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专题六、角的运动问题
类型一、角度之间数量关系
例．如图，点O为直线上一点，过点O作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)当时，请解决一下问题；
①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数．
②将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为　 　（直接写出结果）．
③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
(2)图1中射线在上方且，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度），试探究三者之间的数量关系．
【变式训练1】以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
【变式训练2】如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．
(1)如图1，当时，________，________．
(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．图2：__________；图3：__________．
【变式训练3】如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．

(1)若，求的度数；
(2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由．
类型二、定值问题
例．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．
①当时，求度数；
②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式训练1】如图，内部有一射线OC，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转（即在与之间来回摆动），当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1)时， ；
(2)当t为何值时，恰好是的平分线；
(3)在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
(1)如图②，当______时，恰好平分；
(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．

∵平分，∴，而，
∴，解得：；
（2）如图，∵，平分，∴，

∵，，
∴，
【变式训练3】如图，已知，．
(1)求的度数；
(2)若射线绕点以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；
(3)若绕点以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．
类型三、运动时间问题
例．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
(1)当时，求和的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；
②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．
【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
(1)【发现规律】如图①，已知，，则的度数为___________时，为的角平分线．
(2)【探索归纳】如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
(3)【问题解决】如图②，若，，，射线，同时绕点O旋转，以每秒顺时针旋转，以每秒逆时针旋转，当与重合时，，同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线为，，中任意两条射线夹角的角平分线．
【变式训练2】点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线，使得，作的平分线．
(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．
【变式训练3】已知直线和交于点，的度数为，于点，平分．
(1)当，求与的度数．
(2)当，射线、分别以，的速度同时绕点顺时针转动，求当射线与射线重合时至少需要多少时间？
(3)当，射线以的速度绕点顺时针转动，同时射线也以的速度绕点逆时针转动，当射线转动一周时射线也停止转动．射线在转动一周的过程中当时，求射线转动的时间．
课后训练
1．如图，已知，在内部，在的内部，．
(1)若，则______；若，则_______（用含的代数式表示）；
(2)将以OC为折痕进行翻折，落在处，将以为折痕进行翻折，落在处，的度数变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出的度数．
2．已知，，平分．
(1)如图1，在的内部．
①若，____________，____________；
②若，____________，____________（都用含的式子表示）：
(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，使射线在的内部，射线在的外部．设的度数为，当时，求的值．
(3)将图1中的绕点O逆时针旋转，使射线在的外部，射线在的内部，如图3，平分，请猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．
3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．

(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了　 　秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
4．如图，．
(1)若平分，求的度数；
(2)渃，求的度数；
(3)若射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值．
5．如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
(1)已知，求EF的长．
(2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？
(3)类比应用
①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数．
②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可）
答案版
类型一、角度之间数量关系
例．如图，点O为直线上一点，过点O作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)当时，请解决一下问题；
①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数．
②将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为　 　（直接写出结果）．
③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
(2)图1中射线在上方且，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度），试探究三者之间的数量关系．
（1）解：（1）平分，
，；
，
当射线平分时，如图2所示，，
旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；当射线平分时，如图4所示，，
旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；
综上知，则的值为；或；故答案为：或；
，且，
，，
即与的数量关系为：；
（2）解：当旋转角时，射线在的内部时，如图5；
则，，
；
；
当旋转角时，此时射线在的内部，如图6所示；
，
；
当旋转角时，此时射线在的内部，如图7所示，，
，
，
，
；
当旋转角时，此时射线在的内部，如图8所示，
；
，
；
综上，当旋转角时，；
当旋转角时，；
当旋转角时，．
【变式训练1】以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°；
（2）解：①∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②如图，当在的内部时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
【变式训练2】如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．
(1)如图1，当时，________，________．
(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
解（1）∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
在（1）中有：，，，
∴；
（3）图2中，，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
图3中，，理由如下：
∵，
∴，
∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练3】如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．

(1)若，求的度数；
(2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由．
（1）解：是的余角，，
，
，
平分，
；
（2）解：或，理由如下：
设，
是的余角，
，，
，
平分，
，
，
．
当射线在内部时，如图：

，
，
；
当射线在内部时，如图：

，
，
，
综上可知，或．
类型二、定值问题
例．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．
①当时，求度数；
②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（1）解：∵,
∴
∴
∵，分别平分和
∴,
∴
故答案为，，．
（2）解：①∵，与互补，
∴
又∵平分，平分，平分，
∴
∴，解得：
∴.
②由①得：
∴，
∴．
【变式训练1】如图，内部有一射线OC，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转（即在与之间来回摆动），当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1)时， ；
(2)当t为何值时，恰好是的平分线；
(3)在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
（1）解：（1）当时，，，
，
；
故答案为：100；
（2），与的度数比为，
，，
从旋转到或从旋转到需要（秒），从旋转到需要（秒），
当时，，，
恰好是的平分线，
，
解得；
当时，，，
恰好是的平分线，
，
解得（舍去）；
当时，，，
恰好是的平分线，
，
解得；
综上所述，当为3或7时，恰好是的平分线；
（3）存在某个时间段，使得的度数保持不变，理由如下：
当时，，，
平分，
，
，
时，的度数保持不变，；
当时，，，
平分，
，
，
时，的度数随的改变而改变；
当时，，，
平分，
，
，
时，的度数保持不变，；
综上所述，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，．
【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；
(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
（1）解：如图，由题意可得：，而，
∴，

∵平分，∴，而，
∴，解得：；
（2）如图，∵，平分，∴，

∵，，
∴，
∴，
解得：；
（3）如图，∵，恰好平分，
∴，，

同理：，而，
∴，
解得：；
（4）如图，

∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
而，
∴．
（5）如图，

∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
而，
∴．
【变式训练3】如图，已知，．
(1)求的度数；
(2)若射线绕点以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；
(3)若绕点以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．
【详解】（1）解：设，
，，，
又，，解得，则．
（2）解：当射线与射线重合时，则，解得，
当射线旋转至射线的初始位置时，，
当射线旋转至射线的初始位置时，，
因此，分以下三种情况：
①当时，则，解得，符合题设；
②当时，，解得，符合题设；
③当时，，解得，不符题设，舍去；
综上，当时的值为3或5．
（3）解：当与重合时，
则，解得，
当时，在旋转的过程中，一定在的后面，
旋转秒后，，，，
平分，平分，
，，
，
即在旋转的过程中，的度数不发生改变，其值为．
类型三、运动时间问题
例．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
(1)当时，求和的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；
②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．
（1）解：∵，
，
当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，
故，
；
（2）①由题意，，，
令，解得．
令，解得，
射线与射线重合之前，射线与射线重合之前，
．
当时，；
当时，，
即；
②由题意知，运动时间为，运动时间为．
当时，，，
此时，，不符合题意；
当时，，，
令，
解得或；
当，，
或，
此时，不符合题意；
当时，停止运动．
如图1，当未过延长线时，
，
，
，
此时，不符合题意．
如图2，当已过延长线时，
，
，．
令，
解得或．
综上，或或或，
【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
(1)【发现规律】如图①，已知，，则的度数为___________时，为的角平分线．
(2)【探索归纳】如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
(3)【问题解决】如图②，若，，，射线，同时绕点O旋转，以每秒顺时针旋转，以每秒逆时针旋转，当与重合时，，同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线为，，中任意两条射线夹角的角平分线．
（1）解：，，
，
当时，为的角平分线，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
，，
，
为的角平分线，
；
（3）解：由题意知，旋转了，旋转了，
，，
，
，即与旋转秒后重合．
，，
，
，即旋转秒后与重合．
①当为，夹角的角平分线，即平分时，
旋转后的，，
，
解得；
②当为，夹角的角平分线，即平分时，
旋转后的，
，
解得；
③当为，夹角的角平分线，即平分时，
旋转后的，，
，解得，
综上可知，t的值为或或．
【变式训练2】点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线，使得，作的平分线．
(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．
（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
①当射线在内部时，如图2（1），
；
②当射线在外部时，如图2（2），
，
综上所述，的度数为或；
（3）∵平分，
∴，
①如图3，
，
∵平分，
∴，
∴，
∴旋转的时间（秒）；
②如图3（1），
此时，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴旋转的时间（秒）；
综上所述，旋转的时间为8秒或秒．
【变式训练3】已知直线和交于点，的度数为，于点，平分．

(1)当，求与的度数．
(2)当，射线、分别以，的速度同时绕点顺时针转动，求当射线与射线重合时至少需要多少时间？
(3)当，射线以的速度绕点顺时针转动，同时射线也以的速度绕点逆时针转动，当射线转动一周时射线也停止转动．射线在转动一周的过程中当时，求射线转动的时间．
解：（1）∵，
∴， ∴，
∵，∴，
∵平分，∴．
（2）当时，，∴，∴，
∴当和重合时，时间．
（3）设转动的时间为t，当时，，
∴，∴，∴，
由题意得，转动一圈需要360÷15=24秒，
①，解得；
②，解得；
③，解得．则转动的时间为或或．
课后训练
1．如图，已知，在内部，在的内部，．
(1)若，则______；若，则_______（用含的代数式表示）；
(2)将以OC为折痕进行翻折，落在处，将以为折痕进行翻折，落在处，的度数变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出的度数．
（1）解：∵，，，
∴；
若，则；
故答案为：；．
（2）解：不变，，理由如下，如图，
设，由（1）可得，
∴，，
，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
2．已知，，平分．
(1)如图1，在的内部．
①若，____________，____________；
②若，____________，____________（都用含的式子表示）：
(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，使射线在的内部，射线在的外部．设的度数为，当时，求的值．
(3)将图1中的绕点O逆时针旋转，使射线在的外部，射线在的内部，如图3，平分，请猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．
（1）解：①因为，，，
所以，
所以，
②若，
则，
，
故答案为：①， ；②，；
（2）解：因为，，，
所以．
因为平分，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以；
（3）解：，
理由如下：
设，则，
所以，
所以，
因为平分，
所以，
所以，
所以，
所以．
3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．

(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了　 　秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
（1）解：如图1中，

∵，∴．故答案为9．
（2）①结论：；理由：如图2中，

∵，，
∴；
②如图3中，结论仍然成立．

理由：∵，，
∴．
（3）①，；
②∵平分，∴，
∴，解得：，
∴当t为时，平分．
4．如图，．

(1)若平分，求的度数；
(2)渃，求的度数；
(3)若射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的度数为．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，

由题意得：，，
∴，，
∵
∴，
解得：；
当射线与射线相遇后且均在内部时，如图，

由题意得：，，
∴，，
∵
∴
解得：；
综上所述，当时或5．
5．如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
(1)已知，求EF的长．
(2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？
(3)类比应用
①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数．
②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可）
解：（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC=AC，DF=DB．∴EC+DF=AC+DB＝ (AC+DB)．
又∵AB=18，CD=2，∴AC+DB=AB-CD=18-2=16．∴EC+DF= (AC+DB)=8．
∴EF=EC+DF+CD=8+2=10．答案为：10．
（2）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC=AC，DF=DB．
∴EF=EC+CD+DF=AC+DB+CD=（AC+DB）+CD=（AB-CD）+CD=（AB+CD）．
又∵AB=18，CD=2，
∴EF=（AB+CD）=．
（3）①∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．
∴∠EOC+∠DOF=∠AOC+∠DOB=（∠AOC+∠DOB）．
又∵∠AOB=140°，∠COD=20°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°．
∴∠EOC+∠DOF=60°．
∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=60°+20°=80°．
②由（1）得：∠EOC+∠DOF=（∠AOC+∠DOB）．
∵∠AOC+∠DOB=∠AOB-∠COD，
∴∠EOC+∠DOF=（∠AOB-∠COD）．
∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=（∠AOB-∠COD）+∠COD=∠AOB+∠COD，
故答案为：∠EOF=∠AOB+∠COD．
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