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泰州市民兴中英文学校
初三数学2024年秋学期第二次月度独立作业
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意：所有答案必须填写在答题卡上，写在试卷上无效
选择题（共6小题，每题3分）
1．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（ B ）
A． B． C． D．
2．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高方差会（ B ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
3．一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ D ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点C（﹣4，6），则点C '的坐标为（ A ）
A．（8，﹣12） B．（12，﹣8） C．（6，﹣12） D．（12，﹣6）
5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ C ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
6．已知二次函数y＝（x-3）2-6的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系（ D ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
填空题（共10小题，每题3分）
7．已知一组数据：1，3，3，4，4，6，则这组数据的众数是 3和4 .
8．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝ -2 ．
9. 在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
10. 在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为 7 .
11．抛物线y＝2（x﹣1）2+1的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为 y= 2（x+1）2-5
12．已知抛物线y＝﹣x2+7x+3，则该抛物线的顶点坐标为 （，） ．
13．如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ 40° ．
有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 12 cm．
15. 如图，AB为⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝8，CD＝5，图中阴影部分的面积为8π，则EF＝ ．
16.已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE DE的值为 7 ．
解答题（共10小题，共102分）
（8分）（1）计算：；
原式=1
解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
x1=2+ x2=2-
18．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2+（k﹣8）x﹣4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围．
【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣8）2﹣4×2×（﹣4k）＝（k+8）2≥0，
∴原方程有两个实数根．
（2），
∴，
∵，
∴k＞﹣6．
19.（10分）某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 7 9 12 16 6
b．“70≤x＜80”这组的具体成绩（单位：分）是：
70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）此次测试成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ；
（2）该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
20.（10分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）直接写出该二次函数图象的对称轴是 直线x＝1 ；
（2）请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象；
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 ﹣3 ﹣4 -3 0
（3）根据图象回答下列问题：
①当0＜x＜3时，y的取值范围为： ﹣4≤y＜0 ；
②当y＞﹣3时，x的取值范围为 x＜0或x＞2 ；
③当x＜k（k是常数）时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： k≤1 ．
21．（10分）今年春节档多部贺岁片上映．小亮和小丽准备分别从A:《志愿军2》、B:《射雕英雄传：侠之大者》、C:《热辣滚烫》、D:《传说》四部电影中随机选择一部观看．
（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中A:《志愿军2》的概率
为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
共有16种等可能的结果，小亮和小丽观看同一部电影的结果数为4种，
所以小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率＝＝．
22．（10分）如图，AB是⊙O为直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线与线段AC交于点E，且DE＝CE．
（1）猜想直线DE与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若⊙O的半径是3，∠B＝30°，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
证明；如图，连接OD，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵CA切⊙O于点A，
∴OA⊥CA，
∴∠CAB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠EDC+∠B＝90°，
∴∠EDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AD，OE，
∵AB是⊙O为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵⊙O的半径是3，
∴AD＝OA＝3，
∵EA和ED是⊙O的切线，
∴OE是AD的垂直平分线，∠AOE＝30°，
∴OE＝＝3×＝2，
∴S四边形AODE＝AD OE＝3×2＝3，
∵S扇形AOD＝＝，
∴阴影部分的面积＝S四边形AODE﹣S扇形AOD＝3﹣．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求S的最大值．
【解答】解：（1）∵PD∥AB，
∴，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣，
（2）根据题意得，S＝，
∴当x=2时，S最大=
24．（10分）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；
（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？
【解答】解：（1）过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，则EN⊥AC，
∵AB⊥BD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN＝1.2（米），∠BAN＝90°，
∵∠BAE＝135°，
∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝45°，
在Rt△AEN中，EN＝AEsin45°＝1.5×＝（米），
∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.26（米），
答：杆EF与地面BD之间的距离为2.26米；
（2）由（1）得：∠BAN＝90°，
当∠BAE＝150°时，
∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝60°，
在Rt△AEN中，EN＝AEsin60°＝1.5×＝（米），
∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.5（米），
当QD＝PC＝1.8m，
∴BQ＝AP＝2.5﹣1.8＝0.7m，
当∠BAE＝150°时，
∴∠EAP＝∠BAE﹣∠BAP＝60°，
在Rt△AGP中，GP＝APtan60°＝0.7≈1.212米，
∴GP+PQ＝1.212+1.2＝2.412米，
∵2.412＜2.45，
∴宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车不能正常通过此道闸．
25．（12分）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，则t= 8或9 ．
【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
26．（12分）已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积；
（3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，则tan∠BCE= 值为或． ．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α．
∵△AFE由△ABE折叠得到，
∴∠AEB＝∠AEF＝∠BEF，BE＝EF．
∵点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝4．
∴EC＝EF．
∴∠BCF＝∠EFC．
又∵∠BEF＝∠BCF+∠EFC．
∴∠BCF＝∠BEF．
∴∠BCF＝∠AEB＝90°﹣α；
（2）如图，过点F作FM⊥AD，垂足为M，MF的延长线∠BC于点N，则FN⊥BC．
∵∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥GC，
又∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECG是平行四边形．
∴AG＝EC＝4．
∵∠BCF＝∠AEB，
∴tan∠BCF＝tan∠AEB＝．
在Rt△FNC中，tan∠NCF＝．
设NC＝2x，FN＝3x，则MF＝6﹣3x，EN＝4﹣2x．
在Rt△FEN中，EN2+FN2＝EF2，
∴（3x）2+（4﹣2x）2＝42，
∴x1＝0（舍去），x2＝．
∴MF＝6﹣3x＝．
∴S△AGF＝；
（3）①若AD＝FD，
如图2，过点F作FH⊥CD，垂足为H，HF的延长线交AB于点G．
矩形ABCD中，AD＝BC＝8，
∴AD＝FD＝8，
又∵BC＝FC＝8，
∴DF＝CF＝8．
∴CH＝CD＝3．
在Rt△FCH中，由勾股定理可得FH＝．
∴GF＝GH﹣FH＝8﹣．
∵将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，
∴∠EFC＝90°，BC＝CF，BE＝EF，
∴∠GFE+∠CFH＝90°，
∵FH⊥CD，AB∥CD，
∴∠HCF+∠CFH＝90°，∠EGF＝∠FHC＝90°，
∴∠GFE＝∠HCF，
∴△EGF∽FHC，
∴．
∴tan∠BCE＝；
②若AF＝FD，
如图，过点F作FM⊥AD，垂足为M，过点F作FN⊥CD，交CD的延长线于点N．
∵AF＝FD，FM⊥AD，
∴MD＝AD＝4．
∴FN＝MD＝4．
∴Rt△FCN中，sin∠FCN＝．
∴∠FCN＝30°．
∴∠BCE＝∠ECF＝30°．
∴tan∠BCE＝；
③若AF＝AD，
∵点E是边AB上的一个动点，
∴AF≤6，
∴AF≠AD．
∴AF＝AD不合题意，舍去．
综上，tan∠BCE的值为或．泰州市民兴中英文学校
初三数学2024年秋学期第二次月度独立作业
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意：所有答案必须填写在答题卡上，写在试卷上无效
选择题（共6小题，每题3分）
1．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高方差会（ ▲ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
3．一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ▲ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点C（﹣4，6），则点C '的坐标为（ ▲ ）
A．（8，﹣12） B．（12，﹣8） C．（6，﹣12） D．（12，﹣6）
5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ▲ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
第1题图 第4题图
6．已知二次函数y＝（x-3）2-6的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系（ ▲ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
填空题（共10小题，每题3分）
7．已知一组数据：1，3，3，4，4，6，则这组数据的众数是 ▲ .
8．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝ ▲ ．
9. 在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）
10. 在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为 ▲ .
11．抛物线y＝2（x﹣1）2+1的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为 ▲ .
12．已知抛物线y＝﹣x2+7x+3，则该抛物线的顶点坐标为 ▲ ．
13．如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ ▲ ．
第13题图 第14题图 第15题图
有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 ▲ cm．
15. 如图，AB为⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝8，CD＝5，图中阴影部分的面积为8π，则EF＝ ▲ ．
16.已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE DE的值为 ▲ ．
解答题（共10小题，共102分）
（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2+（k﹣8）x﹣4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围．
19.（10分）某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 7 9 12 16 6
b．“70≤x＜80”这组的具体成绩（单位：分）是：
70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）此次测试成绩的中位数是 ▲ 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ▲ ；
（2）该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
20.（10分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）直接写出该二次函数图象的对称轴是 ▲ ；
（2）请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象；
x ﹣1 0 1 2 3
y ▲ ﹣3 ﹣4 ▲ 0
（3）根据图象回答下列问题：
①当0＜x＜3时，y的取值范围为： ▲ ；
②当y＞﹣3时，x的取值范围为 ▲ ；
③当x＜k（k是常数）时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ▲ ．
21．（10分）今年春节档多部贺岁片上映．小亮和小丽准备分别从A:《志愿军2》、B:《射雕英雄传：侠之大者》、C:《热辣滚烫》、D:《传说》四部电影中随机选择一部观看．
（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中A:《志愿军2》的概率
为 ▲ ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
22．（10分）如图，AB是⊙O为直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线与线段AC交于点E，且DE＝CE．
（1）猜想直线DE与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若⊙O的半径是3，∠B＝30°，求阴影部分的面积．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求S的最大值．
24．（10分）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；
（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？
25．（12分）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，则t= ▲ ．
26．（12分）已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积；
（3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，则tan∠BCE= ▲ ．
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