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专题02 常用逻辑用语3题型分类
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，﹁p(x) x∈M，﹁p(x)
（一） 充分、必要条件的判定 1．充分条件与必要条件 （1）判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件 （2）充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件． 2．充分条件、必要条件的判定方法． （1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
题型1：充分、必要条件的判定 1-1．（2024高二下·四川内江·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案. 【详解】若，则，所以； 若，则，解得，得不出． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 1-2．（2024·浙江·模拟预测）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若“直线平面”成立，设，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立； 若“平面平面”成立，且直线平面，可推出平面或平面， 所以“直线平面”不一定成立. 综上，“直线平面”是“平面平面”的充分不必要条件. 故选：A. 1-3．（2024·浙江·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过反例可说明充分性和必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当，时，满足，此时； 当，时，满足，此时； ，， “”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 1-4．（2024高一下·湖北孝感·期中）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由求得，从而判断出充分、必要条件. 【详解】， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 1-5．（2024·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件. 【详解】若在上单调递减， 则，解得. 所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件. 故选：B 1-6．（2024·安徽合肥·三模）已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析. 【详解】对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误； 对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件， 如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误； 对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ， 如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误； 对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确. 故选：D.
（二） 充分、必要条件的应用 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p（x）}，q：B={x|q（x）}，则 （1）若A B，则p是q的充分条件． （2）若B A，则p是q的必要条件． （3）若A B，则p是q的充分不必要条件． （4）若B A，则p是q的必要不充分条件． （5）若A= B，则p是q的充要条件． 2．求参数问题的解题策略． （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验．
题型2：充分、必要条件的应用 2-1．（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是 . 【答案】（只需满足即可） 【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值. 【详解】由可得，则， 所以，，解得， 因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为. 故答案为：（只需满足即可）. 2-2．（2024·云南昆明·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得的可能取值. 【详解】由于“”是“”的必要不充分条件，所以， 所以的值只需小于即可. 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 2-3．（2024·福建三明·模拟预测）已知集合，. (1)若，求； (2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)或 (2)条件选择见解析，答案见解析 【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果； （2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：由不等式，解得，可得 当时，不等式，解得，即， 可得或， 所以或. （2）解：由不等式，解得， 所以. 若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得. 当时，， ，合乎题意； 若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得. 当时，，则 ，合乎题意； 若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.
（三） 全称量词与存在量词 1．量词与命题 （1）存在量词命题：含有存在量词的命题．“ x0∈M，有p（x0）成立”简记成“ x0∈M，p（x0）”． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题．“ x∈M，有p（x）成立”简记成“ x∈M，p（x）”． 2．全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定是全称量词命题． 3．含量词命题的解题策略． （1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． （2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
题型3：全称量词与存在量词 3-1（2024·四川成都·三模）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果. 【详解】由题意可得，“”的否定是， 故选：B 3-2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，不是素数，则为（ ） A．，是素数 B．，是素数 C．，是素数 D．，是素数 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，是素数. 故选：D. 3-3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 3-4．（2024·江西九江·二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数a的取值范围． 【详解】因为命题：，， 所以：，， 又因为为假命题，所以为真命题， 即，恒成立， 所以，即， 解得， 故选：D． 3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，． 易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为． 故选：D．
一、单选题
1．（2024高三·安徽合肥·阶段练习）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
【答案】B
【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可．
【详解】，，
当 时，，使得，故A错误；
，，必有，即，必有，故B正确；
由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；
当时，不存在，使得，故D错误，
综上只有B是正确的．
故选：B．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.
【详解】对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
3．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
4．（2024·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数
【答案】B
【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.
【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：B
5．（2024高一上·湖南·阶段练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
6．（2024高三·全国·专题练习）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
7．（2024高三上·上海杨浦·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2024·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2024·广西南宁·一模）有下列四个命题，其中是假命题的是（ ）
A．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限
B．“全等三角形的面积相等”的否命题
C．在中，“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】B
【分析】对于A项，利用复数的几何意义来判定；
对于B项，利用原命题与否命题的关系判定；
对于C项，利用充分必要条件的定义来判定；
对于D项，利用全称命题的否定的定义来判定.
【详解】对于A：，所以对应的点为，在第四象限，故A正确；
对于B：“全等三角形的面积相等”的否命题是，不全等三角形的面积不相等，这显然是假命题．
对于C：在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分条件．故C正确；
对于D：命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是：“，”．故D正确；
故选：B
10．（2024·安徽黄山·三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】令，，
若在上单调递增，
因为是上的增函数，
则需使是上的增函数且，
则且，解得.
因为 ，故是的必要不充分条件，
故选：C.
11．（2024·重庆·三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．
【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
所以，
因为为偶函数，
所以，即，
当时，可以推导出函数为偶函数，
而函数为偶函数不能推导出，
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确.
【详解】,故①正确；
由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；
, ,，故③错误，故B错误；
对于，显然不是方程的解，可化为，
考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.
故选：D
【点睛】选择题中有些问题不易确定时，常常要尝试使用排除方法，本题就是一个典型的例子.
13．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：C
14．（2024·天津河北·二模）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】若，令，满足，但；
若，则一定成立，
所以“ ”是“”的必要不充分条件.
故选：B
15．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.
【详解】不妨设，则，满足，
但是严格减数列，充分性不成立，
当时，是严格增数列，但，必要性不成立，
故甲是乙的既非充分又非必要条件.
故选：D
16．（2024·北京）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
17．（2024·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
18．（2024高三·全国·专题练习）设，是两个平面，直线与垂直的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【分析】结合空间线面以及面面的位置关系，判断各选项中条件能否推出直线与垂直，即可判断出答案.
【详解】A，当且时，则或或，不能得出一定是，A错误，
B，当且时，则或，不能得出，B错误，
C，当且时，则或或或与相交不垂直，
不能得出一定是，C错误，
D，当且时，则，
故“且”是直线与垂直的一个充分条件，D正确，
故选：D．
19．（2024高一上·山东烟台·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
20．（2024·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
21．（2024·广东揭阳·二模）下列结论正确的是 （ ）
① “”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
②随机变量服从正态分布，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】对①：当时，利用均值不等式可得成立；反之，对任意的正数x，均有成立，不一定成立；根据充分必要条件的定义即可判断正确；
对②：由正态分布的定义知②不正确；
对③：线性回归直线不一定经过样本点中的一个知③不正确；
对④：由平均数，中位数，众数定义，计算可判断正确.
【详解】解：①当时，由基本不等式得；但对任意的正数x，均有时，不一定成立，所以“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件，故①正确；
②因为，所以②不正确；
③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；
④因为平均数为，中位数为15，众数为17，所以，故④正确．
所以正确的为①④．
故选:D．
22．（2024·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】直接利用充分条件的定义进行判断即可.
【详解】记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.
故选：A.
23．（高考广西桂林、崇左市2022届高三5月联合模拟考试数学（文）试题）设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一条直线
C．平行于同一条直线 D．垂直于同一个平面
【答案】B
【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案.
【详解】对于A，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A错；
对于B，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂直于该条直线，正确；
对于C，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误；
对于D，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误；
故选：B．
24．（2024·浙江嘉兴·二模）若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：当时，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
当时，，此时，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
25．（2024·广东湛江·二模）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，
当时，由于，则有，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
26．（天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】由，得，解得，
由，得，得，
因为当时，一定成立，
而当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
27．（2024·北京通州·一模）若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用重要不等式即可由“”推出“”；“”成立时，“”不一定成立，举反例证明.
【详解】，当且仅当时，取等号，
当，时，，但，
故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
28．（2024·山东枣庄·一模）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
29．（2024·江西九江·二模）已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由否定定义求解即可.
【详解】由否定的定义可知，为，.
故选：D
30．（2024高三下·湖南衡阳·开学考试）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
【答案】C
【分析】A：根据向量加法的性质即可判断；
B：根据充分条件的概念即可判断；
C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；
D：根据空间线面关系即可判断.
【详解】A：若，则方向相反且，故A错误；
B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；
C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；
D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
31．（重庆市2022届高三上学期1月调研数学试题）命题的否定为“，使得”，则命题为（ ）
A．
B．，使得
C．
D．，使得
【答案】C
【分析】把所给的命题否定可得命题
【详解】因为命题的否定为“，使得”，
所以命题为“”，
故选：C
32．（2024·全国）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
33．（2024·山东）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
34．（2024·北京）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
35．（甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（文）试题）“x=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.
【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；
由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,
故选:A
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.
36．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合函数定义域和单调性得到不等式组，求出所满足的的取值范围，进而判断出结果.
【详解】因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
37．（2024·全国·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用充分条件和必要条件得定义判断即可
【详解】由已知条件得，
则“” “”， “”“”，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选：.
38．（2024·山东临沂·一模）已知圆C：，点，，则“”是“直线AB与圆C有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出圆心C到直线AB的距离为，利用定义法判断.
【详解】圆C：的圆心为,半径R.
由点，求出直线AB的方程为：.
所以圆心C到直线AB的距离为.
充分性：时，有，所以直线直线AB与圆C相交，有公共点，故充分性满足；
必要性：“直线AB与圆C有公共点”，则有，即“”，故必要性不满足.
所以“”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
39．（山东省淄博市2023-2024学年高三模拟考试（一模）数学试题）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由向量，夹角为钝角可得且，不共线，然后解出的范围，然后可得答案.
【详解】若向量，夹角为钝角，则且，不共线
所以，解得且
所以“”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件
故选：B
40．（2024·河北·模拟预测）“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系求出，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】∵圆的半径，
若圆C上恰有4个不同的点到直线l的距离等于1，则
必须满足圆心到直线的距离
，解得.
又，
∴“”是“圆上有四个不同的点到
直线的距离等于1”的充分不必要条件.
故选：A.
41．（2024·山东·模拟预测）“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先由已知得点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】由已知得点在圆外，
所以，解得，
所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件，
故选：B
42．（2024·北京西城·模拟预测）设p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】解不等式得：，即，显然 ，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：C
43．（2024·山东潍坊·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若，由可得，此时；
若，则，不合乎题意；
若，由可得，此时.
因此，满足的的取值范围是或，
因为或 ，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
44．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出与的夹角为钝角时k的范围，即可判断.
【详解】当与的夹角为钝角时，，且与不共线，即所以且.故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选B.
45．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由及对数函数的单调性可得；将变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得，即可得解．
【详解】由，得．
由，得．
记函数，则，
所以函数在R上单调递增，又，
则，所以．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
46．（2024·黑龙江·一模）已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；
对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.
故选：B
二、多选题
47．（2024·全国·模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ）
A．当时，“”是“”的充要条件．
B．当时，“”是“”的充要条件．
C．当时，“”是“”的充分不必要条件．
D．当时，“”是“”的必要不充分条件．
【答案】AD
【分析】根据线面之间的位置关系结合充分条件和必要条件逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，若，则或或m，相交,
若，则或或m，相交，
故不是的充分条件，也不是必要条件，故A错误；
对于B，根据面面平行的性质B正确；
对于C，当时，若，由面面垂直的判定定理得，
若，则或或m，相交，故C正确；
对于D，当时，若，则m，n平行或异面，
若，则或，
所以不是的充分条件也不是必要条件，故D错误．
故选：AD．
48．（2024·全国·模拟预测）下列四个条件中，是的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可判断BC选项.
【详解】对于A选项，取，，则，但，A不满足条件；
对于B选项，由可知，，由不等式的性质可得，
所以，，
因为，但，
所以，是的一个充分不必要条件，B满足条件；
对于C选项，若，则，由不等式的性质可得，
另一方面，若，取，则，
所以，，，
所以，是的一个充分不必要条件，C满足条件；
对于D选项，取，，则，则，但，D不满足条件.
故选：BC.
49．（2024·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】的解为，
对于A，因为为的真子集，故A不符合；
对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；
对于C，即为，其解为，故C符合；
对于D，即，其解为，
为的真子集，故D不符合，
故选：BC.
50．（2024·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．已知命题：“，”，则：“，”
C．若随机变量，则
D．已知随机变量，且，则
【答案】BCD
【分析】选项A：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D：利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】选项A：若，则；若，则，，
从而“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
选项B：由特称命题的否定的概念可知，B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：结合已知条件可知，正态曲线关于对称，
又因为，从而，解得，故D正确.
故选：BCD
51．（2024高三上·湖北·阶段练习）关于充分必要条件，下列判断正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件
C．“的图象经过点”是“是幂函数”的必要不充分条件
D．“直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件
【答案】BC
【分析】按照必要不充分条件的定义容易判断A；
求出的等价结论，即可判断B；
根据幂函数的定义可以判断C；
考虑直线是否重合可以判断D.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以A错误；
因为（，，均大于0），所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，所以B正确；
幂函数的图象都经过点，反之不成立，比如：，所以C正确；
若直线与平行，则直线与的倾斜角相等；若直线与的倾斜角相等，则直线与平行或重合，所以D错误.
故选：BC.
52．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABC
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要条件；
B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
D．由，，可得，；反之不成立，
例如取，．∴是的必要不充分条件．
故选：ABC．
53．（2024·重庆九龙坡·二模）下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件
B．幂函数在区间上单调递减
C．抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合
D．函数的最大值为2
【答案】ABD
【分析】由相等向量的定义和充分条件、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据幂函数的定义和性质，可判定B正确；根据抛物线和椭圆的性质，可判定C不正确；根据三角函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，可得成立，反之：若，但向量与的方向不一定相同，所以向量与不一定相等，所以是的充分不必要条件，所以A正确；
对于B中，由幂函数，可得，即，
所以函数在区间上单调递减，所以B正确；
对于C中，抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点的坐标为，
可得抛物线的焦点与椭圆的右焦点不重合，所以C不正确；
对于D中，由三角函数的性质，可得，
当时，可得，所以当时，函数取得最大值2，
所以D正确.
故选：ABD.
54．（2024·山东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．“”是“直线与直线垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程，且，，则
D．函数的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称
【答案】AB
【分析】选项A. 由指数对数互化可得，由均值不等式可判断;选项B. 根据两直线垂直得出的值，再根据充分、必要条件的判断方法可判断；选项C. 根据回归直线一定过样本中心点可判断；选项D. 先由函数图像平移得出平移后的解析式，再判断其奇偶性可判断.
【详解】A.由，得 ，，，，， ，
所以(由于所以等号不成立)，
故A正确.
B. 由两直线垂直，可得，解得或；
所以“”是“直线与直线垂直”的充分条件，
故B正确.
C.回归直线一定过样本中心点，，；故C不正确.
D.将的图象向左平移个单位，可得，
函数，由，所以，
所以不是奇函数，其图像不关于原点对称，所以D不正确.
故选：AB.
55．（2024·湖南常德·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定
B．二项式的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】根据特称命题的否定求解方法可判断A；令代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线与的关系不确定故能判断C；判断是否等于，就能判断D是否正确．
【详解】解：对于A：命题的否定，故A正确；
对于B：二项式的展开式的各项的系数和为，故B错误；
对于C：已知直线平面，由于直线与的关系不确定，
故“”是”的既不必要不充分条件，故C错误；
对于D：由于关于的对称点为，
故，满足，
故函数的图象关于直线对称，故D正确.
故选：AD．
56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列说法不正确的是（　　）
A．等比数列，，则
B．抛物线的焦点
C．命题“”的否定是：“”
D．两个事件，“与互斥”是“与相互对立”的充分不必要条件.
【答案】ABCD
【分析】根据等比中项的性质判断选项A；根据抛物线的性质判断选项B；根据全称命题和特称命题的关系判断选项C；根据互斥事件、对立事件的关系判断选项D；
【详解】A. 等比数列，，所以，
则，又，所以，故A错误；
B.抛物线化成标准式得：，所以其焦点，故B错误；
C.命题“”的否定是：“”,故C错误；
D.两个事件，若与互斥，则与不一定相互对立，但若与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ABCD;
【点睛】本题中有一些易错知识点，比如抛物线的焦点在哪个坐标轴上，需要把抛物线化成标准形式再进行判断，再比如事件相互互斥和相互对立间的关系等等，在平时备考中要清楚这些易错点，谨防出错.
57．（2024·山东淄博·三模）下列说法正确的是（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生
B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
C．命题“，”的否定是“，"
D．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小
【答案】ACD
【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A；根据线性回归方程定义即可判断B；根据全称命题的否定原理即可判断C；根据方差定义即可判断D．
【详解】对于A，高二年级中抽取为，正确；
对于B，线性回归方程对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；
对于C，否定是“，"正确；
对于D，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确．
故选：ACD
58．（2024·湖南岳阳·一模）下列叙述正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要条件
C．的展开式中的系数为
D．在空间中，已知直线满足，，则
【答案】AC
【分析】对于A运用全称命题否定形式的相关知识判断；对于B根据对数函数相关知识判断；对于C根据二项式展开式相关知识即可判断；对于D直观想象即可得出直线和的位置关系.
【详解】对于A，命题“，”为全称命题，其否定是“，”，故A正确.
对于B，充分性：当时，显然不成立，故充分性不满足；必要性：当时，，显然此时成立，故必要性满足.所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误.
对于C，的展开式中的系数为，故C正确.
对于D，若在空间中直线满足，，则和相交或异面或平行，故D错误.
故选：AC
59．（2024·海南·模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，结合可得，然后根据充分条件、必要条件的判定逐项分析即可判断.
【详解】函数的定义域为R，
则函数，
所以函数是偶函数，
当时，，
，
所以在上单调递增，所以在上单调递减.
若，则，即.
A：若，满足，但，故A错误；
B：若，满足，但，故B错误；
C：由可得，即，故C正确；
D：由，故D正确.
故选：CD
60．（2024·重庆渝中·一模）下列命题中，正确的有（ ）
A．线性回归直线必过样本点的中心
B．若平面平面，平面平面，则平面平面
C．“若，则”的否命题为真命题
D．若为锐角三角形，则
【答案】AD
【分析】直接利用回归直线方程和中心点的关系，面面垂直的性质定理，命题真假的判定，三角形形状的判定的应用判定A、B、C、D的结论．
【详解】解：线性回归直线必过样本点的中心，所以A正确；
若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面与平面也可能相交，所以B不正确；
“若，则”的否命题为：若，则，显然不正确，如，，所以C不正确；
∵为锐角三角形，∴为锐角，∴，∴，
∴∴，故D正确.
故选：AD.
61．（2024·福建莆田·模拟预测）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断
【详解】对于A，若，则成立；
对于B，若，则，成立；
对于C，，无法判断出；
对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系.
故选：AB
62．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有零点的充要条件是 B．当且仅当，有最小值
C．存在实数，使得在R上单调递增 D．是有极值点的充要条件
【答案】BCD
【分析】对于A，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正误；对于B，分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C，可举一具体实数，说明在R上单调递增，即可判断其正误；对于D，根据导数与函数极值的关系判断即可.
【详解】对于A，函数有零点方程有解，
当时，方程有一解；
当时，方程有解，
综上知有零点的充要条件是，故A错误；
对于B，由得，
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
此时有最大值，无最小值；
当时，方程有两个不同实根，，
当时，有最小值，当时，；当时，有最小值0；
当时，且当时，，无最小值；
当时，时，，无最小值,
综上，当且仅当时，有最小值，故B正确；
对于C，因为当时，，在R上恒成立，此时在R上单调递增，故C正确；
对于D，由知，当时，是的极值点，
当，时，和都是的极值点，
当时，在R上单调递增，无极值点，
所以是有极值点的充要条件，故D正确，
故选:BCD.
【点睛】本题以函数为背景，考查二次函数、对数函数性质和利用导数研究函数单调性及最值，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
三、填空题
63．（2024·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
64．（2024·浙江·二模）命题“，”的否定为 ．
【答案】．
【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为.
故答案为：.
65．（2024·宁夏中卫·二模）命题，命题，则是的 条件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】先解，然后根据条件判断即可.
【详解】因为或，
而，
所以是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
66．（2024·北京顺义·一模）能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】举例，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】令，则对任意的都成立，
但在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上不是增函数.
故答案为：.
67．（2024·河南·模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据是假命题，得到是真命题，利用恒成立求解.
【详解】解：因为是假命题，
所以是真命题，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
68．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】解：命题为特称命题，则命题的否定为“，”，
故答案为：，．
四、解答题
69．（2024·广东中山·模拟预测）已知函数的定义域为，不等式的解集为集合．
（1）求集合和；
（2）已知“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；或；（2）或．
【分析】（1）使式子有意义可得，解不等式可求出；解一元二次不等式可求出；
（2）由题意可得集合是集合的真子集，再由集合的包含关系即可求解.
【详解】（1）函数有意义，
则，解得，
所以集合，
由不等式得或，
所以集合或．
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以或，所以或．
70．（2024·海南·一模）已知，；，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若与的真假性相同，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）即求解集为时，的取值范围，对分类讨论，结合根的判别式，即可求解；
（2）先求出为真时的范围，转化为求，再由命题的真假，求出结论.
【详解】（1）∵，∴且，
解得.所以当为真命题时，实数的取值范围是.
（2），.
又∵当时，，∴.
∵与的真假性相同.
当假假时，有，解得；
当真真时，有，解得.
∴当与的真假性相同时，可得或.
【点睛】本题考查不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查命题的真假判断，意在考查对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题.专题02 常用逻辑用语3题型分类
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，﹁p(x) x∈M，﹁p(x)
（一） 充分、必要条件的判定 1．充分条件与必要条件 （1）判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件 （2）充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件． 2．充分条件、必要条件的判定方法． （1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
题型1：充分、必要条件的判定 1-1．（2024高二下·四川内江·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-2．（2024·浙江·模拟预测）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-3．（2024·浙江·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-4．（2024高一下·湖北孝感·期中）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-5．（2024·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1-6．（2024·安徽合肥·三模）已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ） A． B． C． D．
（二） 充分、必要条件的应用 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p（x）}，q：B={x|q（x）}，则 （1）若A B，则p是q的充分条件． （2）若B A，则p是q的必要条件． （3）若A B，则p是q的充分不必要条件． （4）若B A，则p是q的必要不充分条件． （5）若A= B，则p是q的充要条件． 2．求参数问题的解题策略． （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验．
题型2：充分、必要条件的应用 2-1．（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是 . 2-2．（2024·云南昆明·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 2-3．（2024·福建三明·模拟预测）已知集合，. (1)若，求； (2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（三） 全称量词与存在量词 1．量词与命题 （1）存在量词命题：含有存在量词的命题．“ x0∈M，有p（x0）成立”简记成“ x0∈M，p（x0）”． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题．“ x∈M，有p（x）成立”简记成“ x∈M，p（x）”． 2．全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定是全称量词命题． 3．含量词命题的解题策略． （1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． （2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
题型3：全称量词与存在量词 3-1（2024·四川成都·三模）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 3-2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，不是素数，则为（ ） A．，是素数 B．，是素数 C．，是素数 D．，是素数 3-3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3-4．（2024·江西九江·二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高三·安徽合肥·阶段练习）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
3．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
4．（2024·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数
5．（2024高一上·湖南·阶段练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2024高三上·上海杨浦·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024·广西南宁·一模）有下列四个命题，其中是假命题的是（ ）
A．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限
B．“全等三角形的面积相等”的否命题
C．在中，“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定是“，”
10．（2024·安徽黄山·三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2024·重庆·三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
13．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2024·天津河北·二模）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（2024·北京）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2024·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
18．（2024高三·全国·专题练习）设，是两个平面，直线与垂直的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
19．（2024高一上·山东烟台·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2024·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2024·广东揭阳·二模）下列结论正确的是 （ ）
① “”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
②随机变量服从正态分布，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
22．（2024·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
23．（高考广西桂林、崇左市2022届高三5月联合模拟考试数学（文）试题）设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一条直线
C．平行于同一条直线 D．垂直于同一个平面
24．（2024·浙江嘉兴·二模）若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．（2024·广东湛江·二模）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
27．（2024·北京通州·一模）若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．（2024·山东枣庄·一模）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
29．（2024·江西九江·二模）已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
30．（2024高三下·湖南衡阳·开学考试）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
31．（重庆市2022届高三上学期1月调研数学试题）命题的否定为“，使得”，则命题为（ ）
A．
B．，使得
C．
D．，使得
32．（2024·全国）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
33．（2024·山东）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
34．（2024·北京）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
35．（甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（文）试题）“x=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
36．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
37．（2024·全国·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
38．（2024·山东临沂·一模）已知圆C：，点，，则“”是“直线AB与圆C有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
39．（山东省淄博市2023-2024学年高三模拟考试（一模）数学试题）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
40．（2024·河北·模拟预测）“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
41．（2024·山东·模拟预测）“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
42．（2024·北京西城·模拟预测）设p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
43．（2024·山东潍坊·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
44．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
45．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
46．（2024·黑龙江·一模）已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
47．（2024·全国·模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ）
A．当时，“”是“”的充要条件．
B．当时，“”是“”的充要条件．
C．当时，“”是“”的充分不必要条件．
D．当时，“”是“”的必要不充分条件．
48．（2024·全国·模拟预测）下列四个条件中，是的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
49．（2024·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
50．（2024·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．已知命题：“，”，则：“，”
C．若随机变量，则
D．已知随机变量，且，则
51．（2024高三上·湖北·阶段练习）关于充分必要条件，下列判断正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件
C．“的图象经过点”是“是幂函数”的必要不充分条件
D．“直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件
52．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
53．（2024·重庆九龙坡·二模）下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件
B．幂函数在区间上单调递减
C．抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合
D．函数的最大值为2
54．（2024·山东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．“”是“直线与直线垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程，且，，则
D．函数的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称
55．（2024·湖南常德·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定
B．二项式的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件
D．函数的图象关于直线对称
56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列说法不正确的是（　　）
A．等比数列，，则
B．抛物线的焦点
C．命题“”的否定是：“”
D．两个事件，“与互斥”是“与相互对立”的充分不必要条件.
57．（2024·山东淄博·三模）下列说法正确的是（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生
B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
C．命题“，”的否定是“，"
D．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小
58．（2024·湖南岳阳·一模）下列叙述正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要条件
C．的展开式中的系数为
D．在空间中，已知直线满足，，则
59．（2024·海南·模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
60．（2024·重庆渝中·一模）下列命题中，正确的有（ ）
A．线性回归直线必过样本点的中心
B．若平面平面，平面平面，则平面平面
C．“若，则”的否命题为真命题
D．若为锐角三角形，则
61．（2024·福建莆田·模拟预测）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
62．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有零点的充要条件是 B．当且仅当，有最小值
C．存在实数，使得在R上单调递增 D．是有极值点的充要条件
三、填空题
63．（2024·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
64．（2024·浙江·二模）命题“，”的否定为 ．
65．（2024·宁夏中卫·二模）命题，命题，则是的 条件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
66．（2024·北京顺义·一模）能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是 ．
67．（2024·河南·模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是 .
68．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）命题“，”的否定是 ．
四、解答题
69．（2024·广东中山·模拟预测）已知函数的定义域为，不等式的解集为集合．
（1）求集合和；
（2）已知“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
70．（2024·海南·一模）已知，；，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若与的真假性相同，求实数的取值范围.

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