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12.9逆命题、逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．两个全等三角形的对应角相等
C．若，，则 D．全等三角形的对应边相等
2．下列定理中，不存在逆定理的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
3．下列命题为假命题的是( )
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．对顶角相等
C．三角形的两边之和大于第三边
D．两直线平行，内错角相等
4．下列命题的逆命题是假命题是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．直角三角形的两锐角互余
C．如果，那么或 D．如果两个角是对顶角，那么它们相等
5．下列定理中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等
C．直角三角形的两锐角互余 D．同角的补角相等
6．下列命题的逆命题不正确的是（　　）
A．全等三角形的对应边相等 B．两直线平行，同位角相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．矩形的对角线相等．
7．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．若，则
C．等腰三角形的两底角相等 D．对顶角相等
8．下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（ ）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等 D．邻补角互补
9．下列命题：①两直线平行，内错角相等；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③全等三角形对应角相等；④平行四边形的两组对边分别相等．其逆命题成立的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．“等角的余角相等”的逆命题是（ ）
A．等角的补角相等 B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等
C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 D．同角的余角相等
11．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．如果两个角都等于，那么这两个角相等
D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
12．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果 ，那么 ．
14．命题“如果a、b都是正数，那么积ab是正数”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”）．
15．命题“不是对顶角的两个角不相等”的逆命题是 ．
16．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
17．命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
三、解答题
18．与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
19．校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
20．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
（1）求证：点在的垂直平分线上；
（2）若，求的度数．
21．【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3．角平分线”部分内容．
【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，
①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________．
②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明．
已知：如图，点是内部一点，________．
求证：________．
证明：

参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B D D B C C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据有理数的性质和全等三角形的判定进行判断．
【详解】解:A：逆命题：若，则，当a=1，b=-2时，错误；
B：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；
C：逆命题：若，则，，也可能a=0，b≠0，错误；
D：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS可以判定，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
2．D
【分析】根据逆命题的定义先写出各选项中原命题的逆命题,再对得到的逆命题判断真假.
【详解】A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确；
B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确；
C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确；
D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似；
故答案为D
【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.
3．A
【分析】根据三角形全等的判定方法对A进行判定；根据对顶角的性质对B进行判断；根据三角形三边关系对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
【详解】A、有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项为假命题；
B、对顶角相等，所以B选项为真命题；
C、三角形的两边之和大于第三边，所以C选项为真命题；
D、两直线平行，内错角相等，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；熟知其定义是解题的关键．
4．D
【分析】先写出各选项的逆命题，再判断真假即可.
【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两锐角互余，逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
C、如果，那么或，逆命题是如果或，那么，是真命题，不符合题意；
D、如果两个角是对顶角，那么它们相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了真假命题、逆命题，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键.
5．B
【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，正确把原命题的结论和条件互换，从而写出对应的逆命题是解题的关键．
【详解】解：A、原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行，该逆命题是真命题，不符合题意；
B、原命题的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，符合题意；
C、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为：如果两个角相等，则这两个角是同一角的补角，该逆命题是真命题，不符合题意；
故选B．
6．D
【分析】根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可．
【详解】解：A的逆命题是：对应边相等的三角形是全等三角形，正确；
B的逆命题是：同位角相等，两直线平行，正确；
C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形，正确；
D的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误
故选：D
【点睛】本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．
7．D
【分析】根据平行线的判定、等腰三角形的判定及逆命题可进行求解．
【详解】解：A选项的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故不符合题意；
B选项的逆命题为“若，则”，是真命题，故不符合题意；
C选项的逆命题为“如果一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形”，是真命题，故不符合题意；
D选项的逆命题为“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”，是假命题，还可以是两个直角，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的判定及逆命题，熟练掌握各个定理是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意，分别写出逆命题，再逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 对顶角相等，逆命题为：相等的角是对顶角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；
B. 直角三角形的两个锐角互余，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，原命题的逆命题是真命题，故该选项正确，符合题意；
C. 全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；
D. 邻补角互补，逆命题为：互补的两个角是邻补角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，写出原命题的逆命题，掌握相关性质定理是解题的关键．
9．C
【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据平行线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和平行四边形的判定方法判断四个逆命题的真假．
【详解】解：①“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题；
②“对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题为“平行四边形的对角线互相平分”，此逆命题为真命题；
③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题；
④“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题为“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”，此逆命题为真命题．
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
10．C
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】“等角的余角相等”的逆命题是: 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，
故选：C．
【点睛】本题考查了互逆命题，解题的关键是掌握互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆题．
11．B
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误，该选项不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确，该选项符合题意；
C、如果两个角都等于，那么这两个角相等的逆命题是相等的两个角都是，错误，该选项不符合题意；
D、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个数相等，错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．B
【分析】分两种情况讨论：在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，只有一个；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是两条外角平分线的交点，有三个，共有4个.
【详解】在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，只有一点；
在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是两条外角平分线的交点，有三个．
∴平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．
故选：B
【点睛】此题是考查角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，有3个交点．
13． 三角形两边上的高相等 这个三角形是等腰三角形
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；
【详解】命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：三角形两边上的高相等，这个三角形是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14． 如果ab>0，那么a、b都是正数 假
【分析】把命题“如果a、b都是正数，那么积ab是正数”的条件和结论互换得到它的逆命题，再进行判断，即可得出答案.
【详解】命题“如果a、b都是正数，那么积ab是正数”中的条件是如果a、b都是正数，结论是积ab是正数，所以该命题的逆命题是如果ab>0，那么a、b都是正数.因为a、b都是负数时，ab>0成立，所以逆命题是假命题.
【点睛】本题考查逆命题，解题的关键是把命题的条件和结论互换得到它的逆命题.
15．不相等的两个角不是对顶角
【分析】根据逆命题的概念即可得出答案．
【详解】命题“不是对顶角的两个叫不相等”的逆命题是：不相等的两个角不是对顶角，
故答案为：不相等的两个角不是对顶角．
【点睛】本题主要考查逆命题，掌握逆命题的写法是解题的关键．
16． 三个内角相等的三角形是等边三角形； 真命题．
【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
【详解】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题；
故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形；真命题．
【点睛】此题考查了命题和定理，熟练掌握逆命题和真假命题的概念是解题的关键．
17．真
【分析】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，因为逆命题符合两直线平行的性质故是真命题．
【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补．
它是真命题，
故答案为：真．
18．（1）希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；（2）手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；（3）54分
【分析】(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案；
(2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系；
(3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案．
【详解】解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分，
∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走，
故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；
(2)∵每人手中6张牌的总分为零，
∴无论多少次后，总分之和为0，
故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；
(3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时，
可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)，
故答案为：54分．
【点睛】本题考查了推理与论证，根据题意注意红色牌代表正分得出是解题关键．
19．图见解析．
【分析】由点到三面围墙的距离都相等，所以是的角平分线的交点，作出两个角的角平分线的交点即可．
【详解】解：分别作的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
20．（1）证明见解析；（2）18°
【分析】（1）先证明 再证明 可得 从而可得结论；
（2）利用等腰三角形的性质先求解，再求解，利用，求解，再利用三角形的外角的性质可得，从而可得答案．
【详解】证明：（1）∵，点是的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
（2）解：∵，点是的中点，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据逆命题的定义即可写出角平分线性质定理的逆命题；根据逆命题写出已知和求证，过点P作，通过证明，即可得出结论．
【详解】解：①角平分线性质定理的逆命题为：在角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上；
②已知：如图，点是内部一点，点P到距离等于点P到距离．
求证：点P在角平分线上．
证明：过点P作，
∵点P到距离等于点P到距离，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，即点P在角平分线上．

【点睛】本题主要考查了写逆命题，角平分线判定定理的证明，解题的关键是真确写出交平分线性质定理的逆命题，正确作出辅助线，构造全等三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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