
故选：C.
【变式7-2】如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（ ）
A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形
C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形
【答案】D
【解析】由题意，因为，所以与确定平面，
与确定平面，
平面，平面，平面，
又在梯形中，平面，
平面，平面.
又平面，平面，
平面平面.
易知平面，
平面.
在平面中，与长度不相等，必然会相交于一点，
则平面与平面相交，必然会相交于一点，
则四边形只可能是梯形，
故选：D
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在长方体中，，过顶点作平面，使得平面，若平面，则直线l和直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为平面，平面，平面平面，
所以，所以即直线l和直线所成角或其补角，
在中，，，，
由余弦定理得，
故直线l和直线所成角的余弦值为．
故选：C．
题型八：平行关系的综合应用
【典例8-1】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】如图所示：
因为，所以，
所以
所以，所以，则，
设三棱柱的侧棱长为6，则，，
又为的中点，取的中点，连接，则。
过作，且，连接，又，
所以平面平面，又平面，
所以平面，所以，
所以，所以，则，
故选：D
【典例8-2】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2.
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】在平面中，过点E作，交于，
在平面中，过点作，交于，连接，如图所示，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又因为，平面，所以平面平面，
平面，所以平面，即为所求的点，
在中，，即，如图所示，
所以，
在中，，所以，即此时.
【方法技巧】
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【变式8-1】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【解析】连接交于点，连接，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
，则为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，，因此，.
【变式8-2】（2024·上海嘉定·三模）在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值.
【解析】（1）依题意有，
所以三棱锥的体积；
（2）如图，
连结，
∵分别为的中点，
∴平面，平面，
∴平面
∵平面，平面，
∴平面，
∵，∴平面平面，
∵平面，
∴点在直线上，在中，，
，
∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.
【变式8-3】如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求线段的最小值．
【解析】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，
所以，平面，平面，
所以平面．
同理，平面，又因为，
所以平面平面．
（2）由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动，
在中，，，，的最小值为R到线段的距离，
因为是等腰三角形，故的最小值为．
【变式8-4】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，.
(1)求证：；
(2)求点C到平面ABH的距离；
(3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为底面，平面，所以.
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）设点到平面的距离为.
因为底面，，为的中点，
所以点到平面的距离为.
又因为在中，，，．
则，
.
又因为底面，平面，所以，
又因为，，为的中点，
所以，
又因为由（1）知平面，平面，所以，
则.
所以，则，
则的面积为，
所以，解得.
（3）线段上当点满足，使平面.
证明：取CH的中点K，连接MK，NK．
因为为的中点，
所以由为的中位线，可得.
又因为平面，平面ABC，所以平面；
由，可得，则，
又因为平面ABC，平面ABC，所以平面．
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面MNK，所以平面ABC．
1．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
2．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D
【解析】如图所示：
由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，
由于，，所以，故B正确，
由于，，在外，所以，故C正确；
对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；
故选：D
3．（多选题）（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
4．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷））如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .
【答案】
【解析】根据题意，因为平面，平面，
且平面平面
所以.
又是的中点，所以是的中点.
因为在中，，故.
故答案为：
1．如图，是异面直线，，求证：.
【解析】
如图，过直线作平面，平面与相交于直线，与交于点.
.
又平面平面，.
又且.
2．如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.
【解析】证明：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD.
因为平面，平面，
所以，所以.
同理,且，
所以.
3．一木块如图所示，点在平面 内，过点将木块锯开，使截面平行于直线 和，应该怎样画线？
【解析】利用线面平行的判定定理去确定．
试题解析：过平面
内一点
作直线
，交
于
，交
于
；过平面
内一点
作直线
，交
于
，则
，
所确定的截面为所求．
考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用．
4．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证.
【解析】
连接AC.
∵在长方体中，.
∴四边形为平行四边形.
.
又∵E，F分别是AB，BC的中点，.
5．如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？
【解析】在面内，过点P作直线EF，
使，分别交棱于点E，F，
因为，
所以，
即EF就是过点P与棱CD平行的直线.
6．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF是定值．
其中所有正确命题的序号是　 ．
【答案】①②④⑤
【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；
因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以④正确；
因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变 ，即BE BF是定值，
所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，
故填①②④⑤.
易错点：线面平行定理的理解不够准确
易错分析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.
【易错题1】如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A,如下图所示，
易得,
则，
又平面,平面,
则平面，故A满足；
对于B，如下图所示，
为所在棱的中点，连接,
易得,
则四边形为平行四边形，
四点共面，
又易知，
又平面,平面,
则平面，故B满足；
对于C,如下图所示，
点为所在棱的中点，连接,
易得四边形为平行四边形，四点共面，
且,
又平面,平面,
辅助我们找到解决问题的线索。
2、模板解决步骤
第一步：在一个平面内找到平行于平面的两条相交直线a，b
第二步：通过线面平行的判定定理证明直线a，b都平行于平面 .
第三步：通过面面平行的判定定理得到平面平行于平面.
【典型例题1】如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面．
【解析】证明：如图所示，连接交于点M，
∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD．
∵D为BC的中点，∴．
∵平面，平面，∴平面．
又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴．
又平面，平面，∴平面．
又∵，平面，平面，
∴平面平面．
【典型例题2】如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面.

【解析】由题意，因为平面，
且平面
又因为平面平面，
所以由线面平行的性质得.
又因为点为的中点，
所以为的中点，即，
因为为的中点，即，
又因为,
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以,
又因为平面,平面，
所以平面，
又平面，，平面,平面，
所以平面平面.
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