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第03讲 三角函数的图象与性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 4
知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 5
知识点3：与的图像与性质 6
解题方法总结 8
题型一：五点作图法 9
题型二：函数的奇偶性 11
题型三：函数的周期性 12
题型四：函数的单调性 14
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 16
题型六：函数的定义域、值域（最值） 18
题型七：三角函数性质的综合应用 19
题型八：根据条件确定解析式 22
题型九：三角函数图像变换 25
题型十：三角函数实际应用问题 27
04真题练习·命题洞见 30
05课本典例·高考素材 31
06易错分析·答题模板 33
易错点：三角函数图象变换错误 33
答题模板：求三角函数解析式 34
考点要求 考题统计 考情分析
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质 （2）三角函数图像的平移与变换 （3）三角函数实际应用问题 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2024年II卷第9题，6分 2023年甲卷第12题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年I卷第15题，5分 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识．
复习目标： （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． （3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【诊断自测】已知向量，向量，令．
0

(1)化简，并在给出的直角坐标系中用描点法画出函数在内的图象；
(2)求函数的值域．
知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
【诊断自测】（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数在上单调递增
D．方程的解为，
知识点3：与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【诊断自测】（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（ ）
A．函数的最小正周期为1
B．函数图象的一条对称轴为
C．函数在上单调递减
D．函数在上恰有5个零点
解题方法总结
1、关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
2、与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若为偶函数，则；若为奇函数，则.
(2)若为偶函数，则；若为奇函数，则.
(3)若为奇函数，则.
题型一：五点作图法
【典例1-1】已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：
0
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；

(2)求函数在区间上的最值以及对应的的值.
【典例1-2】某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)当时，求不等式的解集．
【方法技巧】
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【变式1-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
【变式1-2】设函数.
(1)列表并画出，的图象；

(2)求函数在区间上的值域.
题型二：函数的奇偶性
【典例2-1】若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
【变式2-1】（2024·青海西宁·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·四川成都·一模）已知函数满足：，函数，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【变式2-3】已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型三：函数的周期性
【典例3-1】（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
【变式3-1】已知函数，则（　　）
A．2025 B．
C． D．
【变式3-2】已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为
A． B． C． D．
【变式3-3】设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_______．
【变式3-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【变式3-5】（2024·辽宁·二模）A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A． B．-1 C． D．2
题型四：函数的单调性
【典例4-1】（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
【典例4-2】（2024·高三·山东青岛·期末）函数的单调减区间为 ．
【方法技巧】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间．
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式4-1】函数在上的单调递减区间为 .
【变式4-2】（2024·湖北·二模）将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增
【变式4-3】（2024·湖南长沙·二模）已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-5】的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
【典例5-1】（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________.
【典例5-2】写出函数的一个对称中心： .
【方法技巧】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得
，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
【变式5-1】（2024·高三·河南·期末）将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 .
【变式5-2】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【变式5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则 ．
【变式5-4】（2024·四川成都·模拟预测）函数的图象关于直线对称，则
题型六：函数的定义域、值域（最值）
【典例6-1】实数满足，则的范围是___________.
【典例6-2】求的值域.
【方法技巧】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式6-1】设，则的最小值为__________.
【变式6-2】（2024·上海崇明·二模）已知实数满足：，则的最大值是 ．
【变式6-3】已知函数，该函数的最大值为__________．
【变式6-4】函数的值域为 .
【变式6-5】函数在区间上的最大值与最小值之和是 .
【变式6-6】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．
【变式6-7】已知向量，函数.
(1)求；
(2)若把的图象向右平移个单位长度可得的图象，求在上的值域.
【变式6-8】函数的值域为_____________．
题型七：三角函数性质的综合应用
【典例7-1】（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（　　）
A．
B．
C．点是函数图象的对称中心
D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称
【典例7-2】（多选题）（2024·安徽·三模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．的值域为 D．在上单调递增
【方法技巧】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式7-1】（多选题）（2024·广东广州·三模）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（多选题）（2024·黑龙江佳木斯·三模）关于函数，则下列说法正确是（ ）
A．是函数的一个周期 B．在上单调递减
C．函数图像关于直线对称 D．当时，函数有40个零点
【变式7-3】函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
【变式7-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值．
【变式7-5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
题型八：根据条件确定解析式
【典例8-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．
【变式8-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2024·高三·北京东城·开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .

【变式8-4】已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
【变式8-5】（2024·河北保定·一模）函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆C的半径为，则函数的解析式为
题型九：三角函数图像变换
【典例9-1】（2024·高三·广东湛江·期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【典例9-2】（2024·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【方法技巧】
由函数的图像变换为函数的图像．
方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像的图像
的图像
的图像
【变式9-1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，直线和为函数图象的两条相邻对称轴，为了得到函数的图象，则将函数的图象至少（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【变式9-3】将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【变式9-4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
题型十：三角函数实际应用问题
【典例10-1】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米．
【典例10-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【方法技巧】
（1）研究的性质时可将视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【变式10-2】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
（参考公式与数据：；；.）
【变式10-3】某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心距离地面高度为，半径为，装置上有一小球（视为质点），的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球按逆时针匀速旋转，转一周需要．小球距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系满足．
(1)写出关于的函数解析式，并求装置启动后小球距离地面的高度；
(2)如图2，小球（视为质点）在半径为的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球以角速度为顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求两球高度差的最大值．
【变式10-4】（2024·广东珠海·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为30米？
1．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
1．已知周期函数的图象如图所示，
（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
2．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并画出其图象
3．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
4．已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
5．容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题
6．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
D．把曲线上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
答题模板：求三角函数解析式
1、模板解决思路
求三角函数解析式就是求其中参数，的值，根据各参数的几何意义，结合所给的图象，然后求出各参数的值即可，一般先求A，，然后求，最后求．
2、模板解决步骤
第一步：求A，，借助函数图象的最高点、最低点来确定参数A，的值．
第二步：求，根据周期公式确定参数的值．
第三步：通过代入法求．
第四步：确定函数解析式．
【典型例题1】已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【典型例题2】若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 三角函数的图象与性质
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02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 4
知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 5
知识点3：与的图像与性质 7
解题方法总结 10
题型一：五点作图法 10
题型二：函数的奇偶性 15
题型三：函数的周期性 18
题型四：函数的单调性 22
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 27
题型六：函数的定义域、值域（最值） 30
题型七：三角函数性质的综合应用 35
题型八：根据条件确定解析式 42
题型九：三角函数图像变换 50
题型十：三角函数实际应用问题 53
04真题练习·命题洞见 60
05课本典例·高考素材 63
06易错分析·答题模板 65
易错点：三角函数图象变换错误 65
答题模板：求三角函数解析式 67
考点要求 考题统计 考情分析
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质 （2）三角函数图像的平移与变换 （3）三角函数实际应用问题 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2024年II卷第9题，6分 2023年甲卷第12题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年I卷第15题，5分 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识．
复习目标： （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． （3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【诊断自测】已知向量，向量，令．
0

(1)化简，并在给出的直角坐标系中用描点法画出函数在内的图象；
(2)求函数的值域．
【解析】（1），
0
图像如下图：
（2），，，
，，故函数值域为.
知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
【诊断自测】（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数在上单调递增
D．方程的解为，
【答案】ABD
【解析】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，所以，
因为，则，则，
因为，则，所以，故B正确；
对于C，，由，得，
而，即时，没有意义，故C错误；
对于D，，则，
方程，得，
即，即，
所以或，因为，，
所以或，解得或，故D正确.
故选：ABD.
知识点3：与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【诊断自测】（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（ ）
A．函数的最小正周期为1
B．函数图象的一条对称轴为
C．函数在上单调递减
D．函数在上恰有5个零点
【答案】AC
【解析】由函数为偶函数，得，而，则，
因此，，
由，得，于是，解得，则，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，函数图象关于不对称，B错误；
对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，C正确；
对于D，由，得，解得，
由，解得，因此函数在上恰有6个零点，D错误.
故选：AC
解题方法总结
1、关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
2、与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若为偶函数，则；若为奇函数，则.
(2)若为偶函数，则；若为奇函数，则.
(3)若为奇函数，则.
题型一：五点作图法
【典例1-1】已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：
0
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；

(2)求函数在区间上的最值以及对应的的值.
【解析】（1）在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：
0
0
0 2 0
描点，连线，可得图象如下：
（2）因为，可得，
故当时，即时，取最大值，
当时，即时，取最小值.
【典例1-2】某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)当时，求不等式的解集．
【解析】（1）由表可知，
所以，所以，
又，所以，
所以，
表格如下：
0
0 0
（2），即，
所以，解得，，
又因，所以，即不等式的解集为．
【方法技巧】
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【变式1-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
【解析】（1）表格如下：
0
0
0 1 0
函数在上的图象如下：
（2）将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，
则，
所以，即，
则，
得，
所以不等式的解集为.
【变式1-2】设函数.
(1)列表并画出，的图象；

(2)求函数在区间上的值域.
【解析】（1）
列表：
0
x 1 4 7 10
y 0 2 0 0
作图：
（2）由已知
，
由已知，
∴，
∴，
∴函数在区间上的值域是.
题型二：函数的奇偶性
【典例2-1】若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
则，
因为为奇函数，所以，
所以，
即，
所以，，
所以，
所以最小值为，
故选：D
【典例2-2】（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向右平移个单位后解析式为，
又图象关于原点对称，
时，，
故选：B.
【方法技巧】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
【变式2-1】（2024·青海西宁·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得，
又的图象关于轴对称，所以，
解得，当时，取得最小值．
故选：A．
【变式2-2】（2024·四川成都·一模）已知函数满足：，函数，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】依题意，
所以
所以.
故选：B
【变式2-3】已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】，则
.
故.
故选：A
题型三：函数的周期性
【典例3-1】（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的周期为，
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
可得，
由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，
不妨设，则，即在时取得最小值，
由于，此时，不合题意；，此时，
当时，满足题意.
故选：C.
【典例3-2】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以的最小正周期．
故选：C．
【方法技巧】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
【变式3-1】已知函数，则（　　）
A．2025 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由
得，
所以，
所以
故选：B.
【变式3-2】已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为，设的最小正周期为，则，所以的最小值为，故选C.
【变式3-3】设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_______．
【答案】/
【解析】在区间上具有单调性，区间的长度为，
区间的长度为，
由于，
所以的一条对称轴为，其相邻一个对称中心为，即，
所以.
故答案为：
【变式3-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，；
综上：；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则，
因为，
则，解得，
所以，
．
故选：C.
【变式3-5】（2024·辽宁·二模）A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A． B．-1 C． D．2
【答案】A
【解析】由，可得，
因为，且点A在图像的下降部分，所以，
故，
因为，所以是直线与的图像的三个连续的交点；
由点横坐标，即，解得，，
解得，，所以．
因为，所以，所以，所以，
则．
故选：A．
题型四：函数的单调性
【典例4-1】（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由题意知，，
由，得，
令，得，令，则，
即函数的单调递减区间为.
故答案为：
【典例4-2】（2024·高三·山东青岛·期末）函数的单调减区间为 ．
【答案】；
【解析】因为，
则函数的单调减区间为:，
解得：.
故答案为：.
【方法技巧】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间．
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式4-1】函数在上的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由题意知，.
即，，因为，所以，
所以在中，，
所以在上的单调递减区间为.
故答案为：
【变式4-2】（2024·湖北·二模）将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增
【答案】B
【解析】函数的图象上每一点的横坐标变为原来的得，
再向右平移个单位长度得，
即，
由，得增区间为，．
当时，一个增区间为，而，所以B正确.
故选：B
【变式4-3】（2024·湖南长沙·二模）已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，
且仅有单调递增区间，
故和的最小正周期相同，均为，
则，即，
又直线是图象的一条对称轴，则，
即，结合，得，
故，令，则，
即的单调递减区间为，
故选：B
【变式4-4】已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设函数的图象向左平移单位长度后得到的函数图象对应的函数为，由图可知，函数的图象的最小正周期为，
所以，
所以，
由，得，，，
所以，，取，得，
所以，所以，
所以由，得，即，
所以，，即，，
所以不等式的解集为（），
故选：C
【变式4-5】的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图可得，即，
结合图象可得到在区间中，为最高点，对应的横坐标为，
轴右侧第一个最低点为，对应的横坐标为，
故函数的单调递减区间为
故选：B
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
【典例5-1】（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________.
【答案】6
【解析】显然函数的图象关于点成中心对称，
依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称，
于是，所以.
故答案为：6
【典例5-2】写出函数的一个对称中心： .
【答案】
【解析】
，
令或，
则或，
令，则，所以函数的一个对称中心是.
故答案：(答案不唯一，横坐标符合()即可)
【方法技巧】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得
，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
【变式5-1】（2024·高三·河南·期末）将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，
的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
由题意的图象关于直线对称，
所以，所以，
又，则当时，.
故答案为：.
【变式5-2】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【答案】
【解析】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．
故答案为：
【变式5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则 ．
【答案】
【解析】函数的图象相邻对称轴之间的距离为，
则有，得，所以，则，
又函数图象关于对称，则，且，所以．
故答案为：.
【变式5-4】（2024·四川成都·模拟预测）函数的图象关于直线对称，则
【答案】
【解析】，
显然函数的最小正周期，
又为对称轴，
设在右侧附近的一个对称中心为，
故，解得，故的一个对称中心为，
，解得.
故答案为：
题型六：函数的定义域、值域（最值）
【典例6-1】实数满足，则的范围是___________.
【答案】
【解析】.故令，.
则原式，故.
故答案为：.
【典例6-2】求的值域.
【解析】由可得，
即，
由三角函数辅助角公式可得，
（为辅助角），
则，解得，
故函数的值域为.
【方法技巧】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式6-1】设，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设，由，得，
又由，得，
所以，
令，，
当时，时，即当时，
原函数取到最小值.
故答案为：.
【变式6-2】（2024·上海崇明·二模）已知实数满足：，则的最大值是 ．
【答案】6
【解析】因为
故令，且，
因为，
所以，
所以
，仅当时等号成立.
【变式6-3】已知函数，该函数的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意，函数，
令且，则，
从而， 令，解得或，
当时，；当时，；
当时，，
所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．
因为，，所以的最大值为.
故答案为：.
【变式6-4】函数的值域为 .
【答案】
【解析】由正弦函数的性质可知，当，
当时，；当或时，，故值域为.
故答案为：
【变式6-5】函数在区间上的最大值与最小值之和是 .
【答案】
【解析】由函数，
令，则，即，
所以，
又因为，且，可得，
则，
又由在是增函数，
当时，；当时，，
所以.
故答案为：
【变式6-6】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．
【答案】
【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，
所以，
，
当且仅当时取等，
令，，，
所以.
则的范围是：.
故答案为：
【变式6-7】已知向量，函数.
(1)求；
(2)若把的图象向右平移个单位长度可得的图象，求在上的值域.
【解析】（1）由题意，得，
∴.
（2）由题意，得，
∵，∴，∴，，，
∴在上的值域为.
【变式6-8】函数的值域为_____________．
【答案】
【解析】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
题型七：三角函数性质的综合应用
【典例7-1】（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（　　）
A．
B．
C．点是函数图象的对称中心
D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称
【答案】ABD
【解析】因为函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，，
因为直线为函数图象的一条对称轴，
所以，，则，，
因为，所以，故AB正确；
所以，因为，故C错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为
，图象关于轴对称，故D正确.
故选：ABD.
【典例7-2】（多选题）（2024·安徽·三模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．的值域为 D．在上单调递增
【答案】AC
【解析】对于A，由于的定义域为，且，
故是偶函数，A正确；
对于B，由于，，故，这说明不是的周期，B错误；
对于C，由于
，
且，故.
而对，有，，故由零点存在定理知一定存在使得.
所以的值域为，C正确；
对于D，由于，，故在上并不是单调递增的，D错误.
故选：AC.
【方法技巧】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式7-1】（多选题）（2024·广东广州·三模）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】，
对于A，由，所以，故A正确；
对于B，当时，，由正弦函数可知，在上单调递减，
又的对称轴为，所以，由，则，故B正确；
对于C，令，，所以的对称中心为，，
若成立，则则关于点对称，
令，解得，故C错误；
对于D，因为的周期为，，，，，，，，
所以
.故D正确.
故选：ABD.
【变式7-2】（多选题）（2024·黑龙江佳木斯·三模）关于函数，则下列说法正确是（ ）
A．是函数的一个周期 B．在上单调递减
C．函数图像关于直线对称 D．当时，函数有40个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，，故是函数的一个周期，故A正确；
对于B， 当时，，
则，
因为，，
所以在恒成立，
即函数在上单调递减，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，
所以函数为偶函数，
又因为，
所以函数关于对称，
所以，
故函数的最小正周期为.
又因为
由B选项知，函数在上单调递减，
由对称性，则函数在上单调递增，
且，，
当时，恒成立，
由对称性，，恒成立.
故函数在一个周期内有两个零点，
则函数在内共40个零点，故D正确.
故选：ABD.
【变式7-3】函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
【解析】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.
由图象可知符合题意的的取值范围为.
【变式7-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值．
【解析】（1）
因，令，则，
因在上单调递增，在上单调递减，
而，故．
则，的值域为．
（2）如图，因的最小正周期为，
当时，易得，不满足，故舍去，
当时，依题意：，代入得：．
由，，可得，．
由，，代入，解得，．
，，
当时，，；
当时，，，
故的值为．
【变式7-5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
（2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：，
再将其向右平移，可得：，
即函数，
因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是，
再由函数有且仅有4个零点，则满足，
解得，所以实数的取值范围.
题型八：根据条件确定解析式
【典例8-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知的周期满足，得，
即，得，
所以，
因为点是图象的一个点，
所以，，
则，又，所以，
所以，
将的图象向右平移2个单位长度，
得到函数.
故选：D.
【典例8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可得，又，故，，故，
则，又，故，
，即，，
故，，又，故，
则，将的图象向右平移个单位长度后，
可得，
故选：A.
【方法技巧】
根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．
【变式8-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据图像可知，可得，即；
又，可得，
解得，由可知；
即可得，
把函数的图像向右平移得到；
即.
故选：A
【变式8-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，
则的一个最低点为，
的最小正周期为，则，
，即，
所以，
又因为，所以，
所以，
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，
得的图象，
再将所得曲线向左平移个单位长度，
得，
故，
故选：D.
【变式8-3】（2024·高三·北京东城·开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .

【答案】
【解析】根据图象知，，
将点代入，得，
，又，则，
，
将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为．
故答案为：，．
【变式8-4】已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
【答案】
【解析】由题知，函数（，）的部分图象如图所示，
所以，即
所以，
所以，
因为图象经过点，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
得，
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得，
所以所得函数图象的解析式为，
故答案为：
【变式8-5】（2024·河北保定·一模）函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆C的半径为，则函数的解析式为
【答案】D
【解析】由函数图象，可得点的横坐标为，
所以函数的最小正周期为，所以A不正确；
又由，且，即，
根据五点作图法且，可得，解得，
因为，可得，
结合三角函数的性质，可得函数在是先减后增的函数，所以B错误；
将函数的图象向左平移个单位后，得到，
可得对称轴的方程为，即，
所以不是函数的对称轴，所以C错误；
当时，可得，即,
若圆的半径为，则满足，即，
解得，所以的解析式为，所以D正确.
故选：D.
题型九：三角函数图像变换
【典例9-1】（2024·高三·广东湛江·期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.
故选：D
【典例9-2】（2024·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】因为，
所以只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A
【方法技巧】
由函数的图像变换为函数的图像．
方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像的图像
的图像
的图像
【变式9-1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象.
故选：B
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，直线和为函数图象的两条相邻对称轴，为了得到函数的图象，则将函数的图象至少（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】由题可得，
由直线和为函数图象的两条相邻对称轴可得，
函数的最小正周期，得，
所以，
则，
故将函数的图象至少向左平移个单位长度可得到的图象.
故选：A．
【变式9-3】将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】A
【解析】对于A：向左平移个单位可得到，符合；
对于B：向右平移个单位可得到，不符合；
对于C：向右平移个单位可得到，不符合；
对于D：向左平移个单位可得到，不符合；
故选：A.
【变式9-4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】C
【解析】曲线，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象.
故选：C.
题型十：三角函数实际应用问题
【典例10-1】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米．
【答案】
【解析】如图所示：
由题意知：，，设，
则，，
所以，
由于，当且仅当，即时取等号，
所以，因为，
所以当时，可以获得观看的最佳视野.
故答案为：
【典例10-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【答案】A
【解析】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，
周期，，所以，
即，
当时，游客在点，其中以为终边的角为，
所以，
当时，可得
所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.
故选：A.
【方法技巧】
（1）研究的性质时可将视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【答案】B
【解析】由题意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上．
在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故选：B．
【变式10-2】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
（参考公式与数据：；；.）
【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，游客甲位于点，
以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，
（2）当时，
.
所以，游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为
则甲、乙距离地面的高度差
利用，
可得，.
当（或），即（或22.8）时，的最大值为.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
【变式10-3】某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心距离地面高度为，半径为，装置上有一小球（视为质点），的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球按逆时针匀速旋转，转一周需要．小球距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系满足．
(1)写出关于的函数解析式，并求装置启动后小球距离地面的高度；
(2)如图2，小球（视为质点）在半径为的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球以角速度为顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求两球高度差的最大值．
【解析】（1）由题意，半径为m，，
根据小球转一周需要需要6，可知小球转动的角速度，
所以关于的函数解析式为，，
当时，，
所以圆形轨道装置启动1min后小球距离地面的高度为m．
（2）根据题意，小球的高度关于的函数解析式为
，，
则，两点高度差为，，
当，即时，的最大值为2，
所以,两球高度差的最大值为2m．
【变式10-4】（2024·广东珠海·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为30米？
【解析】（1）（其中，，，
由题意知：，
，故，
，，
又，，
，
故解析式为：，,；
（2）令，则，即，
因为,，则，
所以或，解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟时，首次距离地面的高度恰好为30米．
1．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
2．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
4．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
5．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
1．已知周期函数的图象如图所示，
（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
【解析】（1）.
（2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示
（3）
所以.
2．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并画出其图象
【解析】三角函数定义可得，
0 2 0 -2 0
描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：
3．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）最小正周期为.
（2），
.
即在区间上的最大值为，最小值为.
4．已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
【解析】由题意可得，
.
.
5．容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题
【解析】由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为.
能.
由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为，对称轴的方程是，
正切曲线的对称中心坐标为，正切曲线不是轴对称图形.
6．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【解析】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
易错点：三角函数图象变换错误
易错分析： 函数中，参数的变化引起图象的变换：的变化引起图象中振幅的变换；的变化引起横向伸缩变换；的变化引起左右平移变换；的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【易错题1】要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【解析】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得的图象.
故选：C.
【易错题2】已知曲线，，若想要由得到，下列说法正确的是（ ）
A．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
B．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，由图象中最值可知，
周期满足，又，则，故，
所以，又点在的图象上，
所以，即，
所以，即，
而，所以，
所以.
故选：C.
【典型例题2】若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图：
易知：，，即.
由，，
时，.
所以：.
故选：C
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