资源简介

拔高点突破01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 5
题型一：利用三角向量不等式 5
题型二：定义法 6
题型三：基底法 7
题型四：几何意义法 7
题型五：坐标法 8
题型六：极化恒等式 9
题型七：矩形大法 10
题型八：等和线、等差线、等商线 10
题型九：平行四边形大法 12
题型十：向量对角线定理 14
03 过关测试 14
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则，设，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：利用三角向量不等式
【典例1-1】已知，，则的范围是 .
【典例1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则向量的范围是 ．
【变式1-1】已知，，且，则的最大值为（ ）
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【变式1-2】（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量满足，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1-4】已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________．
题型二：定义法
【典例2-1】已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________.
【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式2-1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
题型三：基底法
【典例3-1】已知的内角的对边分别为，若，，为的中点，为的中点，，则的最大值为 .
【典例3-2】在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 .
【变式3-1】在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【变式3-2】在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ）
A．2 B． C．6 D．4
【变式3-3】如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6
题型四：几何意义法
【典例4-1】已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ．
【典例4-2】已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 ．
【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式4-4】（2024·山东青岛·三模）已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C．2 D．1
题型五：坐标法
【典例5-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．12
【典例5-2】已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【变式5-1】在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【变式5-3】在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型六：极化恒等式
【典例6-1】已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为 .
【典例6-2】在中，，点Q满足，则的最大值为 .
【变式6-1】在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式6-2】点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ．
【变式6-4】（2024·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ．
题型七：矩形大法
【典例7-1】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【典例7-2】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______．
【变式7-2】设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
题型八：等和线、等差线、等商线
【典例8-1】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 .
【典例8-2】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是
【变式8-1】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
【变式8-2】如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【变式8-3】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式8-4】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式8-5】平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A． B． C． D．
题型九：平行四边形大法
【典例9-1】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【典例9-2】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
【变式9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
【变式9-2】（2024·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.
【变式9-3】设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十：向量对角线定理
【典例10-1】已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ）
B． C． D．
【典例10-2】如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
B． C． D．
【变式10-1】在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
1．如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（ ）
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
2．在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．3 C． D．10
4．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．2 C． D．8
5．如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
8．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
10．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，点在圆上运动，则的最小值为（ ）

A．-8 B．-4 C．0 D．4
12．已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
15．扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．-1
16．（多选题）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（ ）
A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的范围是
A．的最小值为 B．的最大值为18
C．的最大值为 D．的面积的最大值为
21．（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．若，则的最小值为
22．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 .
23．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 .
24．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为 .
25．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
26．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是 ．
① ②的最大值为
③最大值为9 ④

27．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．

21世纪教育网(www.21cnjy.com)拔高点突破01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 5
题型一：利用三角向量不等式 5
题型二：定义法 8
题型三：基底法 10
题型四：几何意义法 14
题型五：坐标法 19
题型六：极化恒等式 23
题型七：矩形大法 28
题型八：等和线、等差线、等商线 31
题型九：平行四边形大法 37
题型十：向量对角线定理 43
03 过关测试 44
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则，设，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：利用三角向量不等式
【典例1-1】已知，，则的范围是 .
【答案】
【解析】设，，
，…①；
，…②；
①②得：，，
（当且仅当时取等号），
则，；
（当且仅当与同向时取等号），
的取值范围为.
故答案为：.
【典例1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则向量的范围是 ．
【答案】
【解析】设，
所以①,
一方面，，
当且仅当与同向，与同向时取得最大值，
另一方面，，
其中，当且仅当与反向时取得最小值．
故．
故答案为：
【变式1-1】已知，，且，则的最大值为（ ）
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【答案】A
【解析】，
又，当且仅当与同向时取得等号；
故.
故选：A.
【变式1-2】（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量满足，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
由于：，
，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以，
所以.
故选：B
【变式1-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故选：D
【变式1-4】已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设，则，则由条件知，
所以，所以，
又
所以．
故答案为：.
题型二：定义法
【典例2-1】已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】/
【解析】设，则，设向量、的夹角为，
若，则，可得，
由题意可得，解得，
所以，，，
所以，，
当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值，
且.
故答案为：.
【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】如图：连接
因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，
所以，，，.
所以
.
故选：A
【变式2-1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设为圆心，则，因为，
所以，所以，
所以
，
因为，所以.
故选：C.
【变式2-2】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
如图，连接，作，，
易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，
故，
故，当反向时等号成立，故C正确.
故选：C
题型三：基底法
【典例3-1】已知的内角的对边分别为，若，，为的中点，为的中点，，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为为的中点，为的中点，
所以,
因为，所以，所以
则，
所以.
因为，所以由余弦定理得，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：
【典例3-2】在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，
设，则，
设，
由余弦定理可得，
因为，可得，即，当且仅当时取等号，
又因为，则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：．
【变式3-1】在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】 ．
【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，
由，则，
设，
由余弦定理可得，
因为，可得，即，当且仅当时取等号，
又因为，则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：；．
【变式3-2】在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ）
A．2 B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】在中，由，的面积为，得，则，
由是边的中点，是线段的中点，得，
，
则
，
当且仅当，即时取等号，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故选：D
【变式3-3】如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6
【答案】A
【解析】设，因为，
所以,
又，
，
所以，
故选：A.
题型四：几何意义法
【典例4-1】已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】因为，，，
所以，
又，所以，
因为，，，如图，设，，，
则，，
又向量与的夹角为，则，又，
所以四点共圆，又，
所以，
设外接圆的半径为，
由正弦定理，所以的最大值为.
故答案为：；
【典例4-2】已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】
【解析】(几何法)：本题的关键是要挖掘隐含条件: 和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，
故．
如图，是以为邻边的平行四边形的两条对角线，是以为圆心的单位圆上一动点，构造2个全等的平行四边形．
所以．
易知当三点共线时，最小，此时;
当时，最大，此时 ．
(坐标法)：设，，则，，
所以，
则，
所以．
(不等式法)：最小值:．
(当且仅当和方向相反，即时，取“”)．
最大值:． (当且仅当，即时，取“=”)．
(转化为二元最值问题)：令原题转化为，且， 求的最值．
方法1(数形结合):直线与圆弧有交点，如图可得．
方法2(判别式法):化简得得，所以．
故答案为：；
【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，可得，
即可得；
即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示：
由图可知，当与圆相切时，取到最大，
又，可知此时.
故选：B.
【变式4-2】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，，
，两边平方，整理得到，
对任意实数恒成立，则，解得，则.
由于，如上图，，则
，则的最小值为．
当且仅当终点在同一直线上时取等号.
故选：B．
【变式4-3】已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由，
设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，
由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上，
又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，
则的最小值为
，
表示点到和的距离之和的最小值的倍，
则最小值为，
故选：B.
【变式4-4】（2024·山东青岛·三模）已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题意设，，，
则，即，且，
解得，或.
由可得 ，即，
则，即的终点在以为圆心，1为半径的圆上,
故.
由圆的对称性，不妨令，即，
如图，连接，交圆于，
由点与圆的位置关系可知，.
故选：A.
题型五：坐标法
【典例5-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】D
【解析】如图：以为原点，建立平面直角坐标系.
则，，可设，
则，
所以
所以.
又因为，所以.
故选：D
【典例5-2】已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，
由，得点在以为圆心，2为半径的圆上，
由，得点在以为圆心，1为半径的圆上，
设，
则
，
当时，能取到所有等号，
所以的最大值为1.
故选：C
【变式5-1】在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】
以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴，
因为，所以,
因为，所以,
,
当时，的最大值为3.
故选：D.
【变式5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以．
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，，可得，，．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值．
综上所述，当时，有最大值．
故选：D．
【变式5-3】在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：以中点为原点，建立平面直角坐标系，
则，，设，，
所以，，
所以.
因为，（其中且）.
所以.
从而.
故选：A
题型六：极化恒等式
【典例6-1】已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，设中点为，
因为，
所有，
所以为中点，
所以,
又，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
又
，当且仅当时等号成立，
所以
所以.
故答案为：.
【典例6-2】在中，，点Q满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设中点为M，则，则，
，
又
，
由余弦定理可得：
，
有，
即，
即，当且仅当时，等号成立，
则，
即.
故答案为：.
【变式6-1】在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】方法一：设的中点为，
则
（当为中点时取等号）.
方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设，
因为在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，
所以，，
所以
，
所以当时，有最小值1.
故选：C.
【变式6-2】点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】分别取，中点Q，R，连接，，
则由题，，即，
所以，
作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，
所以
，
所以的最大值为3.
故选：C.
【变式6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ．
【答案】
【解析】取中点为，
则
，
其中易得，故．
故答案为：.
【变式6-4】（2024·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ．
【答案】
【解析】设C为AB的中点，如图示：由题意可知： ,
则，
又因为，所以的取值范围是,
故答案为：
题型七：矩形大法
【典例7-1】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得
，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
【典例7-2】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是矩形，
从而，因为，所以，即
【变式7-1】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______．
【答案】/
【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为，所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以．
故答案为： ．
【变式7-2】设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，
因为，
所以，化简得，
表示以为圆心，为半径的圆，
则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，
故选：B
题型八：等和线、等差线、等商线
【典例8-1】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为,所以,
因为在一条直线上，所以,
所以,当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
【典例8-2】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是
【答案】BD
【解析】因为，即有，则以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，由，得，
点确定的直线方程为：，即，
当点在直线上时，，即，，
因此当时，取得最大值，此时，，A错误；
在上的投影的数量，
当时，，当时，，当且仅当时取等号，即，
当时，，因为恒成立，则，
所以，即在上的投影的数量的取值范围是，B正确；
当点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上时，因为与直线AB相切，
且半径为的圆的圆心轨迹是与直线平行，到直线距离为的两条平行直线，
设这两条与平行的直线方程为，则，解得或，
因此动圆圆心的轨迹为直线或直线，
设圆心为，则点在圆上，其中或，
于是令，
，显然点是直线或上任意一点，
即，从而无最大值，即无最大值，C错误；
，其中锐角满足，
显然，当圆心在直线时，，则，
当圆心在直线时，，则，
所以的范围是，D正确.
故选：BD
【变式8-1】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
【答案】
【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：，
又因为，，则点为中点，
又是的中点，所以，则点在上，
由图形看出，当与重合时：，此时取最小值，
当与重合时：，此时取最大值，
所以的范围是
故答案为：
【变式8-2】如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴，
，，，，
则，，
设，
，，
，
其中，又，所以，
，即时，取得最大值，即．
故选：C．
【变式8-3】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，
如图所示，可得，
因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为，
因为点在的外接圆上，设，其中，
则，且，
又因为，可得且，
所以，
当时，即时，取得最大值为，
所以取得最大值为.
故选：C.
【变式8-4】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点作，交直线于点，
设，可得.
设，，则，
因为，所以，
由图可知，当与半圆相切时，最大，
又由，，可得，
所以，即最大为，所以的最大值为.
故选：B.
【变式8-5】平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，当在直线上时，，
当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，
当恰好切于点时，则，又，，
所以，则，
所以，则，故.
故选：B
题型九：平行四边形大法
【典例9-1】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
【典例9-2】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设点，，
则，，
则，
其中，
所以的最大值为：
，
则当时，取得最大值，
最小值为，
则当时，取得最小值，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
【变式9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
【答案】
【解析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.不妨设，，，由已知，得，，
，令
，则，又显然当，向量反
向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是.
故答案为：.
【变式9-2】（2024·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，
所以，
，
因为
，
所以，，
因为，
当且仅当、同向且、反向时，，
当时，则，所以，，
所以，，所以，，
因为，则，
故当且四边形为菱形时，，
因此，.
故答案为：.
【变式9-3】设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接分别与两圆交于，又两圆外切于点，
三点共线，连，延长交圆与，连，
分别为圆，圆的直径，
，
又，，
设为中点，连，
先固定，根据向量数量积的定义，
当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影
，
当且仅当，等号成立，
同理当在投影最小（在反向上）时，
为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影，
，
当且仅当时，等号成立，
，
所以的数量积取值范围是.
故选：C.
题型十：向量对角线定理
【典例10-1】已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】由对角线向量定理得，
所以，
而，
所以，选择C．
【典例10-2】如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，由对角向量定理得
所以选D．
【变式10-1】在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，由对角线向量定理得
=，所以选A．
1．如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（ ）
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
【答案】B
【解析】设，
由余弦定理得
过点作轴，设垂足为，
在中，，
所以
在中，
，
所以
由
即
得，
所以，
当且仅当时取最小值，没有最大值．
，
其中，
因为，所以，
所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值．
故选：B.
2．在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为，
因为，，所以,，，，
得到，所以，
又因为，所以，
又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号，
所以，
故选：B.
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．3 C． D．10
【答案】C
【解析】根据条件得，
得到，所以，即的最大值为，
故选：C.
4．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C.
5．如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形的高长为，则.
因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，.
则
其中，，
故当时，.
故选：A.
6．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则,
，其中锐角满足，故的最大值为,
故选：A
7．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】C
【解析】如图所示，
不妨设，，，，，满足，，，
又，即，
由椭圆的定义可知点在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，，，所以该椭圆方程为，
而，即，
即，这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，
又，等号成立当且仅当，，三点共线，
故只需求的最大值即可，因为点在椭圆上面运动，
所以不妨设，
则，
所以当，且，，三点共线时，
有最大值，．
故选：C．
8．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量，的夹角为及，得，即，
则，令，
于是
，当且仅当，即时取等号，
由，解得，
所以当且时，取得最大值.
故选：B
9．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，
设，所以，则，
因为，所以，即的最大值为10.
故答案为：C
10．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】因为点是线段的中点，则，
则，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，点在圆上运动，则的最小值为（ ）

A．-8 B．-4 C．0 D．4
【答案】C
【解析】
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设点，由题意知，，
则，，
所以，
因，则,
故当时，即时，取最小值0.
故选:C.
12．已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点、在圆上，且，为圆上任意一点，
因为，所以，是等边三角形，则，
不妨设、，设点，
所以，，
所以，
即的最小值为.
故选：C.
13．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.
则设，
则
所以
所以当时, 取得最小值为.
故选：D.
14．已知向量的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为向量的夹角为，且，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：C.
15．扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．-1
【答案】A
【解析】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，其中，，，
故，,，
，
，，，
，
的取值范围为,，故的最小值为；
故选：A．
16．（多选题）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（ ）
A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的范围是
【答案】BCD
【解析】
如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错；
在三角形中由余弦定理得,
解得，则，，
，
以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系，
，，，，，，，，，
当点在上时，，
当点在上时，设，，
，
则，，，
所以当时，最大为，
当点在上时，设，，
，
则，，，
当时，最大为，
综上可得，当点在点处时最大为，故B正确；
根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小，
此时，故C正确；
取中点，则，
因为，所以，故D正确.
故选：BCD.
17．（多选题）已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则的值是
B．，则的值是
C．，则的范围是
D．，且，则的范围是
【答案】BCD
【解析】由
当时， ，则A错，B正确；
由
因为，所以的范围是，故C正确；
设方程为，
由得
则，得
所以，故D正确．
故选：BCD
18．（多选题）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为6
C． D．满足的点只有一个
【答案】AB
【解析】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，
取的中点，连接，则，所以，A正确；
对于选项，过点作平行于，交圆与点，
过点作，交延长线于点，连接，
则四边形为菱形，
由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，
此时，
故的最大值为，B正确；
对于C选项，，
因为四边形为菱形，所以，且，
因为为定值，
故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，
当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，
故，C错误；
对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，
又当时，满足，故满足的点有2个，D错误.
故选：AB
19．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．的最大值为16
【答案】ACD
【解析】对于A，如图，过作直径，
由题意，
所以
为定值，故A正确；
对于B，若为中点，连接，则
，
由题意，则，故B错误；
对于C，若，故，
则，
又，则，同理可得，故，
故C正确；
对于D，因为，则当弦均与重合时，
此时有最大值，为16，故D正确.
故选：ACD.
20．（多选题）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为18
C．的最大值为 D．的面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，
对于A,B，，故A错误，B正确；
对于C，，
当时，取得最大值，且最大值为，故C正确；
对于D，的面积
，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．
故选：BCD.
21．（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A，设，根据有，
即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；
对B，
，则转化为求圆上的点到的距离最大值，
为，故B正确；
对C，，因为，故，故C正确；
对D，因为，故，
又因为，故，
，
故当时，取最小值取最小值，故D正确.
故选：BCD
22．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 .
【答案】
【解析】设的夹角为，
因为，
又为单位向量，得到，
又，得到，所以，
故答案为：.
23．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 .
【答案】
【解析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，.
设，因为，所以，
整理得，即.
.
又，
则，则.
故答案为：
24．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】以A原点，以所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
由，得，
设，
因为，
所以，得，
所以，又直线的方程为，
由，解得，此时最大，
所以.
故答案为：
25．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
【答案】 2 2
【解析】由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
26．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值9，故③正确；
对于②，因为，所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故②错误．
故答案为：①③
27．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．

【答案】9
【解析】如图，过向作垂线，垂足为，则在上的投影向量是，
在上的投影向量可能与同向，也可能与反向，
在本题中与的夹角为锐角，所以是同向的，
由向量数量积的几何意义，．
由等边三角形边长为3，，得，即半圆的直径为2，
过点作直线的垂线，与直线的夹角为，，
则圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切，
记切点为，当点在半圆上运动到与重合时，，最大，
取最大值，最大值为．
故答案为：9.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑