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四川省达州市2025届高三第一次诊断性测试数学试题
(本试卷满分150分，考试时间120分钟) 2024.12
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束以后,将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M ={x|-1＜x.＜3}, 若P∪M =M , 则集合P可以为
A. {3} B. [-1,1] C. (0,3) D. [-1,3]
2. 以双曲线 的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程为
3. 已知α为直线y=2x-1的倾斜角, 则cos2α=
A. B. C. D.
4. 已知三个不同的平面α, β, γ, 且α⊥β, 则γ⊥β是α//γ的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知可导函数f(x)的部分图象如图所示, f(2)=0, (x)为函数 f(x)的导函数, 下列结论不一定成立的是
C. (4)＜f′(4)
6. 如图，在正方体. 中, 点P, Q, M, N, T分别为所在棱的中点, 则
A. QN⊥BB
B. QN//平面BCC B
C. 直线QN与PT 为异面直线
D. B D⊥平面PMT
7. 如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径BC=2，点D为底面 的中点，则在该圆锥的侧面展开图 (图2) 中
8. 已知函数 的图象关于原点对称，则下列叙述错误的是
A. a+b+c=0 B. f(x)既有最小值也有最大值
C. f(x)有3个零点 D. f(x)有2个极值点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长. 某企业根据市场调研得到研发投入x (亿元)与产品收益y (亿元) 的数据统计如下，则下列叙述正确的是
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 3 5 7 8 8 9
A. x=4, y=6.
B. 由散点图知变量x和y正相关
C. 用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为j=1.5x+0.5
D. 收益y的方差为6
10. f (x)为函数f(x)的导函数, 记为f (x)=[f(x)]′, 依次类推 已知f(x)= sinx, an= fn(x),数列{}的前项和为 , 则
C. 存在k∈N*, 使得在 0]上单调递增
11. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线 的焦点为F ，O为坐标原点，从点发出平行于x轴的光线经过抛物线上的点N 反射后再经过抛物线上另一点M ，则
A. 存在点P使得点P, N, O, M、都在以F为圆心的圆上
B. 存在点P 使得点F 是△POM 的垂心
C. 存在点P使得点F 是△POM 的重心.
D. 点M 到直线PN 的最短距离为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若复数z=1-i是方程. 的一个根, 则a= .
13.二项式 若 则
14. 掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为x，y，z，则不等式|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|＜8成立的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
记数列{}的前n项和为 ,且, 数列{}是等比数列，且
(1) 求数列{}, {}的通项公式;
(2)记 求数列{}的前n项和
16.(15分)
已知△ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,acosC+ccosA= bsin(A-C).
(1) 证明:
(2) 若△ABC的外接圆半径为. 且c =2, 求△ABC的面积.
17. (15分)
如图，已知正四棱锥P--ABCD的体积为 高为
(1) 求平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值；
(2) 现有一蚂蚁从P点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点A的距离X 的分布列及期望.
18. (17分)
已知函数
(1) 求f(x)的极值;
(2) 证明: 当0＜a≤3e时,f(x)≥g(x);
(3) 若g(x)≤-1, 求a的值.
19. (17分)
已知点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换(4的作用下，点P(x, y)对应到点P′(x′, y′), 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如: y= sinx在变换φ： 的作用下得到
(1) 已知曲线.M 在 的作用下得到曲线M′，求M′的方程；
(2) 已知椭圆 在变换( 下保持位置关系不变性，即点H在曲线Γ上，在变换φ下H′也在曲线Γ′上； 直线l与Γ相切，在变换φ下直线l′与Γ′也相切.已知点H(x y )是Γ: 上一动点，直线l是Γ在H处的切线.用上述结论求l的方程；
(3)已知直线y=x与曲线. 在第一象限的交点为P ，E在 P 处的切线被所截得的弦长记为，求

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