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19.6反比例函数的图像、性质和应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是菱形，BC∥x 轴．AD 与 y轴交于点 E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D，已知点 C的横坐标为5，BE＝2DE，则 k的值为（ ）
A． B． C． D．5
2．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）

A．25 B．20 C．15 D．
3．如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．点在反比例函数的图象上，下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．在恒温下，气体对汽缸壁的压强与汽缸内气体体积的函数关系如图5所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形和正方形的顶点B、E在双曲线上，连接，则的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．
7．如果两点P1(1，y1)和P2(2，y2)都在反比例函数y＝－的图象上，那么（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
8．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
9．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．分布在第二、第四象限
C．关于直线对称 D．越大，越接近轴
10．三角形的面积为12cm2 ， 这时底边上的高ycm底边xcm之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A． B． C． D．
11．对于一次函数，如果随的增大而减小，那么反比例函数满足（ ）
A．当时， B．在每个象限内，随的增大而减小
C．图像分布在第一、三象限 D．图像分布在第二、四象限
12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，AB⊥x轴，函数（x＞0）的图象经过边OB上的一点C．若BC＝2OC，则△OAB的面积为（　　）
A．9 B．4 C．4.5 D．3
二、填空题
13．如图，已知，，，…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交反比例函数的图像于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．
（1） ；
（2） ．
14．如图所示，反比例函数y=（＞0）与过点M（-2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，若△ABO的面积为，则直线l的解析式为 ．
15．点，是反比例函数的图象上两点，若，则、的大小关系是 ．
16．已知点A（2，3）在反比例函数的图象上，当x>-2且x≠0时，则y的取值范围是 ．
17．如图，点A，B在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，点A在点B的左侧，且OA＝OB，点A关于y轴的对称点为A′，点B关于x轴的对称点为B′，连接A′B′ 分别交OA，OB于点D，C，若四边形ABCD的面积为，则点A的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求点B的坐标．
19．反比例函数与一次函数交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图像，观察图像，写出反比例函数的图像性质：________（写出一条性质即可）；
(2)若与x轴交于点C，点A关于y轴的对称点为点D，求的面积；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
20．已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求出这个反比例函数的解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，求出用电器可变电阻应控制在什么范围．
21．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，若规定指标达到或超过25时为认真听讲阶段，学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值；
(2)请通过计算说明，距离下课剩余10分钟时，学生是否处于认真听讲阶段？
22．某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系．
（元）
（个）
(1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？
23．如图1，在线段上找一点，把分成和两段，且满足，则我们称点为线段的品质点，他们的比们叫做品质数，记为．即：．显然，品质数与线段的长度无关，是一个定值．

(1)求的值；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与坐标原点重合，边分别在轴、轴上，点为线段中点，连接，点为线段上一点，使得沿所在直线折叠后点与上的点重合．求证：是线段的品质点；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知点为线段上一动点，一次函数经过点，并与过点的反比例函数分别交于两点(其中)，若为线段的品质点，求的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与四边形ABOC两边AC、AB分别交于点E、F，点E为AC的中点．
（1）如图1，当四边形ABOC为正方形，k=2时，BF：FA= ．
（2）如图2，当四边形ABOC为矩形（AC≠AB），k=2时，BF：FA= ．
（3）在（2）中，若k为不等于0的任意实数，BF：FA的值与（1）或（2）相同吗？请证明你的结论．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C C A B A C C
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】根据,可以把的值设为，分别表示出和的长度，再根据菱形的边长为5，在Rt△ 中根据勾股定理列出方程，解出，这样就可以表示出点的横坐标，接着设的长度为，分别表示出和的坐标，再根据相等列出方程，从而解出,最后求得；
【详解】设，那么，
BC∥x 轴, 且点 C的横坐标为5，
,
又四边形ABCD是菱形，
在直角三角形中：
解得：，
设，那么点的坐标为，点的坐标为，
又 和均在的函数图象上，
解得：
点的坐标为，则；
故选：C.
【点睛】本题主要考查反比例函数和菱形的综合应用，同时结合了勾股定理构造方程的思想，在解答本题的过程中要重点理解反比例函数上的点的特点，才是解答本题的关键.
2．A
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再设点的坐标为，从而可得，然后利用矩形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
，
设点的坐标为，则，
，
∴，
∵点在反比例函数，
∴，
∴矩形的面积为，
故选：A．
3．B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数的性质判断即可．在反比例函数的图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图像中任取一点，过这一个点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为，且保持不变．
【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积为6，第二个图形中阴影部分面积为3，第三个图形中阴影部分面积为6，第四个图形中阴影部分面积为12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，解题关键是能够理解并熟练运用反比例函数的系数k的几何意义．
4．C
【分析】先求反比例函数的解析式，再逐一进行判断即可．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
即：反比例函数为；
∵，
∴在此函数图象上；
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的点的特征．熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图像中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，将代入解方程即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，将代入得，
，
当时，；当时，；
若压强由加压到，则气体体积压缩了，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识．连接．只要证明，推出，即可解决问题．
【详解】解：连接．
∵四边形，四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵点B在的图象上，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】把两点P1(1，)和P2(2，)分别代入反比例函数求出、的值即可．
【详解】把点P1(1，)代入反比例函数得，
把点P2(2，)代入反比例函数得，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．
8．A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．
【详解】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】根据反比例函数的性质，k=5＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
【详解】解：A、把点（2，3）代入反比例函数，得2.5≠3不成立，故A选项错误；
B、∵k=5＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误；
C、反比例函数有两条对称轴，y=x和y=-x；当x＜0时，x越小，越接近x轴，故C选项正确；
D、反比例函数有两条对称轴，y=x和y=-x；当x＜0时，x越小，越接近x轴，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
10．C
【详解】解：∵S△=xy=12，∴y=（x＞0，y＞0）．故选C．
点睛：本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，现实生活中存在大量成反比例的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
11．D
【分析】一次函数，y随着x的增大而减小，则m＜0，可得出反比例函数在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
【详解】解：∵一次函数，y随着x的增大而减小，
∴m＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限；且在每一象限y随x的增大而增大．
∴A、由于m＜0，图象在二、四象限，所以x、y异号，错误；
B、错误；
C、错误；
D、正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，注意和的图象与式子中的符号之间的关系．
12．A
【分析】作CD⊥x轴垂足为D，求出△OCD的面积，根据相似三角形的性质即可求得△AOB的面积．
【详解】解：如图作CD⊥x轴垂足为D，
∵函数（x＞0）的图象经过点C，
∴S△ODC=×2=1，
∵BC=2OC，
∴BO=3OC，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OBA，
∴，
∴S△OBA=9S△ODE=9，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，求出△OCD的面积是解题的关键，记住反比例函数的比例系数|k|=S△OCD．
13． /0.25
【分析】由已知可知，设由于点都在反比例函数的图像上，可以得到即可得出得到和即可求出．
【详解】∵
设
又∵点都在反比例函数的图像上，
∴
∴
∴
，
故答案为: ；.
【点睛】本题主要考查的知识点是反比例函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定点的坐标，计算出三角形的面积，根据计算的面积找到数字之间的规律．
14．y=x+
【分析】解方程组，即可得出B（-3，-k），A（1，3k），再根据△ABO的面积为，即可得到k=，进而得出直线l的解析式为y=．
【详解】解：把M（-2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，
∴y=kx+2k，
由消去y得到x2+2x-3=0，
解得x=-3或1，
∴B（-3，-k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为，
∴
解得k ，
∴直线l的解析式为y ．
故答案为y ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．
【分析】由反比例函数图像可以求得答案.
【详解】该反比例函数在大于零时，函数值随着x的增大而减小，所以当时，得出.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解决解决本题的关键.
16．或
【分析】根据题意先求出反比例函数解析式，然后再求出y的取值范围即可．
【详解】解：把点A（2，3）代入反比例函数可得：
，解得k=6，
∴反比例函数的解析式为，
当x=-2时，y=-3，
∴当时，则有y的取值范围为y<-3，
当时，则有y的取值范围为y>0；
综上所述：或；
故答案为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．（，2）
【详解】∵反比例函数y= ，关于直线y=x对称， OA=OB，
∴A、B关于直线y=x对称，
设点A的坐标为（m， ），则点B的坐标为（ ，m），则点A′的坐标为（-m，），点B′的坐标为（，-m），
∴直线OB的解析式为y=m2x， 直线A′B′的解析式为y=-x+-m，
由 ，解得
∴C[ ，]，根据对称性可知D[ ，]，
如图，设A′B′交x轴于F，交y轴于E，连接AA′，作DN⊥OF于N，CM⊥OE于M，DN交CM于G．
∵OE=OF= -m，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴∠A′EA=90°，AE=m，
在Rt△CDG中，∵DG=CG，CD= CG= [ -]．
同理可得，AB= （-m），
∵四边形ADCB的面积为，
∴
整理得 ，解得 ，∵m>0，
∴m= ，
∴A（ ，2）．
点睛：反比例函数y= 关于直线y=x对称，因为OA=OB，所以A、B关于直线y=x对称，可以设点A的坐标为（m， ），则点B的坐标为（，m），则点A′的坐标为（-m，），点B′的坐标为（ ，-m），求出直线OB、A′B′的解析式，解方程组求出点C的坐标，求出线段CD、AB，列出方程求出m即可解决问题．
18．(1)，
(2)点B坐标为
【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的求解过程．
（1）利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式即可；
（2）联立两个函数解析式，求方程组的解即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵一次函数的图象经过点与点A，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：联立方程组，解得或，
∴点B坐标为．
19．(1)；；画图见解析；该函数是中心对称图形，对称中心为原点（性质不唯一）
(2)4
(3)或
【分析】（1）已知点A坐标，代入反比例函数中，可求k的值，即得到反比例函数解析式，再将点B的坐标代入反比例函数中，可求得m的值，将点点A、B坐标代入一次函数中，可解得a、b的值，即得到一次函数的解析式．
（2）根据一次函数解析式，可求得点C坐标，再结合点A、D坐标，即可求出的面积．
（3）根据所画出的函数图像，可写出x的取值范围，或联立反比例函数与一次函数，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵反比例过，
∴，
∴反比例的解析式．
∵点在的图像上，
∴，
∴，
∵过A，B两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
画出一次函数图像即直线AB．
性质：该函数是中心对称图形，对称中心为原点（性质不唯一）．
（2）解：一次函数与x轴的交点记为C，
令，，解得，则，，
．
（3）解：由图中可看出y1≤y2时，自变量x的取值范围为或．
或y1≤y2，即≤，
解得或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图像与性质是解题的关键．
20．(1)
(2)以上的范围内．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
【详解】（1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设，
∵图象经过，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
即用电器可变电阻应控制在以上的范围内．
21．(1)20
(2)学生处于认真听讲阶段
【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出k，可得点D坐标，从而求出点D的指标值；
（2） 把代入，求出x的值，再比较与35的大小可得结论．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的表达式为，
将代入，得，
解得，
反比例函数的表达式为，
当时，，
，
点对应的指标值为20．
（2）在中，当时，，
，，
距离下课剩余10分钟时，学生处于认真听讲阶段．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式是解决问题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解题的关键是根据题意列出等量关系．
（1）要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润（销售单价进价）日销售数量，确定与的函数关系式，然后根据题目的“售价最高不超过元/张”，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：，
将代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
（2），
又，
当，最大．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设，，则，根据题意建立方程即可求解；
（2）连接，设，则，，在中，，在中，，解方程得出，则，即可得证；
（3）依题意得出，反比例函数解析式为，立，消去得，，设的横坐标为，则是的两个根，则，，得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行线分线段成比例得出，进而得出，即，设，则，，得出，根据点为线段上一动点，一次函数经过点，得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：设，，则，
∵，
∴
∴
∵，
∴
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解，
∴；
（2）解：如图所示，连接，

∵正方形的边长为，
依题意，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴是线段的品质点；
（3）解：∵
∴
代入，
∴反比例函数解析式为，
联立，消去得，，
设的横坐标为，则是的两个根，
∴，
∴
如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为

∴，
∴，
∵为线段的品质点，，
∴，
∴，
即，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
∵点为线段上一动点，一次函数经过点，
由（2）可得，
∴，
∴，则，
∵，，
∵，
∴；
又∵，，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，坐标与图象，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（1）1：1；（2）1：1；（3）相同.
【详解】试题分析：（1）如上图，四边形ABOC为正方形，设E（2，1），得到A（2，2），求得F的纵坐标为2，得到F（1，2），根据线段中点的性质即可得到结论；（2）当四边形ABOC为矩形，设AB=2b，AC=2a，得到E（2b，a），A（2b，2a），求得F（b，2a）根据线段中点的性质即可得到结论；（3）若k为不等于0的任意实数，设AB=2b，AC=2a，得到E（2b，a），A（2b，2a），由于E在反比例函数y=的图象上，得到k=2ab，因为F的纵坐标为2a，于是得到F（b，2a），根据线段中点的性质即可得到结论．
试题解析：（1）如图，因为四边形ABOC为正方形，设E（2，1），则A（2，2），∴F的纵坐标为2，∴2=，∴x=1，∴F（1，2），∴F为AB的中点，即BF：FA=1：1，故答案为1：1；（2）当四边形ABOC为矩形，设AB=2b，AC=2a，则E（2b，a），∴k=2ab，∵F的纵坐标为2a，k=2,∴2a=，∴x=b，∴F（b，2a），∴F为AB的中点，即BF：FA=1：1，故答案为1：1；（3）若k为不等于0的任意实数，设AB=2b，AC=2a，则E（2b，a），A（2b，2a），∵E在反比例函数y=的图象上，∴k=2ab，∴F的纵坐标为2a，∴2a=，∴x=b，∴F（b，2a），∴F为AB的中点，即BF：FA=1：1，故答案为1：1；与前面两题结果相同.
考点：1.反比例函数的性质；2.正方形的性质；3.矩形的性质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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