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重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 7
题型一：外接球之正方体、长方体模型 7
题型二：外接球之正四面体模型 7
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 8
题型四：外接球之直棱柱模型 8
题型五：外接球之直棱锥模型 9
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 9
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 10
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 10
题型九：外接球之垂面模型 11
题型十：外接球之二面角模型 12
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 13
题型十二：外接球之共斜边拼接模型 14
题型十三：外接球之坐标法模型 15
题型十四：外接球之空间多面体 15
题型十五：与球有关的最值问题 16
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 17
题型十七：内切球之正四面体模型 18
题型十八：内切球之棱锥模型 18
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 19
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 20
题型二十一：棱切球之正四面体模型 20
题型二十二：棱切球之正棱锥模型 20
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 21
题型二十四：多球相切问题 21
03 过关测试 22
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例1-1】正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
【变式1-1】长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 .
题型二：外接球之正四面体模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2-2】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：外接球之直棱锥模型
【典例5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【典例5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为 ．
【变式5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式7-1】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【变式7-2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
题型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【典例9-2】如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【典例10-2】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 .

题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【典例11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 .
【变式11-1】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例12-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例13-1】空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【典例13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【变式13-1】如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
题型十四：外接球之空间多面体
【典例14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
题型十五：与球有关的最值问题
【典例15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（2024·浙江·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例16-1】棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例16-2】在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例17-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-1】边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例18-2】若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A． B．4 C． D．
【变式18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式18-2】已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【变式19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【典例20-2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【变式20-1】已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【变式20-2】已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例21-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【典例21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式21-1】球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
【典例22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
【典例22-2】在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【变式22-1】正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例23-1】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十四：多球相切问题
【典例24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【典例24-2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式24-1】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【变式24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
18．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
23．（多选题）（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ ）
A．球的体积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的最大值为3
D．若为中点，则平面截球的截面面积为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 7
题型一：外接球之正方体、长方体模型 7
题型二：外接球之正四面体模型 8
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 11
题型四：外接球之直棱柱模型 13
题型五：外接球之直棱锥模型 15
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 18
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 22
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 25
题型九：外接球之垂面模型 27
题型十：外接球之二面角模型 32
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 36
题型十二：外接球之共斜边拼接模型 39
题型十三：外接球之坐标法模型 42
题型十四：外接球之空间多面体 45
题型十五：与球有关的最值问题 47
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 51
题型十七：内切球之正四面体模型 53
题型十八：内切球之棱锥模型 55
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 58
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 60
题型二十一：棱切球之正四面体模型 63
题型二十二：棱切球之正棱锥模型 65
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 68
题型二十四：多球相切问题 69
03 过关测试 73
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例1-1】正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得，
则正方体的对角线长为，
设正方体的外接球的半径为，可得，解得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为，
由，可得，所以球的表面积.
答案：
【变式1-1】长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 .
【答案】
【解析】因为长方体的外接球的表面积为，
设球的半径为，由题意，，，
长方体的外接球的一条直径为.
因为，，所以，，
则长方体的体积为.
故答案为：
题型二：外接球之正四面体模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，
解得，故正四面体的外接球的半径.
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，解得,
故选：A
【典例2-2】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】正四面体的外接球表面积为，
，解得（负值舍去），
设四面体的棱长为，取的中点，连接，
设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接，
则，，
则，
所以，
在直角中，，即，
即，得，得（舍或.
故选：D
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设外接球半径为，则，解得,
将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，
则正方体的体对角线等于外接球的直径，
故，解得，正方体棱长为 ，
故该正四面体的体积为，
故选：A．
【变式2-2】如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形,
在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即,
因为正四面体,所以,所以,
因为是棱的中点,所以，
所以,
设,则,
所以,则,所以,
则正四面体的棱长为,
所以正四面体的外接球半径为,
所以该正四面体外接球的表面积为,
故选：A
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
【典例3-2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有，整理得，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有，
所以所求的球体表面积为：．
故选：A．
【变式3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的外心为，的外心为，连接，如图所示，
由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点．
在中，由余弦定理可得
，则，
由正弦定理可得外接圆的直径，则，
而球心O到截面ABC的距离，
设直三棱柱的外接球半径为，
由球的截面性质可得，故，
所以该三棱柱的外接球的体积为，
故选：B．
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在中，，且，
由余弦定理得，
设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即
再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，
在直角中，可得，
所以球的表面积为.
故选：B.
【变式4-1】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为，
因此其外接球的半径为，则其表面积为，
故选:B.
题型五：外接球之直棱锥模型
【典例5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】设，在等腰中，，
设的外心是，外接圆半径是，
则，∴，
设外接球球心是，则平面，平面，则，
同理，，
又平面，所以，是直角梯形，
设，外接球半径为，即，
则，所以，
在直角中，，，
，，∴，
，
令，则，
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
【典例5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图所示，
其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点，
要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故答案为：.
【变式5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在中，，，
由余弦定理得，
所以，设的外接圆的半径为，
则由正弦定理得，解得
结合图形分析：
因为D为AC的中点，平面ABC，且，
在中，，，
又，则圆心到点的距离为，
另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，
则中，，即，
直角梯形中，，即，
解得，，所以.
故答案为：.
【变式5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，
则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故选：A
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别取、的中心，连结，过作，
因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以，
因为正三棱台，所以平面，∥，
所以平面，所以为侧棱与底面所成的角，
所以，所以，
设正三棱台的外接球球心O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心，
所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上，
设外接球O的半径为R，所以，，，
即，，
当在EF的延长线上时，可得，无解；
当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得，
所以正三棱台的外接球表面积为.
故选：D
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接，
则三棱锥的外接球球心在上，连接.
在正三角形中，，所以.
在中，，所以.
设外接球的半径为，
由，，解得，
所以三棱锥的外接球表面积.
故选:C.
方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点，
则为底面正三角形的中心，
因为正三角形的边长为2，所以.
因为，所以.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，.
设三棱锥的外接球球心为，半径为.
由，得，解得，
所以，
则三棱锥的外接球表面积.
故选：C.
【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令给定的正三棱台为正三棱台，，
令正的中心分别为，而，
则，解得，
的外接圆半径，的外接圆半径，
显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则，
因此，解得，
所以该正三棱台的外接球表面积为.
故选：C
【变式6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、，
则，，平面，
所以为二面角的平面角，即，
设正方形的边长为，则，
又，，所以，
即，解得（负值已舍去），
则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故选：A
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分别取，的中点，，连接，，，
又，
所以，，，
由图形的对称性可知：球心必在的延长线上，
设球心为，连接，，
设半径为，，，
可知，为直角三角形，
所以，所以，
解得，，
所以球的表面积为.
故选：.
【典例7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以，
所以是以为斜边的直角三角形，
因为，
所以点P在平面内的射影是的外心，
即斜边的中点，且平面平面，
于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，
因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径．
因为，，
所以，
于是，
根据正弦定理知的外接圆半径R满足，
所以三棱锥的外接球半径为，
因此三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：
【变式7-1】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】取的中点，连接，因为，
所以和都是等边三角形，所以，
所以是二面角的平面角，即，
设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，
因为，公共边，所以≌，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为
故答案为：
【变式7-2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形，
又，同理可得，，
所以M点是的外心；
又，是以斜边的直角三角形，
在底面的射影为斜边的中点，如下图：
则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，
则在上，则，即，得，外接球的表面积为；
故答案为：
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为，
则有，解得，
则该圆锥的外接球表面积．
故选：C．
【典例8-2】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆柱的高为，其外接球的半径为，
因为圆柱的底面半径为1，侧面积为，所以，解得；
由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，
所以，所以球的表面积为.
故答案为：
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，
如图所示，因为，所以，
所以，解得，所以.
故选：B.
【变式8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为，则，所以，，
取圆台的轴截面，如下图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为、，则、分别为、的中点，
连接、、、、、，则，
由垂径定理可知，，，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，则，
因此，圆台的侧面积为，
故选：D.
题型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形，
故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R，
即，解得，
从而三棱锥外接球的体积．
故选：D
【典例9-2】如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，为等边三角形，且高，则，
而，又，则为等边三角形，
平面平面，，平面平面，平面，于是平面，
令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面，
又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面，
因此，等边外接圆半径，
三棱锥的外接球，则，
所以三棱锥的外接球的表面积，
故选：C
【变式9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，
，
如图所示：
设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
即，
由题意，且二面角为直二面角，
即面面，，
所以，即，可知四边形为矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【变式9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，
则面面.
由题意得为的外心，
在中，，
所以，
又四边形为矩形，
，设外接球半径为，
则外接球表面积，
故选：B.
【变式9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，则球心O在直线上．
连接OA，则，
因为，所以；
因为，所以.
因为，所以球心在线段上．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故选：B．
题型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】
取外心，外心，中点为，
则，，面，面
所以，，
设，
由正弦定理得，
余弦定理得，所以，
所以由正弦定理得，即，
所以，，，
在四边形中，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥外接球表面积最小值为，
故答案为：.
【典例10-2】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】/
【解析】取和的中点分别为，，过点作面于点，
连结，，,平面,故，
又，则又平面,
故平面，平面，故
则为二面角的补角， ，
因为，，则，且，
易知，
因为为等腰直角三角形，所以是的外心.
设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知，
作，易知为矩形，，
设，，则在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，∵，即，∴.
∴球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心.
∵二面角的大小为，
易知，，
，，
，
∴三棱锥的外接球的半径为.
∴三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
【变式10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 .

【答案】/
【解析】取的中点，连接，
因为为菱形，所以即为二面角的平面角，
因为，所以和均为正三角形，
取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，
过点作平面，过点作平面，交于点，
则为三棱锥外接球的球心，连接，
由对称性知，则，，
因为，
所以，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作且，连接、，则四边形为平行四边形，
所以，因为，所以，又，
所以是二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，所以，
又，，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为三棱锥的外接球的直径，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积.
故选：B
【典例11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 .
【答案】/
【解析】如图，易知，，所以，
作于点，易知，所以，
，
，
故三棱锥的体积为
.
故答案为：.
【变式11-1】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为，，所以，.
因为平面平面，所以平面.
设，
所以，
所以球的体积为.
故选：
【变式11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是其外接球的直径，得中点是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．求出中长（用余弦定理），由正弦定理求得外接圆半径，求出面积，求体积求出，从而可得外接圆半径，得表面积．如图，是中点，则是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．
∵，，∴，
，，
，，
，
∴，
．
故选：D.
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例12-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B．
【典例12-2】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则，所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，
又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，
所以球的表面积为．
故选：C．
【变式12-1】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为，
所以，
则，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以平面AOB，
所以，
解得，
所以其外接球的体积为，
故选：D
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例13-1】空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取，则是长方体，
其对角线长为，
∴四面体外接球半径为．
，
故选：B．
【典例13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】
过C作面于H，
则三棱锥的体积为，所以，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中，所以
以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
【变式13-1】如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B
题型十四：外接球之空间多面体
【典例14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为，
则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，
可得正方体体对角线长，外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故选：D.
【典例14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C三点的截面为正六边形，
设原正方体棱长为，则正六边形边长为，其面积为，解得，
因此原正方体的棱长为，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
球半径为该点到点的距离，所以外接球的表面积为.
故选：D
【变式14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
【答案】
【解析】因为棱长为的正四面体的高为，
所以截角四面体上下底面距离为，
序曲其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则,
所以，解得，
所以该截角四面体的外接球的表面积为,
故答案为：
题型十五：与球有关的最值问题
【典例15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，因为，
所以，所以，
所以，所以四边形必存在一个外接圆，
且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面，
设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接，
则为的中心，且必位于底面的上方，
设，外接球的半径为，则，
所以，所以，当且仅当时，
即与重合时，外接球表面积取得最小值为.
故选：C.
【典例15-2】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，由题设.
三棱锥中，，，，
将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
故选：B.
【变式15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，且，
设的中点为，连接，则，则平面，
设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，
设，，外接球的半径为，
因为，所以，
即，又，则，
因为，所以
所以三棱锥外接球表面积的最大值为.
故选：B.
【变式15-2】（2024·浙江·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，
因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，
△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC内，设，则，，
因为，所以，所以，
所以
令，则，
所以，当且仅当时取等，
故选:B
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例16-1】棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为.
故选：B.
【典例16-2】在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱的底面边长为高为，
对三个侧面进行展开如图，
要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角），
此时在连接线上，故①，
因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球，
所以整理得，
将代入①可得，
所以正三棱柱的底面外接圆半径为，
所以正三棱柱的外接球半径为，
所以该棱柱的外接球表面积为
故选：B
【变式16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点
设正六棱柱的底面边长为
若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径
，即外接球的半径
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
故选：C．
【变式16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设正三棱柱的外接球的半径为，
则，解得，
因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，
连接的中心，则线段的中点即为球心，
依题意，内切圆半径为，得，
则，解得,
故三棱柱的体积为
故选：B．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例17-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，
则该球的表面积为．
故选：A．
【典例17-2】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心，
则，.
，，
，
又，，
内切球表面积.
故选：.
【变式17-1】边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接交于点，连接，
取的中点，连接，
因为,所以,
,
由可得平面，
且，所以平面，
过作，
因为平面，平面，所以,
且平面，所以平面，
所以为该正八面体结构的内切球的半径，
在直角三角形中，，
由等面积法可得，,解得，
所以内切球的表面积为，
故选:D.
【典例18-2】若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，
设球的半径为，
所以，
所以，
于是正四棱锥的体积，解得，
所以正四棱锥的表面积，
设正四棱锥内切球的半径为，
则，解得.
故选：A.
【变式18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为四面体四个面都为直角三角形，平面，
所以，，
设四面体内切球的球心为，半径为，
则
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，
所以内切球表面积.
故选：C.
【变式18-2】已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，
则，
过P作底面垂线，垂足为H，则，
所以，则，
故其内切圆表面积为，
故选：B．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】球表面积为，则该球半径为，
设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为，
则此圆锥的轴截面面积为
，解之得，
则该圆锥的侧面积为
故选：B
【典例19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R，
则，所以，
又，
即，
解得，即内切球的半径为.
故选：B
【变式19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，
故梯形的高为，
则该圆台的体积为.
故选：D.
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【答案】
【解析】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：
【典例20-2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【解析】设正方体棱长为，
因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径；
正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径；
所以球与球的表面积之比为.
故选：A.
【变式20-1】已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】
如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点，
则为的中点，设，
由题意易知，
则，
因为，
所以.
故答案为：.
【变式20-2】已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，
故选：C.
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例21-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体中，棱长为，
所以，四面体是棱长为的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，
所以，该球的体积为，
因为正四面体的体积为，
所以，该球与此正四面体的体积之比为.
故选：A
【典例21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，设为正三角形的中心，连接，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，
连接，设正四面体的棱长为，则，
故．
设外接球的半径为，则，
故，解得，
故内切球的半径为，所以，
故内切球与外接球的体积之比为，
故选：A．
【变式21-1】球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
又因为正方体的棱长为，所以球的半径，
所以球的表面积为：，
故选：C.
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
【典例22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点，
球与棱分别切于点，则，球的半径为，
注意到在边长为1的等边三角形中，，，
且底面，底面，所以，
所以，，
所以，而，所以，即，
解得（舍去），
从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为.
故答案为：.
【典例22-2】在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD.
因为平面ABC，所有.
因为平面，平面，，所有平面.
因为平面，所有
.过O作，交PA于点F.
球O的半径为r，则.
由题意：为正三角形，因为，所以，，.
因为，，所以，所以.
设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为．
故答案为：
【变式22-1】正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，
球H与棱分别切于，设球H的半径为，
则，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
则这个球的表面积为．
故选：B
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例23-1】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，是的中心，
根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，，
且，，为球的半径．
由勾股定理易得，由正弦定理可求得，
由勾股定理可求得．
∵，均为球的切线，∴，
∵与相似，∴，
即，∴，
∴球的体积为．
故选：B．
【典例23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设棱台上下底面的中心为,连接，
则，
所以棱台的高,
设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，
设中点为，连接,
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：C
题型二十四：多球相切问题
【典例24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，
的中点为，连接，，，，，，
则，正四面体的高.
因为，所以，所以，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高，所以，
所以小球的体积为.
故选：C
【典例24-2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.
则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为.
则易知，，设球的半径分别为.
因为，根据重心定理可知，.
，，，，.
由可得，，
即，解得，，所以.
由可得，，
即，解得，
所以，球的体积为.
故选：A.
【变式24-1】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半径为.
所以小球的表面积最大值为.
故选：A
【变式24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设内切球O的半径为r，球的半径为R.设此棱锥的高为,底面的中心为，
因为底面边长为，底面的高，所以，
所以三棱锥的体积,求得,
在底面中，
则侧棱长为，
每个侧面的三边长为,则侧面的高，
所以，所以三棱锥的表面积为.
由等积法知，得.
用一平行于底面ABC且与球上部相切的平面截此三棱锥，下部得到一个高为的棱台，
那么截得的小棱锥的高为，即为高的，则此小棱锥的内切球半径即为球的半径，
根据相似关系，截得的棱锥的体积为，表面积为，
根据等体积法，，解得.
故选:D.
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】设直三棱柱高为，因为，
所以斜边，底面三角形外接圆半径，
由题有外接球表面积，可得，所以，
所以三棱柱体积为.
故选：D.
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设圆台的高为h，则，解得；
四面体的外接球即为圆台的外接球，
设其半径为R，球心为，，
由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，，
球心O在圆台的轴所在直线上，则，
故，解得，故，
故四面体的外接球表面积为.
故选：B.
3．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
设外接圆半径为r，再由正弦定理，
因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R，
所以，
所以外接球表面积为，
故选：C
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】其外接球直径，所以.
故选：B．
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在三棱锥中，，，正的边长为1，
则，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为，
则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则，
而，则四边形是矩形，，
所以球半径，表面积.
故选：B
6．已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设四面体体积是，外接球半径是，表面积是，
棱两两垂直，，
，，
易知，
当且仅当时取等，故有，
则，
故选：A
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
设的外接圆半径为，
则，所以，
平面，且，
设三棱锥外接球半径为，
则，即，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：B．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取的中点为，连接，
因为，故为等边三角形且，
因为为等边三角形，故，
由余弦定理可得，
故，而为等边的边上的中线，
故，同理，故，
而为三角形内角，故.
设为的中心，为的中心，则在上且在上，
因为、均为等边三角形其它们有公共边，
由对称性可得在平面中，
设为外接球的球心，连接，则平面，平面，
而平面，平面，故，连接，
则由四点共圆可得，
故，所以即外接球半径为，
故棱锥的外接球的体积为.
故选：A
9．（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图，
根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面，
因为与都是边长为2的正三角形，则，又，
则是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面内，
故，易得，
故，
故，又，故球的半径，
故球的表面积为．
故选：D．
10．已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，在中，由余弦定理，得，
即，则，故，
又而平面，将三棱锥置于一个长方体中，可知三棱锥的外接球半径，
则外接球表面积，
故选:D．
11．（2024·四川自贡·二模）在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
翻折前，在中，，，为的中点，则，
且，
翻折后，则有，，
又因为，、平面，所以，平面，
由已知，则是边长为的等边三角形，
将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，
所以，的外接圆直径为，
所以，三棱锥的外接球直径为，则，
因此，三棱锥的外接球表面积为.
故选：C.
12．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形边长为，底面中心为中点为，
连接，如图所示，
由题意得，且正四棱锥的外接球球心，
设外接球半径为，则，
在中，，且，
所以，解得，即，
在中，，
过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，
所以，
则，
所以，
所以截面的面积.
故选：C
13．（2024·河南开封·三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，，
因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积.
故选：C.
14．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】四边形为边长为的正方形，四边形的外接圆半径，
又平面，，四棱锥的外接球半径，
四棱锥的外接球表面积.
故选：D.
15．在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直三棱柱的高为，外接球的半径为，外接圆的半径为，则，所以，又，令，则，易知的最小值为，此时，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为.
故选：A.
16．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，
等腰梯形中，，，
则有，则四边形为平行四边形，
则，又，则为等边三角形，
则，则△为等边三角形
则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，
△中，，则
又底面，则底面，
又，
即，
故点H为四棱锥的外接球球心，
球半径
则四棱锥外接球表面积为
故选：C
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设上下底面的中心分别为，由对称性可知，
球的球心为的中点，取的中点，连接，
连接并延长，交于，连接，则，
设，则，
，
而，联立两式，解得，则球的半径为，
则其表面积为，故B正确.
故选：B.
18．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，当球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球的球心为，半径为R，空隙处最大球的球心为，半径为，
为的中心，得平面，为中点，
球和球分别和平面相切于，，
在底面正三角形中，易求，，，
又，
由，即得，又，
，，，
又，可得即，即球的最大半径为.
故选：C.
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故，
故的内切圆的半径为.
因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为，
故外接球的的表面积为.
故选：D.
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，
即为，
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，为正八面体的中心，平面，平面，则，，.
在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
.
故选：C.
21．已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；
设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，
正三棱锥的体积，
也即，解得：，
所以，
故选：B.
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】作出圆锥的轴截面如下：
因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确；
又，所以，
设球心为（即为的重心），所以，，
A．球的体积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的最大值为3
D．若为中点，则平面截球的截面面积为
【答案】ACD
【解析】选项A，如图，设底面圆心为，则，，，
因为是边长为2的为等边三角形，则，为中点，
则球的半径球的体积为，故A正确.
选项，作，因为面，，
所以底面，，
，故B错误.
选项C，设，，
..
.，
设，则令，解得，
当时，，当时，则，
易知在上单调递减，则在单调递减，且，
则当时，， 单调递增；
，故C正确.
选项，当为中点时，，
由，，，得..
设点到平面的距离为，，，，代入数据解得.
截面面积为，故D正确.
故选：ACD.
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