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第02讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：平面向量的数量积 4
知识点2：数量积的运算律 4
知识点3：数量积的性质 5
知识点4：数量积的坐标运算 5
解题方法总结 6
题型一：平面向量的数量积运算 7
题型二：平面向量的夹角问题 8
题型三：平面向量的模长 9
题型四：平面向量的投影、投影向量 9
题型五：平面向量的垂直问题 11
题型六：建立坐标系解决向量问题 11
题型七：平面向量的实际应用 13
题型八：向量回路恒等式 15
04真题练习·命题洞见 16
05课本典例·高考素材 17
06易错分析·答题模板 18
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错 18
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积 19
考点要求 考题统计 考情分析
（1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的几何意义 2024年I卷第3题，5分 2024年II卷第3题，5分 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年甲卷（理）第4题，5分 2022年II卷第4题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标： （1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义 （2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系． （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 （4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
知识点1：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【诊断自测】（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
知识点2：数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
【诊断自测】（2024·四川雅安·模拟预测）在中，，， 且， 则（ ）
A． B． C． D．
知识点3：数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
【诊断自测】（2024·西藏·模拟预测）已知向量，．若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．2
知识点4：数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
【诊断自测】已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
解题方法总结
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
【典例1-1】设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【典例1-2】在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5 B．2 C． D．
【方法技巧】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
【变式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【变式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【变式1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·陕西安康·模拟预测）菱形的边长为，以为圆心作圆且与相切于是与的交点，则 .
【变式1-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A． B． C． D．1
题型二：平面向量的夹角问题
【典例2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知单位向量满足，则 .
【典例2-2】（2024·陕西·二模）已知，则向量的夹角的余弦值为 .
【方法技巧】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
【变式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ．
【变式2-2】已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ．
【变式2-3】（2024·高三·天津宁河·期末）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为 ．
【变式2-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则 .
【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量满足，且，则的夹角大小为 ．
【变式2-6】（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ．
题型三：平面向量的模长
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知向量满足，则
【典例3-2】（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ．
【方法技巧】
求模长，用平方，．
【变式3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量，，且与共线，则 .
【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量，满足，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式3-3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 .
题型四：平面向量的投影、投影向量
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-3】在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为 .
【变式4-4】已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】已知双曲线的左 右焦点分别为B，C，以BC为直径的圆与渐近线交与点A，连接AB与另一条渐近线交与点E，为原点，，且.若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：平面向量的垂直问题
【典例5-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ．
【典例6-2】如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则
【方法技巧】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
【变式6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 .
【变式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 .
【变式6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ．
【变式6-4】如图，正八边形中，若，则的值为 ．
题型七：平面向量的实际应用
【典例7-1】（2024·高三·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走了 km B．向西南走了 km
C．向东南走了 km D．向西南走了 km
【典例7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【方法技巧】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小.（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
【变式7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
题型八：向量回路恒等式
【典例8-1】如图，在平面四边形中，，，则 ．
【典例8-2】如图，在平面四边形中，若，，则 ．
【方法技巧】
向量回路恒等式：
【变式8-1】如图，已知在四边形中，．则 ．
1．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
5．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
7．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错
易错分析： （1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间的关系是互补还是相等．（2）向量的数量积与代数中，的乘积写法不同，不能漏掉其中的“ ”．
【易错题1】在中，，，，则的值为 .
【易错题2】已知在上的投影向量为，则的值为 .
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积
1、模板解决思路
通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件，把向量用已知模和夹角的向量表示出来．
第二步：将的表示式代入，再根据定义法求数量积．
第三步：进一步求解相关问题．
【经典例题1】已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 .
【经典例题2】如图，在△ABC中，，，，则 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：平面向量的数量积 4
知识点2：数量积的运算律 5
知识点3：数量积的性质 5
知识点4：数量积的坐标运算 6
解题方法总结 7
题型一：平面向量的数量积运算 7
题型二：平面向量的夹角问题 10
题型三：平面向量的模长 14
题型四：平面向量的投影、投影向量 15
题型五：平面向量的垂直问题 19
题型六：建立坐标系解决向量问题 21
题型七：平面向量的实际应用 27
题型八：向量回路恒等式 31
04真题练习·命题洞见 33
05课本典例·高考素材 34
06易错分析·答题模板 38
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错 38
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积 39
考点要求 考题统计 考情分析
（1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的几何意义 2024年I卷第3题，5分 2024年II卷第3题，5分 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年甲卷（理）第4题，5分 2022年II卷第4题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标： （1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义 （2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系． （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 （4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
知识点1：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【诊断自测】（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【解析】取中点，连接，
易知，所以.
故选：C．
知识点2：数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
【诊断自测】（2024·四川雅安·模拟预测）在中，，， 且， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
.
故选：B
知识点3：数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
【诊断自测】（2024·西藏·模拟预测）已知向量，．若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意得，．
，因为，
所以，所以，所以，解得．
故选：A．
知识点4：数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
【诊断自测】已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，
又，所以，即，
所以，解得.
故选：B.
解题方法总结
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
【典例1-1】设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
【典例1-2】在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，，
又为的外心，是的中点，
故选：D
【方法技巧】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
【变式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
【变式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
【变式1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】边长为1的正方形ABCD，，，
，，
所以.
故选：D.
【变式1-4】（2024·陕西安康·模拟预测）菱形的边长为，以为圆心作圆且与相切于是与的交点，则 .
【答案】1+/
【解析】由题可知，则，
所以，
故，
故.
故答案为：
【变式1-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】，，且，
而三点共线，，即，
，
所以.
故选：A.
题型二：平面向量的夹角问题
【典例2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知单位向量满足，则 .
【答案】
【解析】因为，且，
所以，
所以，
即.
又，
所以.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·陕西·二模）已知，则向量的夹角的余弦值为 .
【答案】
【解析】设向量夹角为，则.
故答案为：.
【方法技巧】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
【变式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】由，可得，即，解得，
因为，所以，
又因为，所以．
故答案为：.
【变式2-2】已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】由，且为钝角，所以，解得，
当时，则，解得，此时与夹角为，不成立，
且．
故答案为：且．
【变式2-3】（2024·高三·天津宁河·期末）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为 ．
【答案】/
【解析】因为单位向量与的夹角为，
所以，
所以，
，故，
，故，
所以，
又，
所以向量与的夹角为.
故答案为：
【变式2-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则 .
【答案】
【解析】设，，，①，，②，
因为与向量夹角为钝角，，③，
由①②③解得，.
故答案为：.
【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量满足，且，则的夹角大小为 ．
【答案】
【解析】因为，设向量 与的夹角为6，
所以，
又因为，
所以，所以.
因为，所以.
所以向量的夹角大小为.
故答案为：.
【变式2-6】（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ．
【答案】/0.8
【解析】由题，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案为：.
题型三：平面向量的模长
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知向量满足，则
【答案】
【解析】可得，
故，
故答案为：
【典例3-2】（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ．
【答案】
【解析】设向量，由可得，
又，则，
解得，，则，
所以.
故答案为：
【方法技巧】
求模长，用平方，．
【变式3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量，，且与共线，则 .
【答案】
【解析】因为与共线，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量，满足，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，所以，其中是的夹角，
所以.
故选：B.
【变式3-3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 .
【答案】
【解析】由两边平方得，，
，解得
故答案为：
题型四：平面向量的投影、投影向量
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可设，则，
所以，又，
故在上的投影向量为
，
故选：A.
【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在直角梯形中，且，过作于，
则，故，从而.
因此，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
【方法技巧】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
【变式4-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以， ，
所以在上的投影向量为.
故选：B
【变式4-3】在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为 .
【答案】
【解析】因为，所以为线段的中点，
因为，所以，所以,
所以，
所以为等腰三角形，
所以向量在向量上的投影向量为
,
故答案为：.
【变式4-4】已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上的投影向量为， 即，
则有，
又向量与的夹角为，，
所以.
故选：A.
【变式4-5】已知双曲线的左 右焦点分别为B，C，以BC为直径的圆与渐近线交与点A，连接AB与另一条渐近线交与点E，为原点，，且.若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以BC为直径的圆与渐近线交与点A，AB与另一条渐近线交与点E，
则，由，所以，，
又，则，即是等边三角形，
，则，
由在上的投影向量，即，
所以，
由图得，.
故选：A.
题型五：平面向量的垂直问题
【典例5-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【答案】D
【解析】由题意，向量，可得，
因为，则，即，解得或6．
故选：D
【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，所以，
又，所以，
即，因为，
所以.
故选：A.
【方法技巧】
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】，是夹角为的两个单位向量，
则，，
因为与垂直，
则，
即，解得.
故选：A.
【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，即，解得，
故选：B．
【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量与互相垂直，
所以，即，
即，解得.
故选：C
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】，
记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
故，，
则，
故，又
则．
【典例6-2】如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则
【答案】
【解析】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，，
设，可得，
因为，则，可得，
即，解得，即的坐标为，
设，则，，
由可得，解得，
则，，可得
所以．
故答案为：.
【方法技巧】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
【变式6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 .
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
【变式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、，
由，则，
则，则，，
则，，由，
即，则，
则，，
又在线段上，故有，
解得，即，；
设，，
则，由，则，
由，，则，则，
则，故，
则，，，
则
，
则当时，有最小值.
故答案为：；.
【变式6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ．
【答案】
【解析】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
设与轴正方向的夹角为，
则，即，
所以，
因为三点共线，所以，即，
解得，
所以，所以，
所以，又为锐角，所以
，所以
；
故答案为：
【变式6-4】如图，正八边形中，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】
如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，
，所以，
，所以，
即轴，为等腰直角三角形，
设，则，，
所以，所以，，与关于轴对称，
所以，
，，，
由得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
题型七：平面向量的实际应用
【典例7-1】（2024·高三·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走了 km B．向西南走了 km
C．向东南走了 km D．向西南走了 km
【答案】A
【解析】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知，
所表示的意义为向东南走了 km.
故选：A.
【典例7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，又，，所以，故.
故选：A.
【方法技巧】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为，
故选：C.
【变式7-2】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小.（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出示意图，设与物体平衡的力对应的向量为，则，
以为对角线作平行四边形，则，是绳承受的拉力大小，
由，得，所以，
中，由正弦定理得，即，
可得，
结合，可知当时，达到最小值10.
综上所述，当角时，绳承受的拉力最小.
故选：C
【变式7-3】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
【答案】A
【解析】
如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸，
依题意，，，
则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
【变式7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【解析】如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，
，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，
故选：B．
题型八：向量回路恒等式
【典例8-1】如图，在平面四边形中，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
，
因为，，
从而.
故答案为：.
【典例8-2】如图，在平面四边形中，若，，则 ．
【答案】5
【解析】由题意可得：，
故，则，即.
故答案为：5.
【方法技巧】
向量回路恒等式：
【变式8-1】如图，已知在四边形中，．则 ．
【答案】
【解析】
如图，设分别为的中点．
则．又，
故．
同理，．又，
则
.
故答案为
1．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
5．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量满足，
所以.
故选：B
1．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设中点为，则，即，故边为圆的直径，
则，又，则为正三角形，
则有，
向量在向量上的投影向量，
故选：A
2．已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等边三角形.
故选：D.
3．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C
【解析】因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
4．如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？
【解析】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：
设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则.
在中，，
.
5．已知，求与的夹角.
【解析】因为，
所以，
即，所以，
因此，
所以与的夹角为.
6．如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
【解析】∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.
，
，
，
．
7．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
【解析】设与的夹角为，船行驶的时间为t,.
（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件，把向量用已知模和夹角的向量表示出来．
第二步：将的表示式代入，再根据定义法求数量积．
第三步：进一步求解相关问题．
【经典例题1】已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 .
【答案】
【解析】如图，设与交于点，过点作的平行线交于点.因为，
所以，所以，
因为四边形是边长为2的菱形，，
所以，且，所以在上的投影向量为，
所以.
故答案为：
【经典例题2】如图，在△ABC中，，，，则 ．
【答案】
【解析】由,可知，
,则
故答案为：．
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