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2024-2025 学年河南省多校高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2 2 2
1.曲线 + = 1与曲线 + = 1( < 4)的( )
9 4 9 4
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
2.已知数列{ }的通项公式为
2
= + ，且2和7是{ }中的两项，则 =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 3
3.已知中心在原点的双曲线 的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为(0, √ 10)，则 的方程为( )
2 2 2
2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
2 8 4 4 6 8 2
4.设 为“ + = + ”， 为“{ }是等差数列”，则 是 的( ) +3 +1 +2
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若直线 : 4 = 0与圆 : 2 + 2 = 4相离，则点 ( , )( )
A. 在圆 外 B. 在圆 内 C. 在圆 上 D. 位置不确定
2 2
6.设 为椭圆 + = 1上一动点， 1， 2分别为椭圆的左、右焦点， ( 1,0)，则| 2| + | |的最小值为( ) 25 9
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
3 2 +
7.设等差数列{ }和{ }的前 项和分别为 和 ，若
= ，则 1 17 =( )
+2 2+ 18
7 9 25
A. B. C. D. 2
3 4 12
8.已知 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点，△ 的三个顶点都在 上，且 为△ 的重心.若| | +
| |的最大值为10，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{ }的前 项和为 ， 9 = 27， 2 + 10 = 10，则( )
A. 1 = 5 B. 6 = 2 C. ≥ 3 D. 7 = 7
10.已知直线 的方程为 = 0， (1, 1)， (3,3)，则下列结论正确的是( )
A. 点 不可能在直线 上
B. 直线 恒过点(1,0)
C. 若点 ， 到直线 的距离相等，则 = 2
D. 直线 上恒存在点 ，满足 = 0
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11.如图，在三棱锥 中， ⊥ ， ⊥平面 ， = = = 2， ， ， ， 分别为 ，
， ， 的中点， 是 的中点， 是线段 上的动点，则( )
A. 存在 > 0， > 0，使得 = +
B. 不存在点 ，使得 ⊥
√ 5
C. | |的最小值为
2
√ 10
D. 异面直线 与 所成角的余弦值为
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在空间直角坐标系 中，点 ( , 0,2 3)与 ( , 0, )关于原点 对称，则点 的坐标为 ．
13.记数列{ }的前 项和为 ，已知 +1 + 1 = 2 + 2 ( ≥ 2)且 1 = 1， 2 = 3，则 = ．
14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的
2 2
中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆 :
2
+ 2 = 1( > > 0)及其蒙

日圆 ， 的离心率为√ 6，点 ， ， ， 分别为蒙日圆 与坐标轴的交点， ， ， ， 分别与 相
3
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切于点 ， ， ， ，则四边形 与四边形 的面积的比值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设{ }为递增的等差数列，其前 项和为 ，已知 1 = 6，且2 5 =
2
3．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求使 > 3 成立的 的最小值．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， = = 2， = 4， = 2√ 2， = 2√ 5， 为
的中点．
(1)证明： ⊥ ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知 是抛物线 : 2 = 2 (0 < < 3)的焦点， ( 0, 4)是 上一点，且 在 的准线上的射影为 ，| | = 5．
(1)求 的方程;
4
(2)过点 作斜率大于 的直线 与 交于另一点 ，若△ 的面积为3，求 的方程．
3
18.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ，△ 是边长为2的等边三角形， 1 = 1 ，
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1
为 的中点，且 1 = 2， 为 1 的中点， 为 的中点， = 1． 4
(Ⅰ)设向量 为平面 的法向量，证明： = 0;
(Ⅱ)求点 到平面 的距离;
(Ⅲ)求平面 与平面 1 夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为2，左、右焦点分别是 1， 2， 是 的右支上一点， 1的
中点为 ，且| 1| | | = 1( 为坐标原点)， 是 的右顶点， ， 是 上两点(均与点 不重合)．
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)若 ， 不关于坐标轴和原点对称，且 的中点为 ，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值;
(Ⅲ)若 ， 不关于 轴对称，且 ⊥ ，证明：直线 过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0,0,1)
13.【答案】 2 + 1, ∈
8
14.【答案】
3
15.【答案】(1)
设公差为 , > 0，
因为 1 = 6，且2 =
2
5 3，
5×4
所以2 × (5 × 6 + ) = (6 + 2 )2，解得 = 2或 = 3(舍)，
2
故 = 6+ 2( 1) = 2 + 4；
(2)
(6+2 +4)
由(1)可得， = =
2 + 5 ，
2
若 > 3 ，则
2 + 5 > 6 + 12，解得 > 4，
故 的最小值为5．
16.【答案】解：(1)证明：由 = = 2， = 4， = 2√ 2， = 2√ 5，
可得 2 + 2 = 2， 2 + 2 = 2，
则 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
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所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图：
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,0,2)， (1,4,0)，
= (2,0,0)， = (2,0, 2)， = (1,4, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
· = 2 2 = 0
则{ ,
· = + 4 2 = 0
取 = 1，可得 = = 4，则 = (4,1,4)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| · | 2×4 4√ 33
则sin = |cos , | = = = ，
| |·| | 2×√ 33 33
即直线 与平面 所成角的正弦值为：4√ 33．
33

17.【答案】解：(1)由题可知，抛物线 : 2 = 2 (0 < < 3)的准线方程为 = ，
2
因为 ( 0, 4)在抛物线 上，| | = 5，

所以16 = 2 (5 )，解得 = 2或 = 8(舍)，故抛物线 的方程： 2 = 4 ；
2
(2)由(1)， (4,4)， (1,0)，
4
设直线 为 4 = ( 4)，且 > ，
3
联立直线 与抛物线 2 = 4 ，有 2 2 4(2 2 2 + 1) + 16( 1)2 = 0，
令点 的坐标为( , )，
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16(2 2 2 + 1)2 4 2 · 16( 1)2 > 0
24(2 2 +1) 2
有 + 4 =
4( 1)
2

，解得 = 2 ，

16( 1)
2
{4 = 2
4(2 1)
故| | = √ (4 )2 + (4 )2 = √ 1 + 2| 4| = √ 1 + 2 · 2 ，

3 4
点 到直线 的距离为 = ，
√ 2 1+
1 1 4(2 1) 3 4 2(2 1)(3 4)
所以△ 的面积为 = · | | · = · √ 1 + 2 · 2 · = 2 = 3， 2 2 √ 2 1+
4
解得 = 2或 = (舍)，所以直线 的方程为2 4 = 0．
9
18.【答案】(Ⅰ)证明：连接 ，
因为 1 = 1 ， 为 的中点，
所以 1 ⊥ ，
因为平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因为△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
则 、 、 1 两两垂直，
以点 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则 (0, 1,0)， (√ 3, 0,0)， (0,1,0)，
1
1(0,0,2)， 1(0,2,2)， (0, , 1)， 2
由 = 1 1 = (0,1,2)，可得 1(√ 3, 1,2)，
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1 1 1 1 1
由 为 的中点， = 1，可得 (0, , )， (√ 3, , )， 4 4 2 4 2
则
1
= (√ 3, , 0)，
2
可知 // ，而 1 1 = (0,0,2)， · 1 = 0，
则 · = 0．
1
(Ⅱ)解： = (√ 3, 1,0)， = (√ 3, 1,0)， = (√ 3, , 1)，
2
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
·
1
= √ 3 1 2 1 1 = 0则{ ,
· = √ 3 1 1 = 0
令 1 = 2，则 1 = 2√ 3， 1 = √ 3， = (2,2√ 3,√ 3)，
| · | √ 3×2+1×2√ 3+0×√ 3 4√ 57
则点 得到平面 的距离为 = = =| | 2 2 2 19 ． √ 2 +(2√ 3) +(√ 3)
(Ⅲ)解：
1
1 = (√ 3, 0,2)， = (0, , 1)， 2
设平面 1 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
· 1 = √ 3 2 + 2 2 = 0
则{ 1 ,
· = 2 + = 02 2
令 2 = √ 3，则 2 = 2， 2 = 2√ 3，即 = ( 2,2√ 3,√ 3)，
· 4+12+3 11
则cos , = = =| |·| |
√ 2 2 2 2
19，
22+(2√ 3) +(√ 3) ×√ ( 2)2+(2√ 3) +(√ 3)
11
故平面 与平面 1 夹角的余弦值为 ． 19
19.【答案】解：(Ⅰ)因为 为 1的中点， 为 1 2中点，
所以| 2| = 2| |，
所以| 1| | 2| = 2| 1| 2| | = 2(| 1| | |) = 2 = 2 ，即 = 1，

又 = = 2，则 = 2，所以 = √ 2 2 = √ 3，

2
所以双曲线的标准方程为 2 = 1;
3
(Ⅱ)设 ( 1, 1), ( 2, 2), ( 0, 0)，
因为 ， 不关于坐标轴和原点对称，且 的中点为 ，
2
21
1 = 1
则{ 3 ,
2
2
22 = 13
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(
两式相减可得( )( + ) = 1 2
)( 1+ 2)
1 2 1 2 ， 3
( )( + ) 2
即 1 2 1 2 = 1 2 · 0 = · = 3，
( )( + ) 2 1 2 1 2 1 2 0
所以直线 与直线 的斜率之积为定值3;
(Ⅲ)若 ， 不关于 轴对称，设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1), ( 2, 2),
2
2
联立{ = 13 ，消去 得(3 2 1) 2 + 6 + 3 2 3 = 0，
= +
6 3 2 3
由题意3 2 1 ≠ 0， > 0， 1 + 2 = , = ， 3 2 1 1 2 3 2 1
因为 (1,0)， = ( 1, )， 1 1 = ( 2 1, 2)且 ⊥ ，
所以 · = ( 1 1)( 2 1) + 1 2 = ( 1 + 1)( 2 + 1) + 1 2
= ( 2 + 1) 1 2 + ( 1)( 1 + 2) + ( 1)
2
2 3
2 3 6
= ( + 1) · 2 + ( 1)( 2 ) + ( 1)
2 = 0，
3 1 3 1
化简得 2 + 2 = 0，解得 = 1，或 = 2，
当 = 1时，直线 为 = + 1恒过(1,0)与点 重合，不合题意，
当 = 2时，直线 为 = 2恒过( 2,0)，
所以直线 过定点( 2,0)．
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