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2024-2025学年人教新版八年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．a4÷a＝a2
C．（﹣2a3）2＝4a6 D．（ab2）2＝ab4
2．（3分）某种细胞的直径是0.00000024m，将0.00000024用科学记数法表示为（　　）
A．2.4×10﹣7 B．2.4×10﹣8 C．0.24×10﹣7 D．24×10﹣8
3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如果点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于y轴的对称点，那么点A关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
5．（3分）如图，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，可证明△ABC≌△BAD．使用了全等三角形的判定定理（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．（3分）将，通分的过程，不正确的是（　　）
A．最简公分母是（x+2）（x﹣4）2
B．
C．
D．
7．（3分）在义卖活动中，小华负责卖一种圆珠笔，第一天小华卖得60元，第二天多卖了10支，卖得75元，设小华第一天卖了x支这种圆珠笔，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）关于以如图形面积从左到右的变化过程，能正确表示其中变化规律的等式是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知（x+a）（x+b）＝x2﹣13x+36，则a+b＝　 　．
10．（3分）分解因式：8m2n﹣6mn2+2mn＝　 　．
11．（3分）已知三角形三边长为整数，其中两边的差为5，且周长为奇数，则第三边长的最小值为　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为16，△ABC的周长28，则AB为　 　．
13．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为　 　．
14．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：直线l和直线外的一点P（如图1）
求作：过点P作直线PQ⊥l于点Q
小华的作法如下：如图2，
第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；
第二步：连接PA、PB，作∠APB的平分线，交直线l于点Q．直线PQ即为所求作．
老师说：“小华的作法正确”
请回答：小华第二步作图的依据是　 　．
15．（3分）如图，△ABE≌△ACD，你能得出下面中的结论有　 　
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE．
16．（3分）下面是一组按规律排列的数：+2，﹣4，+8，﹣16， ．按此规律，第n个数是　 　．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）|2﹣|+|3|．
18．（6分）解方程：＝5+．
19．（6分）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝﹣1……第四步
（1）任务一：填空
①以上化简步骤中，第 　 　步是通分，通分的依据是 　 　；
②第 　 　步开始出现错误，错误的原因是 　 　．
（2）任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
四．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
20．（6分）解不等式组：
21．（6分）已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）请在下图中建立适当的平面直角坐标系并画出△ABC；
（2）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为2，直接写出点P的坐标　 　．
22．（6分）如图①、图②分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC、△DEF的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画△ABC的角平分线AK；
（2）在图②中，画△DEF的角平分线DM．
五．解答题（共4小题，满分36分）
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝DF．
（2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长．
24．（8分）在一次全县初中数学核心素养评价活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为学生奖品．已知每本笔记本比每支钢笔多3元，用390元购买的笔记本数量与用300元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全县前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的奖品，要使购买奖品的总费用不超过560元，最多可以购买多少本笔记本？
25．（10分）压轴题
（1）已知x，y，z为△ABC的三边长，且有．试判断△ABC的形状并加以证明．
（2）已知x，y满足xy+3y﹣x﹣10＝0，且x，y都是整数，求x的值．
（3）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（﹣4，0），在y轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形，求C点的坐标．（画图，在图上标出坐标）
（4）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．
（5）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式C＝mx2+8x+2与D＝﹣m（x+1）（x+n）互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc+2t的最小值．
26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒1cm的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接PQ，设点P运动的时间为t s．
（1）如图1，在点P、Q运动过程中．①点P与点D的最短距离为 　 　cm；②当PQ∥BC时，求t的值；
（2）作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE，延长EP交边AD于点F．①求∠APQ的正切值（用含t的代数式表示）；②如图2，当t＝5时，试探究线段AQ、QE、CE三者之间的等量关系，并加以证明；③如图3，连接FQ，若FQ平分∠AFP，直接写出的值．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B D B B B
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【解答】解：A、应为a3 a2＝a5，故本选项错误；
B、应为a4÷a＝a3，故本选项错误；
C、（﹣2a3）2＝4a6，正确；
D、应为（ab2）2＝a2b4，故本选项错误．
故选：C．
2．【解答】解：0.00000024＝2.4×10﹣7；
故选：A．
3．【解答】解：下列图形中，是轴对称图形的是第二个图案．
故选：B．
4．【解答】解：根据对称的性质，得已知点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于y轴对称的点的坐标，那么a＝﹣4；
则点A的坐标是（﹣3，﹣4），
所以点A关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，4）．
故选：B．
5．【解答】解：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
故选：D．
6．【解答】解：分式，的最简公分母为（x+2）（x﹣4）2，
则，
，
．
则通分的过程，不正确的是．
故选：B．
7．【解答】解：设小华第一天卖了x支这种圆珠笔，则第二天卖了（x+10）支这种圆珠笔，
依题意，得：＝．
故选：B．
8．【解答】解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
而（x+a）（x+b）＝x2﹣13x+36，
∴a+b＝﹣13．
10．【解答】解：原式＝2mn（4m﹣3n+1），
故答案为：2mn（4m﹣3n+1）
11．【解答】解：∵三角形三边中某两条边长之差为5，
∴设其中一边为x，则另一边为x+5，第三边为y，
∴此三角形的周长为：x+x+5+y＝2x+y+5，
∵三角形周长为奇数，
∴y是偶数，
∵5＜y＜x+x+5，
∴y的最小值为6．
故答案为：6．
12．【解答】解：由作法可得MN为AB的垂直平分线，
则DA＝DB，
∵△ADC的周长为16，
∴AC+CD+AD＝16，
∴AC+CD+BD＝16，即AC+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝16+AB＝28．
解得：AB＝12
故答案为12．
13．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，
在△CBE与△ACF中，
，
∴△CBE≌△ACF（ASA）
∴CF＝BE，CE＝AF，
∵l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3，
∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+2＝5，
在Rt△ACF中，
∵AF＝5，CF＝3，
∴AC＝，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BCD中，
∵CD＝，BC＝，
所以BD＝．
故答案为
14．【解答】解：小华第二步作图的依据是：等腰三角形的顶角角平分线也是底边上的高，
故答案为：等腰三角形的顶角角平分线也是底边上的高，
15．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，
∴正确的结论有A、B、C．
故答案为：A、B、C．
16．【解答】解：第n个数应是（﹣1）n+1 2n．
故答案是：（﹣1）n+1 2n．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【解答】解：（1）
＝3﹣2
＝1；
（2）|2﹣|+|3|
＝﹣2+3﹣
＝1．
18．【解答】解：原方程两边同乘（x﹣1），去分母得：3＝5（x﹣1）﹣3x，
去括号得：3＝5x﹣5﹣3x，
移项，合并同类项得：﹣2x＝﹣8，
系数化为1得：x＝4，
检验：将x＝4代入（x﹣1）中得4﹣1＝3≠0，
则原分式方程的解为：x＝4．
19．【解答】解：（1）①由题意目中的解答过程可知：
以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质；
②由题意目中的解答过程可知：
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号有一项没有变号；
故答案为：①一，分式的基本性质；②二，去括号有一项没有变号；
（2）
＝
＝
＝
＝．
四．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
20．【解答】解：解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
21．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A1B1C1为所作；
（3）设点P的坐标为（0，t），
∵△ABP的面积为2，
∴×|t﹣1|×2＝2，
解得t＝3或t＝﹣1，
∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．
故答案为（0，3）或（0，﹣1）．
22．【解答】解：（1）如图①中，线段AK即为所求；
（2）如图②中，线段DM即为所求；
五．解答题（共4小题，满分36分）
23．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠BEA．
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°＝∠B．
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF；
（2）解：∵△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠B＝90°，
设BC＝x，
则AB2+BE2＝AE2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝10，
∴BC＝10．
24．【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则笔记本的单价为（x+3）元，
依题意得：，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝10+3＝13，
答：笔记本的单价为13元，钢笔的单价为10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，
依题意得：13y+10（50﹣y）≤560，
解得：y≤20，
答：最多购买20本笔记本．
25．【解答】解：（1）∵．
∴x+y+z+2+2+2＝3+3+3，
∴x+y+z﹣﹣﹣＝0，
∴2x+2y+2z﹣2﹣2﹣2＝0，
∴（﹣）2+（﹣）2﹣（﹣）2＝0，
∴﹣＝0，﹣＝0，﹣＝0，
∴x＝y，x＝z，y＝z，
∴x＝y＝z，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵xy+3y﹣x﹣10＝0，
∴y＝＝1+，
∵x，y是整数，
∴x＝﹣2或10或4或﹣4；
（3）如图，
∵A（0，3），B（﹣4，0），
∴AB＝5，
设C（0，a），
①当AB＝AC＝5时，a＝8或﹣2，
∴C（0，8）或（0，﹣2）；
②当AB＝BC＝5时，OA＝OC，
∴C（0，﹣3）；
③当AC＝BC时，点C在AB的垂直平分线上，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴∠AOB＝∠ADC＝90°，
∴△AOB∽△ADC，
∴，即，
解得AC＝，
∴OC＝﹣3＝，
∴a＝﹣
∴C（0，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（0，8）或（0，﹣2）或（0，﹣3）或（0，﹣）；
（4）分别作点B关于AD，CD的对称点M，N，连接MN交AD，CD于点E，F连接BE，BF，
此时△BEF的周长最小，最小值为MN，延长AB，过点M作MH⊥AB，
∵AB＝3，BC＝1，
∴BM＝2，BN＝6，
∵∠ABC＝135°，
∴∠HBM＝45°，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BH＝HM＝，
∴HN＝7，
在Rt△HMN中，MN＝＝10，
∴△BEF周长的最小值为10；
（5）∵C＝mx2+8x+2和D＝﹣m（x+1）（x+n）＝﹣mx2﹣（mn+m）x﹣mn；
∴C+D＝（8﹣mn﹣m）x+（2﹣mn），
∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t，
∴8﹣mn﹣m＝0，t＝2﹣mn，
∴mn+m＝8，mn＝8﹣m，
∵a﹣b＝m，b﹣c＝mn，
∴a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）＝m+mn＝8，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t
＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]+2t，
，＝ [m2+（mn）2+82]+2（2﹣mn），
＝ [m2+（8﹣m）2+8]+2（2﹣8+m），
＝m2﹣6m+52，
＝（m﹣3）2+43≥43．
答：代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t的最小值是43．
26．【解答】解：（1）①如图，过点D作DR⊥AC于点R，则点P与点D的最短距离为DR的长，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm，∠ADC＝90°，
∴，
∵，
∴，
解得：DR＝，
即点P与点D的最短距离为；
故答案为：；
②根据题意得：AQ＝CP＝t cm，
∴BQ＝（6﹣t）cm，AP＝（10﹣t）cm，
∵PQ∥BC，
∴，
即，
解得：；
（2）①如图，过点Q作QK⊥AC于点K，
在Rt△ABC中，，
在Rt△AQK中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②AQ2+CE2＝QE2，证明如下：
如图，连接FQ，
当t＝5时，，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，
∴△APF≌△CPE（AAS），
∴PF＝PE，AF＝CE，
∵PE⊥PQ，
∴QF＝QE，
在Rt△AFQ中，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
③如图，设FQ，AC交于点O，
根据题意得：AQ＝CP＝t cm，AP＝（10﹣t）cm，
∵FQ平分∠AFP，QA⊥AD，PQ⊥PE，
∴AQ＝PQ，
∵FQ＝FQ，
∴△AFQ≌△PFQ，
∴AF＝PF，
∴QF垂直平分AP，
∴，
在Rt△ABC中，，
在Rt△AOQ中，，
解得：，
∴，
∵AD∥BC，
∴．

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