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安徽省宿州市省、市示范高中 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系 中，点(1,3,2)关于 平面的对称点坐标为( )
A. ( 1,3,2) B. (1, 3,2) C. (1,3, 2) D. ( 1, 3, 2)
2.直线√ 3 + 3 1 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.已知向量 = (1,1,0)， = ( 1,0, 2)，且 + 与2 互相垂直，则 的值是( )
1 3 7
A. 1 B. C. D.
5 5 5
4.圆( 2)2 + 2 = 4与直线 2 + √ 2 = 0相交所得弦长为( )
A. 1 B. √ 2 C. 2√ 3 D. 2√ 2
5.已知圆 经过 (1,1), (2, 2)两点，且圆心 在直线 : + 1 = 0，则圆 的标准方程是( )
A. ( 2)2 + ( 3)2 = 5 B. ( 3)2 + ( 4)2 = 13
C. ( + 3)2 + ( + 2)2 = 25 D. ( + 3)2 + ( 2)2 = 25
6.无论 为何值，直线(2 + 3) + ( + 4) + 2( 1) = 0过定点( )
A. ( 2,2) B. ( 2, 2) C. ( 1, 1) D. ( 1,1)
7.已知 是圆 ： 2 + 2 = 4的直径， ， 是圆 上两点，且∠ = 120°，则( + ) 的最小值
为( )
A. 8√ 3 B. 8 C. 4√ 3 D. 4
8.如图，正四棱锥 的棱长均为2， ， 分别为 ， 的中点，则点 到直线 的距离为( )
√ 15 √ 20 5 √ 35
A. B. C. D.
3 3 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
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A. 直线 的方向向量为 = (2, 1,1)，直线 的方向向量为 = (1,1, 1)，则 ⊥
B. 直线 的方向向量为 = (0,1, 1)，平面 的法向量为 = (1, 1, 1)，则 ⊥
C. 平面 的一个法向量为 = ( 2,3,1)，点 (1,1,2)，在平面 内，则点 (2,1,4)也在平面 内
D. 若直线 + + = 0经过第三象限，则 > 0， < 0
10.点 在圆 1：
2 + 2 = 1上，点 在圆 ： 22 +
2 6 + 8 + 24 = 0上，则( )
A. | |的最小值为0
B. | |的最大值为7
4
C. 两个圆心所在直线的斜率为
3
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为6 8 25 = 0
11.如图，边长为1的正方形 所在平面与正方形 所在平面互相垂
直，动点 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 = = (0 <
< √ 2)，则下列结论中正确的有( )
1
A. ∈ (0, √ 2)，使 =
2
√ 2
B. 线段 存在最小值，最小值为
2
C. 直线 与平面 所成的角恒为45°
D. ∈ (0, √ 2)，都存在过 且与平面 平行的平面
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.过点( 1,2)且与直线3 + 2 + 4 = 0垂直的直线方程为______．
13.若圆( 1)2 + 2 = 4上恰有3个点到直线 = + 的距离等于1，则实数 = ______．
14.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若 = 1 =
2 = 4， 1 = 1 = 2√ 2， ， ， ， 分别是棱 ， 1 ， 1， 1 的
中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题12分)
如图1，在边长为4的等边△ 中， 是 边上的高， ， 分别是 和 边的中点，现将△ 沿 翻
折使得平面 ⊥平面 ，如图2．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 为 的中点，求点 到平面 的距离．
16.(本小题12分)
(1)若直线 过 (3,4)，且在 ， 轴上的截距相等，求直线 的方程．
(2)已知直线 ：4 2 + 1 = 0，直线 ：( 1) (2 + 1) + 1 = 0，且 // ，求 与 间的距离．
17.(本小题12分)
已知 的三个顶点分别为 (2,0)， (2,4)， (4,2)，直线 经过点 (1,4)．
(1)求 外接圆 的方程；
(2)若直线 与圆 相交于 , 两点，且 = 2√ 3，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
如图，平行六面体 1 1 1 1中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 =
60°， 为 1 1与 1 1的交点.设 = , = , 1 = ．
(1)用 , , 表示 ；
(2)求对角线 1的长；
(3)求cos < , 1 >的值．
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19.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， ⊥ ， = ， = 1， = 2，
= = √ 5．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
5√ 11
(3)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存
33
在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2 3 + 8 = 0
13.【答案】 1 + √ 2或 1 √ 2
2√ 15
14.【答案】
15
15.【答案】解：(1)证明：∵ ， 分别是 和 边的中点，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)建系如图，则根据题意可得：
(0,0,0)， (1, √ 3, 0)， (0, √ 3, 1)， (1,0,1)，
∴ = (1, √ 3, 0), = (1,0, 1), = (0, √ 3, 1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ = 0，∴ { + √ 3 = 0，取 = (√ 3, 1, √ 3)，
= 0 = 0
| | | 2√ 3| 2√ 21
∴点 到平面 的距离为 = = ．
| | √ 7 7
16.【答案】解：(1)当直线 在 ， 轴上的截距不为0且相等时，设直线 的方程为 + = ，
将(3,4)代入，得3 + 4 = ，解得 = 7，
故直线 的方程为 + = 7，即 + 7 = 0；
当直线 在 ， 轴上的截距均为0时，设直线 的方程为 = ，
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4 4
将(3,4)代入，得4 = 3 ，解得 = ，∴ = ，即4 3 = 0；
3 3
综上，直线 的方程为4 3 = 0或 + 7 = 0；
1 (2 +1)
(2)因为 // ，所以 = ≠ 1，解得 = 1；
4 2
则直线 的方程为 2 + + 1 = 0，即4 2 2 = 0；
|1 ( 2)| 3√ 5
所以 与 之间的距离为 = ．
√ 2
10
42+( 2)
17.【答案】解：(1)因为 (2,0)， (2,4)， (4,2)，
所以 = 1， = 1，
所以 = 1，
所以 ⊥ ，
又因为 = = 2√ 2，
所以 是等腰直角三角形，
所以⊙ 的圆心是 的中点，
| |
即圆心 (2,2)，半径 = = 2，
2
所以⊙ 的方程为( 2)2 + ( 2)2 = 4；
(2)因为圆的半径为2，
当直线截圆的弦长为2√ 3时，
2
圆心到直线的距离为 = √ 22 (√ 3) = 1，
①当直线 与 轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线 为 = 1 ，与圆心 (2,2)的距离为1，满足条件；
②当直线 的斜率存在时，设 : 4 = ( 1)，即 + 4 = 0，
|2 2+4 | | +2|
则圆心到直线的距离为 = = = 1，
√ 2 2 +1 √ +1
3
解得 = ，
4
3
此时直线 的方程为 4 = ( 1)，
4
即3 + 4 19 = 0，
综上可知，直线 的方程为 = 1或3 + 4 19 = 0．
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18.【答案】解：(1)连接 1 ， ，如图，
∵ = , = , 1 = ，
∴ = 1 1 = , 1 1 = = + = + ，
1
∵ 为线段 的中点，∴ =
1 1
1 1 1 2 1 1
= + ，
2 2
∴ = +
1 1 1 1
1 1 = + + = + + ． 2 2 2 2
(2) ∵以顶点 为端点的三条棱长都是1，∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
1 1
∴ = | | | | 90° = 0, = | | | | 60° = , = | | | | 60° = ．
2 2
由(1)知， = + ，∴ 1 = + 1 = + + ，
2
∴ | |2 = | + + |2
2 2 1 1
1 = + + + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 × 0 + 2 × + 2 × = 5， 2 2

∴ | 1| = √ 5，即对角线 1的长为√ 5．
1 1(3)由(1)(2)知， = + + , 1 = + + ， 2 2
1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 3
∴ | |2 = | + + |2 = + + + = + + 1 × 0 + = ，∴
2 2 4 4 2 4 4 2 2 2 2
√ 6| | = ，
2
1 1 1 2 1 2 2 1 3
∵ 1 = ( + + ) ( + + ) = + + + + 2 2 2 2 2 2
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1 1 1 1 3 1
= + + 1 + × + × = 2，
2 2 2 2 2 2


1 2 2√ 30∴ cos < , 1 >= = =| | | √ 6 ． 1| ×√ 5 15
2
19.【答案】(1)证明：∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)解：取 中点为 ，连接 ， ，
又∵ = ，∴ ⊥ .则 = = 1，
∵ = = √ 5，∴ ⊥ ，则 = √ 2 2 = √ 5 1 = 2，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 (0,0,1)， (1,1,0)， (0, 1,0)， (2,0,0)，
则 = (1,1, 1), = (0, 1, 1), = (2,0, 1), = ( 2, 1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= = 0
则{ ，令 = 2，则平面 的一个法向量 = (1, 2,2)．
= 2 = 0
设 与平面 的夹角为 ，
| | |(1, 2,2) (1,1, 1)| √ 3
则 = |cos , | = = = ；
| | | | √ 1+4+4×√ 1+1+1 3
1
(3)解：存在点 ，使得平面 与平面 所成角余弦值为5√ 11，此时 = ，理由如下：
33 2
假设在棱 上存在点 点，使得平面 与平面 所成角余弦值为5√ 11．
33
设 ( , , ), = , ∈ [0,1]，
由(2)知， (0,1,0)， (1,1,0)， (0,0,1)， (2,0,0)，
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= (0, 1,1), = ( , 1, )，
∴ ( , 1, ) = (0, 1,1)，得 (0,1 , )，
∴ = ( 1,1,0), = ( 2,1 , )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

则有{
= 0 + = 0，即{ ，令 = ，则 = ( , , + 1)，
= 0 2 + (1 ) + = 0
由(2)得平面 的一个法向量为 = (1, 2,2)，
设平面 与平面 所成角为 ，
| | |( , , +1) (1, 2,2)| | +2| 5√ 11
∴ = |cos , | = = = =
| | | | 2 2 33 ， √ 3 +2 +1×√ 1+4+4 3√ 3 +2 +1
19 1
∵ ∈ [0,1]，解得 = (舍去)， = ，
32 2
1
∴此时 = ．
2
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