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(共21张PPT)
第三章　圆　
4 圆周角和圆心角的关系 　
北师大版-数学-九年级下册
第2课时 圆周角定理的推论　
学习目标
1.掌握圆周角定理的推论.
2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质，并学会运用.
【重点】掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题.
【难点】培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．
新课导入
问题1 什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
新课导入
小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，下图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？
新课导入
新知探究
知识点 直径所对应的圆周角
1
问题 3 如图，点A、B、C在⊙O 上，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？ 你能证明你的结论么？
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°.
结论1：直径所对的圆周角是直角.
=90°.
理由：
∵BC为直径,
∴∠BOC=180°.
∴
新知探究
问题 4 如图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
解：弦BC是直径，连接OC、OB.
∵∠BAC=90°,
∴∠BOC=2∠BAC=180°.
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上.
∴BC是⊙O的一条直径.
结论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
回归到最初的问题，你能判断哪个是半圆形吗？
新课导入
第（2）个
新知探究
圆周角定理的推论2：
1. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
2. 90°的圆周角所对的弦是直径.
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
归纳总结：
提示：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
新知探究
知识点 圆内接四边形及其性质
2
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
新课导入
问题 5（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD与∠BCD互补.
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
新课导入
（2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
1
2
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
如图，连接OB，OD.
则 ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD. （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一） 又 ∵∠1+∠2=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
新课导入
A
B
C
O
D
（3）观察总结，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
结论1：圆内接四边形的对角互补.
A
B
C
O
D
新知探究
想一想：如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什么关系？
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°
（圆内角四边形的对角互补）.
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE.
结论2:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
新知探究
归纳总结：
圆周角定理的推论3：
1. 圆内接四边形的对角互补.
2. 圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
圆周角定理的推论
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
课堂小结
课堂训练
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　)
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
C
课堂训练
2．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
3．如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD =＿＿＿_.
70
100
A
B
O
C
D
50°
课堂训练
C
4.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E,连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为(　　)
A．20° B．25° C．30° D．35°
课堂训练
5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
A
课堂训练
6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠EDC+∠ADC=180°，
∠EBF+∠ABE=180°，
∴∠EDC+∠EBF=180°.
∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A，
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
D
O
C
E
F

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